Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
Tên bài dạy: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC.
Tiết PPCT: 47-48-49
Ngày soạn: 10-01-2009
A- MỤC TIÊU :
1) Kiến thức :
- Giúp HS nắm kiến thức về phương pháp chứng minh quy nạp.
- Nhớ được 3 bước chứng minh bằng quy nạp:
 Kiểm tra mệnh đề đúng với
0
n n=
là số tự nhiên nhỏ nhất trong tập hợp
các số cần chứng minh.
 Giả sử mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
0
n k n= ≥
.
 Chứng minh mệnh đề đúng với
1n k= +
. Kết luận mệnh đề đúng với mọi
0
,n n n∈ ≥N
2) Kỹ năng :
- Rèn luyện kỹ năng chứng minh bằng quy nạp.
- Rèn luyện kỹ năng sử dụng các giả thiết quy nạp để chứng minh.
3) Thái độ :
- HS có thái độ học tập nghiêm túc, tích cực tập trung tham gia các hoạt động.
B- CHUẨN BỊ :
1) Giáo viên :
- Chuẩn bị giáo án, thước kẻ, phấn màu.
2) Học sinh :

mệnh đề đó đúng được không?
+ Vậy nếu phải kiểm tra thì kiểm tra cho bao
nhiêu số được?
+ Ta không thể kiểm tra cho mọi số tự nhiên
được. Từ đó ta có cách làm sau đây:
Hoạt động 2: Hướng dẫn HS chứng minh một số mệnh đề bằng phương pháp quy nạp.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
1
Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
1. Phương pháp quy nạp toán học:
Bài toán: Chứng minh mọi số nguyên dương n ta
có:
3
)2)(1(
)1(...3.22.1
++
=++++
nnn
nn
(1)
Khái quát: Ta có thể c/m được mệnh đề sau: Nếu
(1) đúng với n=k (nguyên dương) thì nó cũng đúng
với n=k+1.
Giái bài toán trên:
+ n = 1: 1=1 (đúng)
+ Giả sử (1) đúng với n=k (ng dương)
Ta có:
3
)2)(1(
)1(...3.22.1

∀
n
∈
N
*
giả sử A(n) đúng với n=k, cần chứng
minh A(n) cũng đúng với n=k+1.
H1: Hãy kiểm tra với n=1,2?
-H2: c/m n=3 đúng bằng cách sử dụng H1
-H3: có thể thử với mọi n không?
- Tuy nhiên dựa vào lập luận trên ta có thể đưa ra
cách c/m bài toán.
+n = 1,2: (1) đúng
+Cộng thêm hai vế với 2.3 ta c/m đc
(1) đúng.
+ không thể.
Tiết 48
Hoạt động 3:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
2.Một số ví dụ:
Vídụ1: CMR
∀
n
∈
N
*
, ta luôn có:
4
)1(
...321

+
= + +
+
= + + =
+ +
=
+ 1=1 ( đúng)
+ Giả sử đúng với n=k, cần chứng minh
đúng với n=k+1.
H1: Thử với n=1
H2: Thực hiện bước 2
2
Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
Hoạt động 4:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Ví dụ 2: CMR u
n
=7.2
2n-2
+ 3
2n-1


5,
∀
n
∈
N
*
.

Tiết 49:
Hoạt động 5: Kiểm tra bài cũ.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Ví dụ 3: CMR 2
n
>2n+1,
∀
n
≥
3. +n=1: u
1
=10

5
+Giả sử đúng n=k, cần cm đúng khi n=k+1.
+ 2
k+1
=2.2
k
>2(2k+1)= 4k+2>2k+3>2(k+1)+1
( vì k
≥
3)
Hoạt động 2:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Bài 5: Khi n=k+1:
)1(2
1
12
1

24
k k k k k k
= + + + + +
+ + + + +
>
Bài 6:(là ví dụ 2)
Bài 7: Cho số thực x>-1. CMR
nxx
n
+≥+
1)1(
Khi n=k+1:
(1+x)
k+1
=(1+x)
k
(1+x)
≥
(1+kx)(1+x)
=1+(k+1)x +kx
2
≥
1+(k+1)x
Bài 8: Không đúng vì chưa thử với n=1.
Bài 1: HS tự làm.
Bài 2: HS tự làm.
Bài 3: Khi n=k+1, ta có:
1
1
2

VP
(Côsi và k
≠
k+1)
Bài 4: HS tự làm ( lưu ý n
≥
2).
D- CỦNG CỐ, DẶN DÒ :
1. Củng cố: Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp và cách vận dụng.
2. Bài về nhà:
- Hết tiết 39: các bài tập SGK trang 100, 101.
- Hết tiết 40: 1) CMR u
n
=13
n
-1

6 ,
∀
n
∈
N.
2) CMR
6
)12)(1(
...321
2222
++
=++++
nnn

Tiết 50:
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
- Cho dãy số 1, 2, 3, ..., n, ... So sánh các số
hạng của dãy số này, có nhận xét gì?
...?,?
3221
uuuu
- Theo dõi hoạt động của Hs
- Đưa ra khái niệm dãy số tăng.
- Tương tự cho dãy số
,...,...,
3
1
,
2
1
,1 n

Yêu cầu Hs nhận xét và đưa ra khái niệm dãy
số giảm.
- Củng cố khái niệm dãy số tăng, dãy số
giảm qua các ví dụ cụ thể.
- Nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số sau:

( ) ( )
nuu
n
nn
1: −=

n
u
được gọi là dãy số
giảm nếu với mọi
n
ta có
1
+
>
nn
uu
.
Ví dụ 6: (SGK)
a) Dãy số
( )
n
u
với
2
nu
n
=
là dãy số tăng
vì:
1
22
)1(,
+
=+<=∀
nn

Hoạt động 3:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Hãy cho một ví dụ về dãy số tăng, dãy số
giảm và một ví dụ về dãy số không tăng cũng
không giảm.
- Gv theo dõi Hs, đưa ra kết luận đúng đắn
cuối cùng.
- Nhận xét dãy số 1, 2, 3, … và
,...
3
1
,
2
1
,1

có số hạng nhỏ nhất, lớn nhất không? Giá trị
LN, NN?
- Gv minh hoạ trên trục số.
- Gv giới thiệu khái niệm dãy số bị chặn.
- Hs suy nghĩ, xác định tính tăng, giảm.
- 1 Hs trả lời, các Hs khác phát hiện sai và
sửa.
- Hs suy nghĩ, có thể thảo luận theo từng
nhóm.
- Đại diện nhóm lên bảng trình bày. Các Hs
còn lai theo dõi và nhận xét.
- Hs suy nghĩ và trả lời.
- Hs tiếp nhận và dần hiểu rõ tính bị chặn.
- Hs suy nghĩ và thảo luận theo nhóm.

≥∈∀
,
*
.
c) Dãy số
)(
n
u
được gọi là bị chặn nếu nó
vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; nghĩa là,
tồn tại một số
M
và một số
m
sao cho
- Hs tiếp nhận khái niệm mới.
Ví dụ 7: (SGK)
5
2
n
π
Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
MumNn
n
≤≤∈∀
,
*
.
Tiết 51:
Hoạt động 5: Kiểm tra bài cũ.

[ ]
Mm;
.
- Gv theo dõi cả lớp.
- Gv nhận xét và đưa ra kết quả chính xác
cuối cùng (b, c, d, e)
Hoạt động 2: Luyện tập
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Sau 1 phút học sinh không giải được thì gợi ý lấy
I là trung điểm AM
n
. Tính AI.
Giao nhiệm vụ, đánh giá kết quả của học sinh
làm.
Bài 1: Cho dãy số (U
n
), biết:
)3n*,Nn(
2U21UU
2U
1U
nnn
2
1
≥∈∀






của U
n
D- CỦNG CỐ, DẶN DÒ :
- Dặn HS học thuộc các bước chứng minh bằng quy nạp.
- Làm các bài tập ở nhà trong SGK.
- Xem trước nội dung bài học tiết sau: “Cấp số cộng”.
Tên bài dạy: CẤP SỐ CỘNG – BÀI TẬP.
Tiết PPCT: 52-53
Ngày soạn: 16-01-2009
A- MỤC TIÊU :
1) Kiến thức :
- Nắm được khái niệm cấp số cộng, biết được các công thức tìm số hạng tổng quát,
tìm tổng n số hạng đầu trong một cấp số cộng.
- Giải đựơc một số bài tập đơn giản về cấp số cộng.
- Nắm được tính chất đơn giản về ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng ;
- Nắm vững công thức xác định số hạng tổng quát và công thức tính tổng n số hạng
đầu tiên của một cấp số cộng.
2) Kỹ năng :
- Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về cấp số cộng.
- Biết dựa vào định nghĩa để nhận biết một cấp số cộng;
- Biết cách tìm số hạng tổng quát và cách tính tổng n số hạng đầu tiên của một cấp
số cộng trong các trường hợp không phức tạp.
- Biết vận dụng các kết quả lý thuyết đã học để giải quyết các bài toán đơn giản liên
quan đến cấp số cộng ở các môn học khác , cũng như trong thực tế cuộc sống .
3) Thái độ :
- Biết khái quát hoá , tương tự . Tích cực hoạt động, trả lời câu hỏi
B- CHUẨN BỊ :
1) Giáo viên :
- SGK, Giáo án, cần chuẩn bị trước ở nhà bảng tóm tắt nội dung của bài toán ở ví
dụ 2 và các câu hỏi .

•
Định lý 1: SGK Tr 110 .
Chứng minh : SGK
H3: Cho CSC (u
n
) mà u
1
= -5 và u
3
= 3. Hãy
tìm u
2
và u
4
?
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 35
.....
1 1 1 1 1 1 1 1 1
n




=





1
(u + u ).
n
Hoạt động 3:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
3. Số hạng tổng quát:
* Từ công thức tổng quát số tự nhiên lẻ thứ
n là u
n
= 2n – 1 hãy biểu diễn theo số hạng
đầu u
1
= 1 và công sai d=2 ?
* H4: Tổng quát CSC (u
n
) có số hạng đầu
u
1
và công sai d, thì có số hạng tổng quát u
n

8
Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
= ?
Định lý 2 : SGK TR 111 .
H5 : Cho CSC (u
n
) có u
1
= 25 và d= - 5.

17
?
H7: ( H5 SGK )
S
17
=17.(-2 + 16.1) = 238
+ Nếu làm trong3 năm trở lại thì theo ph / án
1 ; nếu làm hơn 3 năm thì nên theo ph / án 2
Hoạt động 2: Luyện tập.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Ví dụ 3: Ba góc A, B, C của tam giác vuông ABC
theo thứ tự lập thành CSC. Tính 3 góc đó.
<Ví dụ 3>trang 113 SGK.
Giải: Gọi u
n
là mức lương ở quý thứ n thì:
u
1
= 4,5 và d=0,3
⇒
u
12
=4,5+(12-1).0,3=7,8.
( )
( )
8,73
6
12.8,75,4
2
12

= u
k
-d
u
k+1
= u
k
+d
suy ra
2
11
+−
+
=
kk
k
uu
u
+Giả sử A
≤
B
≤
C,ta có:





+=
=

n
n
TT
nn
nn
T
−=−⇒
+=
−+
=
Nếu làm trên 3 năm thì chọn PA 2, dưói 3 năm
thì chọn PA 1.
Hoạt động 3: Luyện tập.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Bài19:
a) u
n+1
-u
n
= 19,
∀
n
≥
1
⇒
(u
n
) là CSC.
b) u
n+1

=−⇒
+
nn
uu
,
∀
n
≥
1
⇒
(u
n
) là CSC
Bài 21: Trắc nghiệm: a) Tăng; b) Giảm.
Bài 22:
28=u
1
+u
3
=2u
2

⇒
u
2
=14
40=u
3
+u
5

=u
1
+(m-1)d và u
k
=u
1
+(k-1)d
⇒
u
m
-u
k
=(m-k)d
⇒
u
m
=u
k
+(m-k)d.
Bài 25: ĐS: u
n
=5-3n.
Bài 26:CM bằng quy nạp:
HD:
( )( )
2
1
11
11
+

) là CSC ta cần CM
u
n+1
-u
n
không đổi,
∀
n
≥
1 .
Áp dụng: HS tự làm. ĐS: d=5.
D- CỦNG CỐ, DẶN DÒ :
3. Củng cố: Nắm được các công thức và cách áp dụng. Chú ý kết quả bài 24.
4. Bài về nhà:
- Hết tiết 45: Bài tập SGK trang114, 115.
- Hết tiết 46:
Bài 1: CM các dãy số sau là CSC: a) u
n
=3n-7 b) u
n
=(3n+2)/5.
Bài 2: Xác định số hạng đầu và công sai CSC (u
n
) biết:



=
=−
75.

3) Giáo viên :
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: tóm tắt nội dung của bài toán mở đầu và bài toán đố vui.
4) Học sinh :
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
C- HOẠT ĐỘNG DẠY VÀ HỌC :
Tiết 54, 55,:
Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Gọi học sinh nhắc lại định nghĩa, tính chất,
số hạng tổng quát và tổng n số hạng đầu
tiên của một cấp số cộng?
Đáp án:
+ CSC là một dãy số mà kể từ số hạng thứ hai
trở đi mỗi số hạng đều bằng tổng của một số
hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi
d

[ ]
( )
1
1
1
( 1)
2 ( 1)
2
2
n
n

tiền người đó rút được (gồm cả vốn và lãi)
sau n tháng kể từ ngày gửi. khi đó, theo giả
thiết bài toán ta có:
u
n
= u
n-1
+u
n-1
.0,004= u
n-1
.1,004
2n∀ ≥
Như vậy, ta có dãy số (u
n
) mà kể từ số hạng
thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số
hạng đứng ngay trước nó với 1,004.
b. Định nghĩa: SGK
(u
n
) là CSN
⇔
. 2
1
u u q n
n
n
= ∀ ≥
−

3
theo u
2
,...,u
n
theo u
n-
1
?
(u
n
) là cấp số nhân
1
2, .
n n
n u u q
−
⇔ ∀ ≥ =

a. Dãy số (u
n
) với
2
n
n
u =
là một CSN với số
hạng đầu u
1
=2 và công bội q=2

3
u
với u
2
.u
4
?
Nêu nhận xét tổng quát
+ G\v cho h\s thực hiện hđ 2 SGK
Giải: Ta có:
2
.
2 1 3
u u u=
(1)

2
.
3 2 4
u u u
=
(2)
Từ (1), do u
2
> 0 (vì u
1
> 0 và q > 0), suy ra
2 1 3
. u u u
=

phân công
(G\v treo bảng phụ: tóm tắt nội dung của
bài toán đố vui)
H: Em có nhận xét gì về sự giống nhau của bài
toán này với bài toán mở đầu?
Tiết 56:
Hoạt động 1: Hình thành công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của CSN.
HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS
Nêu phương pháp tính tổng n số hạng
đầu tiên của cấp số nhân?
Giả sử có cấp số nhân (u
n
) với công bội
q. Với mỗi số nguyên dương n, gọi S
n
là
tổng n số hạng đầu tiên của nó: S
n
= u
1
+
u
2
+ ... + u
n
Nếu q=1 thì u
n
= u
1
với mọi

1 2 3
1 1 2 3
1 1
1
1
...
( ... ) .
. .
(1 ) (1 )
1
.
1
n n
n n
n
n
n
n
n
n
S u u u u
u q u u u u q u
u q S u q
q S u q
q
S u
q
= + + + +
= + + + + + −
= + −

. q (
2k
≥
)

1
k
k
u
u
q
+
=

(
2k
≥
)
+ Gọi u
n
là số tiền mà nhà tỉ phú phải trả cho
nhà toán học ở ngày thứ n .Ta có u
1
= 1 và q =
2 .
a) S
30
=
30
1

,
2n
∀ ≥
+ v
n
= u
n
-
1
2
= 3u
n - 1
- 1 -
1
2
13
Giáo án ĐS và GT 11 NC Năm Học 2008-2009
Nhân các vế tương ứng , ta có (đpcm)
= 3v
n -1
,
2n∀ ≥
+ u
1
= 10
7
.1,004 ;
u
2
= u

1
. ( q )
n - 1
,
2n∀ ≥
+ u
n
= 10
7
.1,004.(1,004)
n - 1

= 10
7
.(1,004)
n
,
1n
∀ ≥
+ u
n
= 3.10
6
.(1 + 0,02)
n

= 3.10
6
. (1,002)
n

- u
n + 1
= u
1
(1 - q
n
)
(1 - q) S
n
= u
1
(1 - q
n
) với q
≠
1 Suy ra
đpcm .
+ Tìm u
1
và q .
u
1
= u
4
: u
3
= 2 ; 24 = u
3
= u
1

Ví dụ 4: Từ bài toán mở đầu , tìm u
6
và u
12
?
SGK Tr 119 .
*Gọi HS đứng tại chỗ giải ( có thể gợi ý xét
sự tương đồng giữa BT này và BT mở đầu
để làm ) ?
* CSN (u
n
) có số hạng đầu u
1
và công bội q
* Gọi từng HS đứng tại chỗ với mỗi VD
Từ VD1b) sau đó là 1a) cho học sinh nhận xét
kể từ số hạng thứ
hai , bình phương của mỗi số hạng (trừ số
hạng cuối đ/v CSN hữu hạn) liên hệ thế nào
với hai số hạng kề nó trong dãy ?
* Hãy phát biểu tính chất nêu
trên ?
Có hay không CSN (u
n
) mà u
99
= -99 và u
101
=
101 ?