ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN

THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI
SỐ KHÔNG GIỚI NỘI TÌM KHÔNG ĐIỂM
CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2017


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ HỒNG VÂN

THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ VỚI DÃY SAI
SỐ KHÔNG GIỚI NỘI TÌM KHÔNG ĐIỂM
CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN


Phương pháp điểm gần kề

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Thuật toán điểm gần kề với dãy sai số không giới nội tìm
không điểm của toán tử đơn điệu cực đại
20
2.1 Thuật toán điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2
2.3

Thuật toán điểm gần kề mới . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
So sánh hai thuật toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Ứng dụng
30
3.1 Bài toán tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2

Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . 32

Kết luận

34

Tài liệu tham khảo

35


tập trên đồ thị của hàm f
tập tất cả không điểm của A, A−1 (0)
toán tử giải của toán tử T
hình nón chuẩn tắc ứng với tập lồi C
tập rỗng
tích vô hướng của hai véc tơ x và y
ánh xạ đơn vị


1

Lời nói đầu
Bài toán xác định không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không
gian Hilbert có nhiều ý nghĩa quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau
như: kinh tế, tối ưu hóa và các bài toán liên quan đến vật lý... Một trong
những phương pháp nổi bật để giải bài toán tìm không điểm của toán tử
đơn điệu cực đại là phương pháp điểm gần kề được đề xuất nghiên cứu bởi
Martinet cho cực tiểu phiếm hàm lồi trên Rn và sau này được mở rộng bởi
Rockafellar.
Mới đây Boikanyo và Morosanu nghiên cứu sự hội tụ của thuật toán
điểm gần kề với sai số cho toán tử đơn điệu cực đại A. Họ giả thiết tập
không điểm của toán tử A là khác rỗng và dãy sai số (en ) là giới nội. Trong
đề tài luận văn này chúng tôi xét một dãy tạo bởi

xn+1 = Jγn (λn u + (1 − λn )(xn + en )), ∀n

0

và đưa ra điều kiện cần và đủ cho tập không điểm của A là khác rỗng.
Chúng tôi cũng chỉ ra rằng dãy (xn ) hội tụ mạnh đến phép chiếu của u

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Vân


3

Chương 1

Một số bài toán liên quan
Chương này nhắc lại một số kiến thức về định nghĩa không gian Hilbert,
giải tích lồi và phương pháp điểm gần kề. Kiến thức chương này được tham
khảo trong tài liệu [1], [2].
1.1

Không gian Hilbert

Định nghĩa 1.1.1 Một tập X được gọi là không gian tuyến tính trên R
nếu với mỗi cặp (x, y) ∈ X × X , một phần tử của X , ta gọi là tổng của
x và y , ký hiệu là x + y ; với mỗi α ∈ R và x ∈ X , một phần tử của X gọi
là tích của α và x, ký hiệu là αx thỏa mãn các điều kiện sau:
i. x + y = y + x với mọi x, y ∈ X (tính chất giao hoán).
ii. (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z ∈ X (tính chất kết hợp).
iii. tồn tại phần tử không của X , ký hiệu 0, sao cho: x + 0 = 0 + x với
mọi x ∈ X .
iv. với mọi x ∈ X , tồn tại phần tử đối của x, ký hiệu là −x, sao cho
x + (−x) = 0 với mọi x ∈ X .
v. 1 · x = x · 1 = x, với mọi x ∈ X (1 là phần tử đơn vị).
vi. α(βx) = (αβ)x, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X .
vii. (α + β)x = αx + βx, với mọi α, β ∈ R, với mọi x ∈ X .

Hay

| x, y |2 ≤ x, x y, y

với mọi x, y ∈ H.

Dấu đẳng thức trong bất đẳng thức (1.1) xảy ra khi và chỉ khi x và y
phụ thuộc tuyến tính.


5

Định lý 1.1.6 Không gian tiền Hilbert H là một không gian tuyến tính
định chuẩn với chuẩn được xác định bởi

x =

x, x

với mọi x ∈ H.

(1.2)

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng. Hàm số x =
x, x với mọi x ∈ H là một chuẩn trên H.
Chứng minh.Thật vậy, từ điều kiện (iv) của Định nghĩa 1.1.2 ta có
x > 0 nếu x = 0 và x = 0 nếu x = 0 với x ∈ H. Từ điều kiện (i) và
(iii) của Định nghĩa 1.1.2 ta suy ra αx = |α|. x với mọi α ∈ R và mọi
x ∈ H. Từ bất đẳng thức Schwarz và cách định nghĩa chuẩn ta có:


∞
2

|xn |2 < +∞

l = x = {xn }n ∈ R :
n=1

là không gian Hilbert với tích vô hướng
∞

x, y =

xn yn ,
n=1

x = {xn }n∈N , y = {yn }n∈N ∈ l2


6

và chuẩn
∞

x =

∞
2

|2

2

b

|x(t)|2 dt

x =

.

a

Ví dụ 1.1.10 Gọi C[a, b] là tập tất cả các hàm giá trị thực liên tục trên
khoảng đóng hữu hạn [a, b] ⊂ R. Trong C[a, b] xét tích vô hướng
b

x(t)y(t).dt, x(t), y(t) ∈ C[a, b].

x, y =
a

Không gian C[a, b] với chuẩn
b
2

|x(t)| dt

x =

1