BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
———————————————

ĐỖ THỊ LOAN

TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI
TRONG KHÔNG GIAN BANACH
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. Trần Văn Bằng

Hà Nội, 2016


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành
luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sau đại
học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giải tích,
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học
tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong
quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2016
Tác giả



6

1.2

Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3

Không gian Sobolev và bài toán biên elliptic tuyến tính . . 14

2 Toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Banach

29

2.1

Toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2

Ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kết luận

69

Tài liệu tham khảo


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu khái niệm và tính chất của toán tử đơn điệu cực đại trong
không gian Banach.
Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên elliptic phi tuyến trong
các không gian.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
+ Đối tượng nghiên cứu: Toán tử đơn điệu cực đại
+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong không gian Banach: khái
niệm, tính chất, ứng dụng.

5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của Giải tích hàm, phương pháp
biến phân.

6. Đóng góp của đề tài
Hệ thống hóa các tính chất, kết quả về toán tử đơn điệu cực đại trong
không gian Banach và khả năng ứng dụng của chúng đối với các bài toán
phương trình đạo hàm riêng. Minh họa các khái niệm, tính chất trong
trường hợp có thể thông qua các ví dụ cụ thể.

6


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở liên quan tới các tính chất
hình học của không gian định chuẩn, hàm lồi, không gian Sobolev, và lý
thuyết biến phân của bài toán giá trị biên elliptic tuyến tính.


X ∗ bởi w∗ -lim hoặc

. Không gian X ∗ với tôpô yếu-∗ được ký hiệu bởi

Xw∗ .

7


∗

Ánh xạ đa trị J : X → 2X :

J(x) = {x∗ ∈ X ∗ : (x∗ , x) = x

2

= x∗ 2 },

∀x ∈ X

(1.1)

được gọi là ánh xạ đối ngẫu của không gian X.
Ánh xạ ngược J −1 : X ∗ → X xác định bởi J −1 (x∗ ) = {x ∈ X; x∗ ∈

J(x)} và thỏa mãn
J −1 (x∗ ) = {x ∈ X; x = x∗ , (x∗ , x) = x



trên X sao cho

X là lồi chặt theo chuẩn này và X ∗ là lồi chặt theo chuẩn đối ngẫu
8

·

∗
0.


Đối với các tính chất của ánh xạ đối ngẫu liên quan tới không gian
Banach lồi đều hay lồi chặt, ta có kết quả sau.
Định lý 1.2 (xem [3], Định lý 1.2). Nếu không gian đối ngẫu X ∗ là lồi
chặt, thì ánh xạ đối ngẫu J : X → X ∗ là đơn trị và liên tục mạnh-yếu∗
(tức là nó liên tục từ X vào Xw∗ ). Nếu không gian X ∗ lồi đều, thì J liên
tục đều trên mọi tập con bị chặn của X.
Bây giờ chúng tôi trình bày một số ví dụ về ánh xạ đối ngẫu.
1. X = H là không gian Hilbert và được đồng nhất với đối ngẫu của nó.
Khi đó J = I, là ánh xạ đồng nhất trong H. Nếu H không được đồng
nhất với đối ngẫu H ∗ , thì ánh xạ đối ngẫu J : H → H ∗ là một đẳng
cấu chính tắc Λ của H lên H ∗ . Ví dụ, nếu H = H01 (Ω), H ∗ = H −1 (Ω)
và Ω là tập con mở bị chặn của RN , thì J = Λ xác định bởi

∇u · ∇vdx,

(Λu, v) =

∀u, v ∈ H01 (Ω).

Ω

q

|Φp (u)|

=

Ω

Ω

9

1 1
, trong đó + = 1.
p q


Bởi vì ánh xạ đối ngẫu J của Lp (Ω) là đơn trị (vì Lp là lồi đều với

p > 1) và Φp (u) ∈ J(u), ta kết luận rằng J = Φp , như đã khẳng định.
Nếu X = L1 (Ω), thì ta có (xem Hệ quả 2.7 sau đây)

J(u) = {v ∈ L∞ (Ω); v(x) ∈ sign u(x) · u

L1 (Ω) ,

hầu khắp x ∈ Ω}.
(1.4)


(J(u), v) =
i=1

Ω

∂u
∂xi

p−2

∂u ∂v
dx u
∂xi ∂xi

2−p
,
W01,p (Ω)

∀v ∈ W01,p (Ω).
(1.6)

Thực tế, ánh xạ đối ngẫu J của không gian X có thể được định nghĩa
một cách tương đương bởi dưới vi phân (dưới vi phân Gateaux nếu X ∗ lồi
chặt) của hàm x → 1/2 x 2 .

1.2

Hàm lồi và dưới vi phân



(1.8)
(1.9)

Có thể thấy Epi(ϕ) là tập con lồi đóng của X × R nên các tính chất
của nó liên hệ chặt chẽ với các tính chất của hàm ϕ.
Mệnh đề 1.1 ([4], Mệnh đề 1.10). Cho ϕ : X → R là hàm lồi chính
thường và nửa liên tục dưới. Khi đó ϕ bị chặn dưới bởi một hàm affin; tức
là tồn tại x∗0 ∈ X ∗ và β ∈ R sao cho

ϕ(x) ≥ (x∗0 , x) + β, ∀x ∈ X.

(1.10)

Mệnh đề 1.2 ([3], Mệnh đề 1.2). Cho ϕ : X → R là hàm lồi chính thường
và nửa liên tục dưới. Khi đó ϕ liên tục trong int D(ϕ).
Hàm ϕ∗ : X ∗ → R xác định bởi

ϕ∗ (p) = sup{(p, x) − ϕ(x); x ∈ X}
được gọi là liên hợp của ϕ.
11

(1.11)


Mệnh đề 1.3. Cho ϕ : X → R là hàm lồi chính thường và nửa liên tục
dưới. Khi đó ϕ∗ cũng lồi chính thường và nửa liên tục dưới trong không
gian X ∗ .
Chứng minh. Vì là supremum của một họ các hàm affin nên ϕ∗ là lồi và
nửa liên tục dưới. Ngoài ra, theo Mệnh đề 1.2, ta có ϕ∗ ≡ ∞.

f (x, y) = (∇f (x), y),

∀y ∈ X.

(1.14)

Nếu sự hội tụ trong (1.13) là đều theo y trên các tập con bị chặn, thì f
được gọi là khả vi Fréchet và ∇f được gọi là vi phân Fréchet (đạo hàm)
của f.

12


Cho một hàm lồi chính thường và nửa liên tục dưới ϕ : X → R, ánh
xạ ∂ϕ : X → X ∗ xác định bởi

∂ϕ(x) = {x∗ ∈ X ∗ ; ϕ(x) ≤ ϕ(y) + (x∗ , x − y), ∀y ∈ X}

(1.15)

được gọi là dưới vi phân của ϕ.
Nói chung, ∂ϕ là một toán tử đa trị từ X tới X ∗ . Nó không nhất thiết
xác định khắp nơi và có thể được xem như là tập con của X × X ∗ .
Một phần tử x∗ ∈ ∂ϕ(x) (bất kỳ) được gọi là dưới gradient của ϕ tại

x. Như thông thường, ta ký hiệu D(∂ϕ) là tập mọi x ∈ X mà ∂ϕ(x) = Ø.
Ta dừng lại một chút để đưa ra một số ví dụ.
1. ϕ(x) =

1

Cho y = λx, 0 < λ < 1 trong (1.16), thu được

(x∗ , x) ≥

1
x 2 (1 + λ).
2

Do đó, (x∗ , x) ≥ x 2 . Nếu y = λx, trong đó λ > 1, ta thu được (x∗ , x) ≤

x 2 . Cho nên, (x∗ , x) = x

2

và x∗ ≥ x . Mặt khác, đặt y = x + λu

trong (1.16), với λ > 0 và u tùy ý trong X, ta được

1
λ(x∗ , u) ≤ ( x + λu
2

2

− x 2 ),

kéo theo

(x∗ , u) ≤ x u .
13

∂IK (x) = NK (x) = {x∗ ∈ X ∗ ; (x∗ , x − u) ≥ 0, ∀u ∈ K}, ∀x ∈ K. (1.18)
Với mọi x ∈ ∂K (biên của K ), NK (x) là nón pháp tuyến của K tại x.
3. Cho ϕ lồi và khả vi Gâteaux tại x. Khi đó ∂ϕ(x) = ∇ϕ(x). Thật vậy,
bởi vì ϕ lồi, ta có

ϕ(x + λ(y − x)) ≤ (1 − λ)ϕ(x) + λϕ(y)
với mọi x, y ∈ X và 0 ≤ λ ≤ 1. Do đó,
ϕ(x + λ(y − x)) − ϕ(x)
≤ ϕ(y) − ϕ(x),
λ
và cho λ → 0, ta thấy rằng ∇ϕ(x) ∈ ∂ϕ(x). Bây giờ, lấy w là một phần
tử bất kỳ của ∂ϕ(x). Ta có

ϕ(x) − ϕ(y) ≤ (w, x − y), ∀y ∈ X.
Hay

ϕ(x + λy) − ϕ(x)
≥ (w, y), ∀λ > 0, y ∈ X,
λ
và điều này kéo theo (∇ϕ(x)−w, y) ≥ 0 với mọi y ∈ X. Do đó w = ∇ϕ(x).
Theo định nghĩa của ∂ϕ, ta suy ra ϕ(x) = inf{ϕ(u); u ∈ X} khi và
chỉ khi 0 ∈ ∂ϕ(x). Tồn tại quan hệ mật thiết giữa ∂ϕ và ∂ϕ∗ . Chính xác
hơn, ta có mệnh đề sau.
14


Mệnh đề 1.5. Cho X là một không gian Banach phản xạ, ϕ : X → R
là hàm lồi chính thường và nửa liên tục dưới. Khi đó các điều kiện sau là
tương đương.
(i) x∗ ∈ ∂ϕ(x),

Giả sử Ω là tập con mở của RN . Cho f = f (x) là hàm giá trị phức
xác định trên Ω. Giá của f , viết tắt supp f , là bao đóng của tập {x ∈

Ω; f (x) = 0}, hay một cách tương đương, là tập đóng nhỏ nhất của Ω
mà f bị triệt tiêu ở bên ngoài nó. Ta ký hiệu C k (Ω), 0 ≤ k ≤ ∞ là tập
mọi hàm giá trị phức xác định trên Ω mà có đạo hàm riêng tới cấp k liên
tục (có cấp bất kỳ < ∞ nếu k = ∞). Ký hiệu C0k (Ω) là tập mọi hàm

ϕ ∈ C k (Ω) có giá compact trong Ω.
Ta thấy C0∞ (Ω) là một không gian tuyến tính. Ta nói dãy {ϕk } ⊂

C0∞ (Ω) hội tụ tới ϕ, ký hiệu ϕk ⇒ ϕ, nếu
(a) Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho supp ϕk ⊂ K với mọi k = 1, . . .
(b) limk→∞ Dα ϕk = Dα ϕ đều trong K với mọi α = (α1 , . . . , αn ).
Ở đây Dα = Dxα1 · · · DxαNn , Dxi = ∂/∂xi , i = 1, . . . , n. Trang bị theo cách
này, không gian C0∞ (Ω) được ký hiệu là D(Ω).
Định nghĩa 1.1. Mỗi phiếm hàm tuyến tính liên tục u trên D(Ω) được
gọi là một hàm suy rộng trên Ω.
Nói cách khác, hàm suy rộng là một phiếm hàm tuyến tính u trên

C0∞ (Ω) có tính chất rằng limk→∞ u(ϕk ) = 0 với mọi dãy {ϕk } ⊂ C0∞ (Ω)
sao cho ϕk ⇒ 0.
Tập tất cả các hàm suy rộng trên Ω là không gian tuyến tính, ký hiệu
bằng D (Ω).
Hàm suy rộng là mở rộng tự nhiên của khái niệm hàm khả tổng địa
phương trên Ω, ví dụ nếu f ∈ L1loc (Ω), thì phiếm hàm tuyến tính uf trên

C0∞ (Ω) xác định bởi
f (x)ϕ(x)dx, ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω)


u, v

m

Dα u(x)Dα v(x)dx, ∀u, v ∈ H m (Ω).

=
|α|≤m

(1.20)

Ω

Nếu Ω = (a, b), −∞ < a < b < ∞, thì H 1 (Ω) chính là không gian các
hàm liên tục tuyết đối trên đoạn [a, b] với đạo hàm trong L2 (a, b).
Mệnh đề 1.10. H 1 (a, b) trùng với không gian các hàm liên tục tuyệt
đối u : [a, b] → R có tính chất u ∈ L2 (a, b). Ngoài ra, với mỗi hàm

u ∈ H 1 (a, b) đạo hàm D1 u theo nghĩa hàm suy rộng trùng với đạo hàm
thông thường u mà tồn tại hầu khắp nơi.
17


Tổng quát hơn, với số nguyên m ≥ 1 và 1 ≤ p ≤ ∞, ta xác định không
gian Sobolev

W m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω); Dα u ∈ Lp (Ω), |α| ≤ m}
với chuẩn

1/p

|x − y|

với chuẩn thông thường. Với m > 1, m = s + a, s = [m], 0 < a < 1, định
nghĩa

W m,p (Ω) = {u ∈ W s,p (Ω); Dα u ∈ W a,p (Ω); |α| ≤ s}.
Kết quả là, nếu u ∈ W 1,p (a, b), thì tồn tại hàm liên tục tuyệt đối u
¯ với

u¯ ∈ Lp (a, b) sao cho u¯(x) = u(x) và u¯ (x) = (D1 u)(x), với hầu khắp
x ∈ (a, b). Ngược lại, bất kỳ hàm liên tục tuyệt đối u với u trong Lp (a, b)
thuộc W 1,p (a, b) và u trùng với đạo hàm suy rộng D1 u của u hầu khắp
nơi trên (a, b).
Mệnh đề 1.10 và mô hình của nó trong W 1,p (Ω) chỉ ra rằng trong
trường hợp một chiều không gian Sobolev chính là không gian các hàm
liên tục tuyệt đối với đạo hàm thuộc Lp (Ω).
Chúng tôi nhắc lại tập mở Ω thuộc RN và biên của nó ∂Ω được gọi là
thuộc lớp C 1 nếu với mỗi x ∈ ∂Ω tồn tại lân cận U của x và ánh xạ 1-1

ϕ của Q = {x = (x , xN ) ∈ RN ; x

< 1, |xN | < 1} lên U sao cho

ϕ ∈ C 1 (Q), ϕ−1 ∈ C 1 (U ), ϕ(Q+ ) = U ∩ Ω, ϕ(Q0 ) = U ∪ ∂Ω,
trong đó Q+ = {(x , xN ) ∈ Q; xN > 0}, Q0 = {(x , 0); x
18

< 1}.



Tiếp theo là một tính chất quan trọng của không gian H 1 (Ω) được biết
đến với tên định lý nhúng Sobolev.
Định lý 1.4. Cho Ω là một tập mở trong RN thuộc lớp C 1 với biên compact
N
∂Ω, hoặc Ω = RN
+ , hoặc Ω = R . Khi đó , nếu N > 2,
∗

H 1 (Ω) ⊂ Lp (Ω) với

1
1
1
=
−
.
p∗
2 N

(1.26)

Nếu N = 2, thì H 1 (Ω) ⊂ Lp (Ω) với mọi p ∈ [2, ∞[.
Tất nhiên hệ thức bao hàm (1.26) được xét theo nghĩa đại số và tôpô,
tức là

u

Lp∗ (Ω)

≤C u


u

1,p

= |∇u|Lp (Ω) + |u|Lq (Ω) ,

trong đó 1 ≤ q ≤ p∗ nếu 1 ≤ p < N, 1 ≤ q < ∞ nếu p = N và q ≤ q ≤ ∞
nếu p > N,

1
1
1
=
−
p∗
p N
tương đương với chuẩn (1.22) với m = 1.
Ta lưu ý kết quả về phép nhúng compact sau đây.
Định lý 1.6. Cho Ω là tập mở, bị chặn trong RN và thuộc lớp C 1 . Khi
đó, phép nhúng không gian H 1 (Ω) vào L2 (Ω) là compact.
“Vết” của hàm u ∈ H 1 (Ω) trên ∂Ω
Nếu Ω là tập thuộc C 1 và mở trong RN với biên ∂Ω, thì mỗi u ∈ C(Ω)
hoàn toàn xác định trên ∂Ω. Ta gọi hạn chế của u trên ∂Ω là vết của u
trên ∂Ω và ký hiệu γ0 (u). Nếu u ∈ L2 (Ω), thì γ0 (u) không xác định. Tuy
nhiên, ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.1. Cho Ω là tập mở thuộc lớp C 1 với biên compact ∂Ω hoặc

Ω = RN . Khi đó, tồn tại C > 0 sao cho
γ0 (u)


(N − 1)p
.
(N − mp)

Định nghĩa 1.3. Cho Ω là tập mở bất kỳ trong RN . Không gian H01 (Ω)
là bao đóng của C01 (Ω) đối với chuẩn của H 1 (Ω).
Suy ra H01 (Ω) là không gian con đóng của H 1 (Ω) và nói chung nó là
không gian con thực sự của H 1 (Ω). Rõ ràng H01 (Ω) là không gian Hilbert
với cùng tích vô hướng
N

u, v

1

=
i=1

∂u ∂v
dx +
Ω ∂xi ∂xi

uvdx
Ω

với chuẩn tương ứng
1/2

u


L2 (Ω)

≤ C ∇u

∀u ∈ H01 (Ω).

L2 (Ω) ,

Đặc biệt, Mệnh đề 1.12 chỉ ra rằng nếu Ω bị chặn, thì tích vô hướng

∇u(x) · ∇v(x)dx

((u, v)) =
Ω

và chuẩn tương ứng
1/2
2

|∇u(x)| dx

u =
Ω

xác định một cấu trúc Hilbert tương đương trên H01 (Ω).
Ta ký hiệu H −1 (Ω) là không gian đối ngẫu của H01 (Ω), tức là không
gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên H01 (Ω). Hay

H −1 (Ω) = {u ∈ D (Ω); |u(ϕ)| ≤ Cu ϕ

22


Tương tự không gian W01,p (Ω), p ≥ 1, được định nghĩa là bao đóng
của C01 (Ω) với chuẩn W 1,p (Ω). Không gian đối ngẫu của W01,p (Ω) là không
gian

1 1
+ =1
p q
được định nghĩa như trong Định lý 1.7 với f0 , f1 , . . . , fN ∈ Lq .
W −1,q (Ω),

Lý thuyết biến phân của bài toán giá trị biên elliptic
Cho V là không gian Hilbert thực và V ∗ là không gian đối ngẫu tôpô
của V. Với mỗi v ∗ ∈ V ∗ và v ∈ V ký hiệu (v ∗ , v) là giá trị v ∗ (v) của phiếm
hàm v ∗ tại v. Phiếm hàm a : V × V → R được gọi là song tuyến tính nếu
với mỗi u ∈ V, v → a(u, v) là tuyến tính và với mỗi v ∈ V, u → a(u, v) là
tuyến tính trên V. Phiếm hàm a được gọi là liên tục nếu tồn tại M > 0
sao cho

|a(u, v)| ≤ M u

V

v

V,

∀u, v ∈ V.

2
23

(1.30)


Nếu a đối xứng, thì bổ đề Lax-Milgram là hệ quả đơn giản của định lý
biểu diễn Riesz. Thật vậy, trong trường hợp này (u, v) → a(u, v) là một
tính vô hướng tương đương trên V , do vậy theo định lý Riesz, phiếm hàm

v → (f, v) có thể được biểu diễn như (1.29) với u∗ ∈ V. Trong trường
hợp tổng quát chúng ta tiến hành như sau. Với mỗi u ∈ V, phiếm hàm

v → a(u, v) là tuyến tính và liên tục trên V và ta ký hiệu nó bằng Au ∈ V ∗ .
Khi đó, phương trình

a(u, v) = (f, v), ∀v ∈ V
có thể được viết lại thành Au = f. Cho nên, rút ra được kết luận vì R(A)
đồng thời đóng và trù mật trong V ∗ .
Nghiệm yếu của bài toán Dirichlet
Xét bài toán Dirichlet

−∆u + c(x)u = f
u=0

trong Ω,
trên ∂Ω,

(1.31)



a(u, v) =
Ω

ta thu được kết quả sau.
Định lý 1.8. Cho Ω là tập mở bị chặn trong RN và lấy c ∈ L∞ (Ω) thỏa
mãn c(x) ≥ 0, hầu khắp x ∈ Ω. Khi đó, với mỗi f ∈ H −1 (Ω) bài toán
Dirichlet (1.31) có nghiệm yếu duy nhất u∗ ∈ H01 (Ω). Ngoài ra, u∗ cực
tiểu phiếm hàm sau trên H01 (Ω)

1
2

(|∇u(x)|2 + c(x)u2 (x))dx − (f, u)

(1.33)

Ω

và ánh xạ f → u∗ là ánh xạ Lipschitz từ H −1 (Ω) lên H01 (Ω).
Nghiệm yếu của bài toán Neumann
Xét bài toán biên

−∆u + cu = f trong Ω,
∂u
=g
trên ∂Ω,
∂v
trong đó c ∈ L∞ (Ω), c(x) ≥ ρ > 0, và f ∈ L2 (Ω), g ∈ L2 (∂Ω).


1
2

(|∇u(x)|2 +c(x)u2 (x))dx−
Ω

gudσ trên H 1 (Ω).

f (x)u(x)dx−
Ω

25

∂Ω