ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

TRẦN THỊ HƯƠNG THƠM

NGHIỆM XẤP XỈ CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
-------------------------------

TRẦN THỊ HƯƠNG THƠM

NGHIỆM XẤP XỈ CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU
CỰC ĐẠI TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành :Toán ứng dụng
Mã số: 60 46 01 12

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TS. Nguyễn Bường

THÁI NGUYÊN - 2016


Một số tính chất của không gian Hilbert . . . . . . .

8

1.1.3

Phép chiếu mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

Toán tử đơn điệu và toán tử đơn điệu cực đại . . . . . . . . 11

1.3

Một số phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu . 14
1.3.1

Phương pháp điểm gần kề . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.2

Phương pháp lặp Mann . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.3.3

Phương pháp lặp Halpern . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Xấp xỉ không điểm của toán tử đơn điệu cực đại
2.1


Bảng ký hiệu
N

tập số nguyên không âm

N∗

tập số nguyên dương

R

tập số thực

H

không gian Hilbert thực

C

tập con đóng lồi của H

∅

tập rỗng

∀x

mọi x


Jr

toán tử giải của T

PC

phép chiếu mêtric từ H lên tập lồi C của H

lim supn→∞ xn

giới hạn trên của dãy số {xn }

lim inf n→∞ xn

giới hạn dưới của dãy số {xn }

∂f

dưới vi phân của hàm lồi f


1

Mở đầu
Toán tử đơn điệu là một công cụ hiệu quả và được sử dụng rộng rãi
trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học như: phương trình vi phân,
lý thuyết tối ưu, lý thuyết xác suất, kinh tế,. . . Đặc biệt trong giải tích
lồi, tính lồi của một hàm nửa liên tục dưới có thể được đặc trưng bởi tính
đơn điệu của dưới vi phân của nó.
Ta xét bài toán

Mục đích của đề tài luận văn nhằm trình bày các nghiên cứu xây dựng
phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại trong không
gian Hilbert thực. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương:
Chương 1: Trình bày về không gian Hilbert, một số tính chất của
không gian Hilbert, toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại, bài
toán và một số phương pháp tìm không điểm của toán tử đơn điệu
cực đại làm cơ sở nghiên cứu cho Chương 2.
Chương 2: Trình bày hai phương pháp tìm xấp xỉ không điểm của
toán tử đơn điệu cực đại trong không gian Hilbert thực. Phần cuối
của chương là áp dụng cho bài toán tìm điểm cực tiểu của hàm lồi.
Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học
Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết
luận văn này.
Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, TS. Nguyễn Thị Thu
Thủy cùng toàn thể các thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ cho
tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường.
Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới trường THPT Chu Văn An – Thái
Nguyên, tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa 2014-2016), bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá
trình học tập, nghiên cứu.


3

Chương 1

Không gian Hilbert

Hilbert thực.
Định lý 1.1.4 (Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Trong không gian tiền
Hilbert H, với mọi x, y ∈ H ta luôn có bất đẳng thức sau
| x, y |2 ≤ x, x y, y .

(1.1)

Chứng minh. Với y = 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Giả sử y = 0, khi đó với mọi số λ ∈ R ta đều có
x + λy, x + λy ≥ 0,
tức là
x, x + λ y, x + λ x, y + |λ|2 y, y ≥ 0.
Chọn λ = −

x, y
ta được
y, y
x, x −

| x, y |2
≥0
y, y

⇔ | x, y |2 ≤ x, x . y, y .
Định lý được chứng minh
Nhận xét 1.1.5 Dấu trong bất đẳng thức Cauchy-Schwarz xảy ra khi và
chỉ khi x và y phụ thuộc tuyến tính.


5


các điều kiện về tích vô hướng. Ngoài ra, với x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ,
n

x

2

= x, x =

n

|xk |2 ,

xk xk =
k=1

k=1

nên Rn là một không gian Hilbert.
Để nghiên cứu về không gian l2 (Λ), trước hết ta cần mở rộng khái niệm
tổng của một họ (tùy ý) các phần tử của không gian định chuẩn. Cho


6

Λ = ∅ là một tập hợp, X là một không gian định chuẩn và f : Λ → X là
một ánh xạ. Ký hiệu F(Λ) là họ tất cả các tập con hữu hạn của Λ. Với
mỗi F ∈ F(Λ), đặt
f (t) ∈ X.


t∈Λ

|g(t)|2 .
t∈Λ

f (t)g(t) là tồn tại với mỗi f, g ∈ l2 (Λ).

Do đó
t∈Λ


7

Xét hàm số ., . : l2 (Λ) × l2 (Λ) → K, xác định bởi
f, g =

f (t)g(t)
t∈Λ

với mỗi f, g ∈ l2 (Λ). Dễ chứng minh được ., . thỏa mãn các điều kiện về
tích vô hướng. Suy ra l2 (Λ) là không gian tiền Hilbert.
Với mỗi f ∈ l2 (Λ),
f

2

= f, f =

|f (t)|2 .

1/2
|g|dµ

< +∞.

X

X

Dễ chứng minh được hàm số xác định bởi (1.3) là tích vô hướng trên
L2 (X, µ). Ngoài ra ta thấy với mỗi f ∈ L2 (X, µ),

||f || =

f, f = 
X

1/2
f f dµ

1/2


=

|f |2 dµ

X

Điều này kéo theo L2 (X, µ) là một không gian Hilbert.

n∈N ,
| xn , xn − x0 , y0 | ≤ | xn , yn − xn , y0 | + | xn , y0 − x0 , y0 |
= | xn , yn − y0 | + | xn − x0 , y0 |

(1.4)

≤ xn . yn − y0 + ||y0 . xn − x0
Do xn → x0 nên dãy {xn } là giới nội, tức là tồn tại K > 0 sao cho
xn ≤ K với mọi n ∈ N∗ . Từ (1.4) ta có
lim xn , yn = x0 , y0 .

n→∞

Điều này kéo theo tích vô hướng là hàm số liên tục.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.1.13 Nếu E là một tập lồi đóng trong không gian Hilbert H thì
tồn tại một phần tử duy nhất x0 ∈ E sao cho
x0 ≤ x ,

với mọi x ∈ E.


9

Chứng minh. Áp dụng đẳng thức hình bình hành, với mọi x, y ∈ E ta
có x + y

2

+ x−y

∈ E, kéo theo
≥ d. Từ (1.5) ta
2
2

có
2

x−y

≤ 2( x

2

+ y 2 ) − 4d2 .

(1.6)

Từ đó, nếu x = y = d thì x = y. Suy ra, x0 trong định lý nếu tồn tại
là duy nhất. Từ định nghĩa của d suy ra tồn tại một dãy {xn } các phần
tử của E sao cho
lim xn = d.

n→∞

Theo (1.6), với mỗi m, n ∈ N∗ , ta có
xn − yn

2



≤λ x

2

+ (1 − λ) y 2 ,

với mọi x, y ∈ H và λ ∈ [0; 1].
Định nghĩa 1.1.16 Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi là
hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu xn − x → 0
khi n → ∞.
Định nghĩa 1.1.17 Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi là
hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn

x, nếu xn , y → x, y khi

n → ∞ với mọi y ∈ H.
Nhận xét 1.1.18 Trong không gian Hilbert H:
a) Hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng.
b) Nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện
xn → x và xn
1.1.3

x, thì xn → x khi n → ∞.

Phép chiếu mêtric

Định nghĩa 1.1.19 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không
gian Hilbert thực H. Ta biết rằng với mỗi x ∈ H đều tồn tại phần tử
PC x ∈ C thỏa mãn

Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì ta nói F là
ánh xạ đơn trị từ X vào Y và được kí hiệu F : X → Y .
Ví dụ 1.2.2 Xét phương trình đa thức
xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an = 0,
trong đó n ∈ Z ∗ , ai ∈ R(i = 1, · · · , n). Quy tắc cho tương ứng mỗi điểm
a = (a1 , a2 , a3 , · · · , an ) ∈ R với tập nghiệm của phương trình trên, ký hiệu
bởi F (a) cho ta ánh xạ đa trị F : Rn → 2C trong đó C là tập hợp số phức.
Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạ đa trị T : H → 2H với miền hữu hiệu
domT = {z ∈ H : T z = ∅}


12

và miền ảnh
R(T ) = ∪{T z : z ∈ domT }.
T được gọi là đơn điệu nếu x1 − x2 , y1 − y2 ≥ 0 ∀xi ∈ domT và yi ∈
T xi , i = 1, 2
Ví dụ 1.2.4 Ví dụ dơn giản nhất về các toán tử đơn điệu là các toán tử
tuyến tính và đơn trị. Chẳng hạn, nếu H là một không gian Hillbert thực
và T : H → H ∗ ≡ H là một ánh xạ tuyến tính thì T là đơn điệu khi và
chỉ khi T là toán tử dương, nghĩa là T x, x ≥ 0, ∀x ∈ H.
Ví dụ 1.2.5 Cho D là một tập con khác rỗng của tập số thực R. Một
hàm ϕ : D → R∗ ≡ R là một toán tử đơn điệu khi và chỉ khi ϕ là một
hàm đơn điệu không giảm theo nghĩa thông thường.
Thật vậy, nếu ϕ là một hàm đơn điệu không giảm theo nghĩa thông
thường thì
∀t1 , t2 ∈ D, t1 < t2 ⇒ ϕ(t1 ) ≤ ϕ(t2 )
hay
[ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )](t2 − t1 ) ≥ 0,


∀x, y ∈ C.

Nếu L < 1 thì ta nói F là ánh xạ co trên C.
Nếu L = 1 thì ta nói F là ánh xạ không giãn trên C.
Định nghĩa 1.2.8 Một toán tử đơn điệu T được gọi là đơn điệu cực đại
nếu đồ thị G(T ) = {(x, y) : y ∈ T x} không chứa thực sự trong đồ thị của
toán tử đơn điệu khác.
Mệnh đề 1.2.9 Cho toán tử đơn điệu T trên H, T là đơn điệu cực đại
khi và chỉ khi R(I + T ) = H.
Định nghĩa 1.2.10 Cho T : H → 2H là một toán tử đơn điệu cực đại,
với mỗi r > 0 một toán tử Jr : H → H xác định bởi Jr = (I + rT )−1 được
gọi là toán tử giải (ánh xạ gần kề) của T trong đó I là toán tử đồng nhất
trong H.
Mệnh đề 1.2.11 Cho T là toán tử đơn điệu cực đại bất kì và số thực
r > 0, toán tử giải Jr = (I + rT )−1 là không giãn (do đó là đơn trị) và có
miền xác định đầy đủ.
Mệnh đề 1.2.12 Cho toán tử đơn điệu cực đại T , số thực r > 0, và
x ∈ H, 0 ∈ T x khi và chỉ khi Jr (x) = {x}.


14

Chứng minh. Bằng cách tính trực tiếp, Jr = {(x + ry, x) | (x, y) ∈ T }.
Vì vậy
0 ∈ T x ⇔ (x, 0) ∈ T ⇔ (x, x) ∈ Jr .
vì Jr là đơn trị nên phần chứng minh được kết thúc.
Ta xác định toán tử xấp xỉ Ar bằng
Ar =

I − Jr

Nếu T là đa trị thì đây là bài toán tìm không điểm của toán tử đơn
điệu cực đại T.
Về mặt hình thức thì bài toán này khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàm
được nhiều lớp bài toán quan trọng khác thuộc nhiều lĩnh vực như bài
toán cực tiểu hàm lồi, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm
bất động . . .
Trong trường hợp T là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường và
nửa liên tục dưới f : H → R ∪ +∞ (tức là T = ∂f ) thì T là toán tử đơn
điệu cực đại và khi đó bài toán (1.7) sẽ trở thành bài toán:
Tìm z ∈ H sao cho f (z) = min f (x)
x∈H

và được gọi là bài toán cực tiểu hàm lồi.
Thật vậy, ta có 0 ∈ T z khi và chỉ khi 0 ∈ ∂f (z). Theo định nghĩa dưới
vi phân hàm lồi
0, u − z ≤ f (u) − f (z),
⇔ f (z) ≤ f (u),

∀u ∈ H

∀u ∈ H.

Điều này cho thấy việc tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại
tương đương với việc tìm cực tiểu hàm lồi và nửa liên tục dưới f .
Trong mục này ta trình bày phương pháp lặp Mann, phương pháp lặp
Halpern và phương pháp điểm gần kề để tìm nghiệm của bài toán 0 ∈ T z
trong trường hợp T là toán tử đơn điệu cực đại.
Ta biết rằng, với mỗi z ∈ H và r > 0, tồn tại duy nhất u ∈ H sao cho
z ∈ (I + rT )(u).




17

1.3.2

Phương pháp lặp Mann

Phương pháp này được Mann [10] nghiên cứu và đề xuất năm 1953. Về
cơ bản là tạo ra một dãy số theo sơ đồ lặp:
x0 = x ∈ H
xn+1 = αn xn + (1 − αn )U xn ,

(1.8)

với mọi n = 0, 1, 2, . . ., trong đó x0 = x ∈ H, {αn } là một dãy trong [0; 1]
và U : H → H là ánh xạ không giãn.
Dãy lặp (1.8) được gọi là dãy lặp Mann.
Mann [10] đã chứng minh được dãy {xn } sinh bởi (1.8) hội tụ yếu tới
z ∈ Fix(U ) với tâp Fix(U ) là tập các điểm bất động của U , nghĩa là
FixU := {x ∈ H : U (x) = x}.
1.3.3

Phương pháp lặp Halpern

Một phương pháp khá thông dụng, đảm bảo sự hội tụ mạnh của dãy
lặp là phương pháp lặp do Halpern [8] đề xuất vào năm 1967 như sau:
x0 = x ∈ H
xn+1 = αn x + (1 − αn )U xn ,


xn+1 = αn x + (1 − αn )Jrn xn

n = 0, 1, 2, . . .

(2.1)

xn+1 = αn xn + (1 − αn )Jrn xn

n = 0, 1, 2, . . .

(2.2)

và


19

trong đó x0 = x ∈ H, {αn } ⊂ [0; 1] và {rn } ⊂ (0; ∞).
Ta sẽ chứng minh dãy {xn } sinh bởi (2.1) hội tụ mạnh tới v ∈ T −1 0 và
dãy {xn } sinh bởi (2.2) hội tụ yếu tới v ∈ T −1 0. Hơn nữa sử dụng kết quả
này ta xét trong trường hợp T = ∂f , với f là một hàm lồi.
2.1.2

Định lý hội tụ mạnh

Cho T : H → 2H là một toán tử đơn điệu cực đại, cho Jr : H → H là
toán tử giải của T ta xét thuật toán sau: Dãy {xn } được tạo bởi





(ii)
n=0

(iii) lim rn = ∞.
n→∞

Khi đó, nếu T −1 0 = ∅ thì dãy {xn } hội tụ mạnh tới P x trong đó P là phép
chiếu mêtric từ H lên T −1 0.


20

Chứng minh. Từ T −1 0 = ∅ suy ra tồn tại u ∈ T −1 0 sao cho Js u = u với
mọi s > 0. Khi đó ta có
x1 − u = α0 x + (1 − α0 )y0 − u
≤ α0 x − u + (1 − α0 ) y0 − u
≤ α0 x − u + (1 − α0 )(δ0 + Jr0 x0 − u )
≤ α0 x − u + (1 − α0 )(δ0 + x0 − u )
≤ x − u + δ0 .
Nếu

k−1

xk − u ≤ x − u +

δi
i=0

với bất kì k ∈ N\{0} thì

Để chứng minh được điều này, ta chứng minh
lim sup x − P x, Jrn xn − P x ≤ 0.
n→∞

(2.5)


21

Vì yn − Jrn xn → 0 khi đó tồn tại dãy con {xni } ⊂ {xn } sao cho
lim sup x − P x, Jrni xni − P x = lim sup x − P x, Jrn xn − P x .
n→∞

i→∞

Do {Jrn xn } giới nội, ta có thể giả thiết rằng {Jrni xni } hội tụ yếu tới v ∈ H,
từ đó suy ra v ∈ T −1 0.
Do Arn xn ∈ T Jrn xn và T đơn điệu nên
z − Jrni xni , z − Arni xni ≥ 0 với z ∈ T z.
Từ Arn xn → 0, ta nhận được z − v, z

≥ 0 với z ∈ T z. Do đó từ tính

đơn điệu cực đại của T , ta có v ∈ T −1 0, vì P là phép chiếu mêtric từ H
lên T −1 0 nên ta nhận được:
lim sup x − P x, Jrn xn − P x = lim sup x − P x, Jrni xni − P x
n→∞

i→∞



2

= αn+m x + (1 − αn+m )yn+m − P x
2
= αn+m
x − Px

2

2

+ (1 − αn+m )2 yn+m − P x

+ 2αn+m (1 − αn+m ) x − P x, yn+m − P x

2