DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

THCS: Trung học cơ sở
HS:

Học sinh

GV:

Giáo viên

SGK:

Sách giáo khoa

CNTT: Công nghệ thông tin
BĐTD: Bản đồ tư duy
PSTG: Phân số tối giản
ĐN:

Định nghĩa

(a, b): ƯCLN(a;b)
a\b : a là ước số của b hay b chia hết cho a.
NXBGD: Nhà xuất bản giáo dục

-1-


MỤC LỤC


Chương II

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Cơ sở lí luận, thực trạng vấn đề ......

Các giải pháp ......................

.2.1. Giúp HS nắm vững kiến thức cơ bản
2.2. Giúp HS xác định phạm vi kiến thức chính liên quan .......
2.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác

7
7
10
12

Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản
Dạng 2: Tìm tham số n để phân số tối giản.
Dạng 3: Tìm tham số n để phân số không tối giản hoặc .......
Dạng 4: Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước

12
19
21
23

Dạng 5: Tìm phân số tối giản thỏa mãn điều kiện cho trước

25


đưa ra một số bài tập khác nhau và lời giải cụ thể cho mỗi bài mà chưa có sự khái
quát phân loại cũng như không định hướng cụ thể phạm vi kiến thức liên quan nên
trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự coi trọng quan tâm khai thác,
thiếu sự đầu tư nghiên cứu và cũng ít dành thời gian để rèn luyện dạng toán về
PSTG cho các em vì vậy đa số HS thấy thiếu tự tin khi gặp loại toán này.
Song nếu chịu khó đầu tư quan tâm nghiên cứu và dành thời gian để rèn
luyện thì bài toán về phân số tối giản là một trong những dạng toán hay, thu hút
người dạy, người học và có nhiều ứng dụng, góp phần kích thích được tính tích
cực, kiên nhẫn tìm tòi, khả năng sáng tạo, tính linh hoạt trong tư duy của người
học.
-3-


Những năm gần đây, đẩy mạnh ứng dụng CNTT và Bản đồ tư duy vào dạy
học nên trong khi thực hiện đề tài tôi đã mạnh dạn phát huy lợi thế của công cụ
đắc lực đó ở một số bước thực hiện đem lại những hiệu quả nhất định đồng thời
kích thích được lòng say mê và hứng thú của học sinh, được học sinh hưởng ứng
nhiệt tình và cũng đã tạo được cho các em một lối tư duy sáng tạo, cách ghi chép,
học tập hiệu quả, khả năng nhớ lâu kiến thức và rèn kỹ năng ôn tập sáng tạo cho
các em.
Việc cho học sinh tự mình khai thác phát hiện và tự đặt câu hỏi cho bài toán
cũng là một điểm mới mà đề tài đã khai thác và thu được nhiều điều thú vị đáng
chia sẻ.

NỘI DUNG ĐỀ TÀI
Chương I
-5-


CƠ SỞ LÝ LUẬN, THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ DẠY VÀ HỌC



thường bị bối rối khi thay đổi các câu hỏi theo các cách khác nhau với cùng một
yêu cầu của bài toán. Khi ôn tập HS cũng chưa thật sự chú ý đến mối quan hệ
giữa các kiến thức liên quan do đó HS chưa tìm ra được “sợi chỉ” xuyên suốt, xâu
chuỗi các kiến thức đó với nhau.Vì vậy hầu như HS chưa phát huy được tính tích
cực khi học tập về PSTG.
Trên cơ sở nắm vững lý luận và nắm bắt rõ thực tế tôi đề xuất giải pháp thực
hiện như sau:

Mọi phân số đều
đưa Chương
được về II
dạng tối giản
CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN CÓ HIỆU QUẢ TRONG VIỆC

HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 6 GIẢI CÁC BÀI TOÁN
Tổng, hiệu của
Phân số không
VỀ PHÂN SỐ TỐI GIẢN
một số nguyên
rút gọn được
với HS nắm vững kiến thức cơ bản
2.1. Giúp
nữa
PSTG
Trước
hết GV giúp HS nắm vững các kiến thức cơ bản về phân số và PSTG:
là PSTG
 Phân số là số có dạng

b
a

tối giản thì
 Tổng
cũng
tối (hiệu)
giản của một số nguyên và một phân số tối giản là một PSTG.

ƯCLN(a;b) =1
Đối với bước này, để giúp HS dễ nhớ, nhớ lâu và nhìn thấy sự liên kết
tối năng
giản diễn
của đạt một vấn đề theo các cách
giữa các khái niệm cũng như Dạng
rèn khả
một phân số là duy
khác nhau để dễ dàng liên hệ đến thực
nhấttế giải toán thì việc vận dụng bản đồ
tư duy mang lại hiệu quả đáng kể.
Bằng kinh nghiệm của bản thân tôi đã dẫn dắt HS xây dựng được sơ đồ
sau (Sơ đồ 1):

Sơ đồ 1

-7-


Sơ đồ 1


8
là PSTG vì ƯCLN(8;15) =1
15

 Phân số

6
là PSTG vì ƯCLN(6;17) = 1
17



17
:
6

Phân số

* Cách 1: Phân số

17
là PSTG vì ƯCLN(17;6) = 1
6

* Cách 2: Phân số

17
6
là PSTG vì phân số
là PSTG

2.2. Giúp HS xác định phạm vi kiến thức chính liên quan đến dạng toán
về PSTG
Có nhiều cách làm khác nhau có thể giúp HS xây dựng được hệ thống các
kiến thức liên quan. Song với tinh thần đổi mới phương pháp dạy học hiện nay
cũng như giúp HS nắm được “mạch” kiến thức một cách có lôgic, có sức
thuyết phục, dễ nhớ, dễ hiểu mà không tách rời với khoa học bộ môn đồng
thời kích thích được tính sáng tạo ở HS thì GV có thể tiếp tục sử dụng bản đồ
tư duy đối với bước này(Sơ đồ 2)

- 10 -


Kiểm tra
phân số
tối giản

ƯCLN
PP
xác
định

Trực tiếp: Thuật
toán Ơclit
(Euclude)

Gián tiếp: Chủ yếu
dùng tính chất chia
hết của tổng, hiệu

Các tính chất:

Với việc vận dụng thuật toán Euclid tìm ƯCLN của hai số đối với học sinh lới 6
chỉ nên dừng lại ở hai số cụ thể. Sau khi học phép chia đa thức (ở lớp 8) học sinh
sẽ sử dụng thuật toán này để tìm ƯCLN của hai đa thức.
Chẳng hạn: Chứng minh ƯCLN(n4 +3n2 + 1; n3 + 2n) = 1
2. Chứng minh phản chứng: Giả sử ƯCLN (a;b) = d với d khác 1.
Khi đó kết hợp với các điều kiện đã cho của bài toán dẫn đến một điều vô lí
hoặc trái giả thiết bài toán đã cho thì suy ra chỉ có thể ƯCLN(a;b) = 1.
3. a �b(mod m): a đồng dư với b theo môđun m nghĩa là a và b có cùng số dư
trong phép chia cho m.
2.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn khai thác
Dạng 1: Chứng minh phân số với tham số n là phân số tối giản
* Chọn một số bài tập điển hình hướng dẫn học sinh giải và khai thác
Mức áp dụng trực tiếp đối với học sinh trung bình:
Bài 1.1: Chứng tỏ rằng phân số

1
tối giản với mọi n � N, n �0
n

Mọi học sinh đều dễ dàng nhận ra vì ƯCLN(1; n) = 1 với mọi n � N, n �0

- 12 -


Giải: Vì ƯCLN(1,n) = 1 nên

1
là PSTG.
n


Hoặc: - Chứng tỏ rằng phân số

2011
là phân số không rút gọn được nữa
2012

Hoặc: - Tử và mẫu của phân số

2011
có thể cùng chia hết cho các số nào?
2012

Với cách làm này, HS thấy được với cùng một bài toán nếu nắm được bản
chất có thể tự mình đặt các câu hỏi khác nhau, diễn đạt yêu cầu theo các cách khác
nhau và các em thực sự rất hào hứng. Sau đó GV tiếp tục nâng bài toán lên với
mức độ khó hơn và luôn đặt ra yêu cầu này để các em được rèn luyện về ngôn ngữ
cũng như nắm vững được bản chất của bài toán.
Từ bài toán 1.1, áp dụng nhận xét “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với một
PSTG là một PSTG” GV hướng dẫn HS cùng khai thác theo cách sau:
- 13 -


? Cộng (hoặc trừ) 1 đơn vị ở phân số trong bài toán 1.1 ta có phân số nào? (HS dễ
dàng làm được)
? Phân số thu được có phải là PSTG không? Vì sao?
? Vậy ta có bài toán nào? Nêu cách giải?
Với phương pháp này HS thấy đã tự mình khám phá ra một bài toán mới khó
hơn nên các em rất say sưa, hứng thú.
+ Nâng bài toán lên dạng khái quát với tham số dành cho HS mức trung bình khá
Bài 1.3:

chất chia hết của một tổng) vậy thì d = 1 nên
Cách 3: Ta có:

n 1
là phân số tối giản
n

n 1
1
1
n 1
= 1  mà là PSTG vì ƯCLN(1; n) = 1 nên
tối giản
n
n
n
n

do “Tổng, (hiệu) của một số nguyên với một PSTG là một PSTG”(Về thực chất
đây cũng là thuật toán Euclide).
b, Giải tương tự.
Với bài toán này có nhiều hướng khai thác, tuy nhiên nhằm vừa khai thác
vừa củng cố kiến thức thì đến đây GV có thể hướng dẫn HS tiếp tục khai thác theo
hướng sau:
? Nếu đổi tử cho mẫu ta có phân số nào? Hãy nêu bài toán mới?
- 14 -


Với sự hướng dẫn đó HS hoàn toàn tự tin nêu bài toán mới:
Bài 1.3’: Chứng minh rằng các phân sau là phân số tối giản

n 1

nào?
….
Trên cơ sở của bài toán 1.1, nếu thay đổi số nguyên đem cộng vào hoặc kết
hợp các kiến thức đã được ôn tập từ sơ đồ 1 các em sẽ thu được nhiều bài toán khó
hơn và rất thú vị. Lúc này HS thật sự vào cuộc hăng hái và thích thú. Kết quả là có
nhiều bài toán mới khác nhau được nêu lên. Chẳng hạn:
Bài 1. 4 Chứng minh rằng với n �Z các phân số sau tối giản.
a,

n
1
( n khác 0) (HS lấy nghịch đảo của tổng 2  )
2n +1
n

b,

1
1
1
(HS đã suy luận từ là PSTG nên
cũng là PSTG)
7n  1
n
7n  1

c,


(với mọi n �Z, n khác 0) - (kết quả của  n )
n
n

b,

n
1
(Lấy nghịch đảo của  n )
n 1
n

c,

7n  1
1
(với mọi n �Z) - (Lấy nghịch đảo của n +
)
2
7n  n  1
7n  1

d,

n
1
1
(với mọi n �Z, n khác 0) - (kết quả của nghịch đảo  n của  n 2 )
n 1
n

dư 3. Vì thế khi tìm được d = 1 hoặc d = 2 HS đã vội vàng kết luận

a
không
a2

phải là phân số tối giản.

- 16 -


Giải:

Gọi ƯCLN (a; a+2) = d thì a Md và a +2 Md do đó 2 Md nên d = 1 hoặc d =

2. Vì a là số tự nhiên chia 4 dư 3 nên a là số lẻ nên d chỉ có thể bằng 1.
Vậy phân số

a
là PSTG.
a2

Sau khi giải các bài toán dạng 1, GV cần chốt lại các hướng khai thác từ bài
toán ban đầu thành các bài toán mới cùng dạng và cho HS rèn luyện giải và khai
thác thông qua hệ thống bài tập đề xuất . Tôi đã sử dụng thành công việc chốt vấn
đề bằng sơ đồ sau: (Sơ đồ 3)

- 17 -




Phát biểu dạng khác

Chứng minh ƯCLN
bằng 1
Chứng minh nguyên tố
cùng nhau

Tử và mấu có ước
chung nào?

Sơ đồ 3

- 18 -


……
* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác:
Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố
cùng nhau:
a. Hai số lẻ liên tiếp
b. 2n + 1 và 3n + 1
c. 21n + 4 và 14n + 3
Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản
2n  1

a. 2n(n  1) ( Với n khác 0 và - 1)

b.


là PSTG thì 1 
cũng tối giản tức là
cũng tối giản
n-1
n-1
n-1

do đó GV có thể hướng dẫn HS khai thác theo hướng đã nêu ở dạng 1 để có bài
toán mới sau:
Bài 2.2: Tìm tất cả các số nguyên n để
Lược giải: Vì

n-8
(n khác 1) là phân số tối giản.
n-1

n-8
7
n-8
= 1
nên
(n khác 1) là PSTG khi
n-1
n-1
n-1

7
là PSTG là
n-1


)
n-1
n-1

d,

n-1
7
(Kết quả của nghịch đảo của 2n 
)
2n -2n-7
n-1
2

Để đánh giá được mức độ tiếp thu của HS có thể cho HS thực hành giải và
khai thác trên bài toán cụ thể. Chẳng hạn:
Bài 2.4: Tìm tất cả các số nguyên n để phân số

3
là phân số tối giản.
2n  3

Hãy giải và đề xuất cách khai thác bài toán mới?
Giải: Vì 3 là số nguyên tố nên

3
là PSTG khi 2n + 3 không chia hết cho 3.
2n  3

Do 3 M3 nên 2n M 3 khi n M3 hay n �3k (k là số nguyên).

nữa
- 20 -


* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS tự luyện giải và khai thác
Bài 1. Tìm số tự nhiên n để các số sau nguyên tố cùng nhau:
a. 4n + 3 và 2n +3
b. 7n + 13 và 2n + 4
Bài 2. Tìm số tự nhiên n để:
18n + 3
là PSTG.
21n + 7

a, Phân số
b, Phân số

8n  193
là PSTG.
4n  3

Nếu bài toán dạng 2 yêu cầu tìm tham số n để phân số tối giản thì ngược lại
với bài toán dạng 2 là bài toán rất thường xuyên gặp trong chương trình toán lớp 6
cũng như sau này trong các đề thi thường được khai thác:
Dạng 3: Tìm tham số n để phân số không tối giản hoặc có giá trị là một số
nguyên, một số tự nhiên
* Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn HS giải và khai thác
Cũng làm tương tự như trên, GV nêu một bài toán đơn giản mà HS có thể tự
giải được. Có thể vận dụng ngay bài toán 2.1 và thay đổi yêu cầu để có bài toán
khác:
Bài 3.1: Tìm tất cả các số nguyên n để

b,

c,

n 2 -n-7
n-1

d,

n-1
2n -2n-7
2

Nếu chỉ xét trường hợp tử chia hết cho mẫu thì có thể nêu bài toán dưới dạng
sau:
Bài 3.2: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho mỗi phân số sau trở thành một số
9 15
;
x x2

nguyên :
Giải:
a,

9
là một số nguyên khi x khác 0 và là ước số của 9.
x

Do đó x � { �1; �3; �9 }
b,

5
3

15
13

15
là một số nguyên khi x � {-17;-7;-5;-3;-1;1;3;13}
x2

Lưu ý: HS lớp 6 mới làm quen với số nguyên âm nên nếu các em đọc không kỹ
đề bài sẽ dẫn đến chỉ xét các ước tự nhiên của tử do đó GV cần nhấn mạnh giúp
HS tránh thiếu sót khi làm bài.
Đến đây, GV hoàn toàn có thể yêu cầu HS khai thác đề bài trên để có bài toán
tương tự. Chẳng hạn:
Bài 3.3: Tìm tất cả các số nguyên x sao cho mỗi phân số sau trở thành một số
nguyên :
a.

2x+9
9
(Kết quả của 2+ )
x
x

b.

3x+21
15
(Kết quả của 3 +


Bài 3: Tìm số tự nhiên n để 2n + 3 và 4n + 1 là hai số có ƯCLN khác 1.
Nhấn mạnh các cách nêu yêu cầu khác nhau đối với bài toán dạng này như:
+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho có thể rút gọn được
+Tìm số tự nhiên n để hai số cho trước có ƯCLN khác 1
+ Tìm số tự nhiên n để các phân số đã cho nhận giá trị nguyên
.....
Trong thực tế giải toán ta còn gặp những phân số chỉ tối giản khi đi kèm với
một điều kiện khác. Do đó với đối tượng HS khá giỏi, GV mạnh dạn cho các em
tiếp xúc với dạng toán này:
Dạng 4: Chứng minh phân số tối giản với điều kiện cho trước
Đây là dạng bài khó, trừu tượng nên GV cần chú ý dẫn dắt sao cho phù hợp
với đối tượng HS của mình.
*Chọn một số bài tập điển hình, hướng dẫn HS giải và khai thác
Phân tích: Áp dụng nhận xét tổng, hiệu của một số nguyên với một phân số tối
giản là phân số tối giản. Xuất phát từ một phân số tối giản ban đầu dưới dạng tổng
p

quát chẳng hạn q . Tiếp tục khai thác theo hướng trên, GV cho HS cộng thêm một
số nguyên bất kỳ để tạo ra bài toán mới. Để bài toán mở đầu đơn giản GV hướng
dẫn HS cộng thêm 1 đơn vị để có phân số tối giản

p+q
. Khi đó HS tự khám phá
q

được bài toán mới một cách thú vị.
p

Bài 4.1: Cho phân số q tối giản chứng minh rằng phân số

vậy
tối
q
q

giản
Ngoài ra cũng nên cho HS tiếp cận với phương pháp chứng minh phản
chứng như đã giới thiệu ở trên.
Cách 2:
Giả sử

Phản chứng
p+q
không tối giản suy ra
q

ƯCLN ( p + q ; q ) = d khác 1 nên p + q Md và q Md
p

hay ƯCLN ( p,q) = d khác 1. Như vậy trái với đề bài đã có q tối giản vậy

p+q
là
q

phân số tối giản.
Dựa trên cách khai thác đó HS đã đề xuất được một loạt bài tương tự và
hoàn toàn tự giải được, chẳng hạn như:
p


Kết
quả
của
q
q
p

Mặt khác, nếu phân số q không tối giản thì ƯCLN (p;q) = d (d khác 1). Có thể yêu
cầu học sinh tìm ƯCLN (p+q; q) từ đó đề xuất bài toán mới như sau:
Bài 4.3 Chứng tỏ rằng: ƯCLN (p;q) = ƯCLN (p+q; q).
Giải: Gọi ƯCLN (p;q) = d. Khi đó d \ p và d \ q suy ra d\ p + q. Nên ƯCLN (p+q;
q) = d hay ƯCLN (p;q) = ƯCLN (p+q; q).
Đối với HS có khả năng tư duy tốt hơn GV có thể nêu bài toán khó hơn dưới dạng
câu hỏi khác. Chẳng hạn:

- 24 -


Bài 4.4: Cho phân số tối giản

a
11a + 2b
xét xem phân số
có là phân số tối giản
b
18a + 5b

không?
GV có thể hướng dẫn HS như sau:
? Để xét phân số


* Đề xuất bài toán tương tự yêu cầu HS luyện giải và khai thác
Bài 1: Chứng minh rằng
a, ƯCLN(5a+3b; 13a + 8b)= ƯCLN(a; b)
b, ƯCLN(a; a + b) = ƯCLN(a; b)
c, ƯCLN(a; a - b) = ƯCLN(a; b)
Bài 2: Nếu a,b,c lẻ thì ƯCLN(a; b; c)= ƯCLN(
Bài 3: Cho

ab bc ca
;
;
)
2
2
2

a
ab
là phân số tối giản, xét xem phân số
có tối giản không?
b
a b

Bài 4: Chứng minh rằng 5n2 + 1 M6 thì

n
n
và
tối giản

? Lúc này quan hệ giữa hai phân số như thế nào? (

a
a4
=
)
b
b  10

? Từ tính chất hai phân số bằng nhau đã học ta có điều gì? ( a(b+10) = b(a+4) )
? Hãy tìm

a
b

Giải:
Khi cộng thêm tử với 4, mẫu với 10 vào phân số
Lúc này ta có:

a
a4
ta được phân số
b
b  10

a
a4
=
b
b  10

a
a
1

tăng gấp 2 lần suy ra a + b = 4a nên b = 3a. Do đó =
bb
2b
b
b
3

Với loại bài toán này GV có thể cho HS chọn một phân số tối giản ban đầu, sau đó
tiến hành thêm, bớt ở tử, ở mẫu để có phân số mới. Sau khi nhận xét về quan hệ
giữa tử và mẫu của phân số mới hoặc quan hệ giữa phân số mới với phân số ban
đầu sẽ giúp HS xây dựng được bài toán mới.

- 26 -