ww

w.

fa

ce

bo

ok
.c

om

/g

ro

up

s/

Ta

iL

ie

uO


S
   0
2
S
  0
2
2. Bất đẳng thức:
Các tính chất của bất đẳng thức:
a  b
*
ac
b  c
*a  b  a  c  b  c

Ho

c0

I/ ĐẠI SỐ:
1. Tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai
f ( x)  ax 2  bx  c

On

Th
iD

ai

b

  0
f /

af ( )  0
 x1  x2  

/T

ai

Li


  0

d /   x1  x2  af ( )  0
S
   0
2

fa

ce

bo

ok

af ( )  0
g / x1    x2    

 ac bd
c  d
*a  c  b  a  b  c
a  b  0
*
 ac  bd
c  d  0
a  b  0
*
 a n  bn
*
n

N

*a  b  0  a  b
*a  b  3 a  3 b
Bất đẳng thức chức giá trò tuyệt đối:
 a  a  a a  R

x  a  a  x  a

a  0

x  a  x  a  x  a
a  b  ab  a  b

( a, b  R )

Bất đăûng thức Cauchy( cho các số không



b1 b2 b3

2
1

 a22  a32  b12  b22  b32 

m/

gr

ou

ps

/T

ww

w.

fa

ce

bo

ok

3. Cấp số cộng:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số cộng có công sai là d nếu
un  un 1  d
c/Tổng của n số hạng đầu tiên:
n
n
S n  (u1  un )  [2u1  (n )d ]
2
2
4. Cấp số nhân:
a/Đònh nghóa: Dãy số u1, u2…….,un,…….
Gọi là cấp số nhân có công bội là q nếu
un  un 1.q

A  B
*A B
 A  B
6. Phương trình , bất phương trình chứa căn
thức:
( B  0)
A  0
* A B
A  B
B  0
* AB
2
A  B
A  0
* A B


2
A  B
B  0

A  0
* AB
B  0

  A  B 2
7. Phương trình, bất phương trình logarit:
0  a  1

*log a f ( x )  log a g ( x)   f ( x)  0
( g ( x)  0)
f(x)=g(x)

0  a  1
 f ( x)  0

*log a f ( x )  log a g ( x)  
 g ( x)  0
(a  1)  f ( x)  g ( x)   0


“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01



Li

sin(  x)   sin x

* a  a  a n. m
10. Logarit:0



cos(  x )  sin x
2



tg (  x)  cot gx
2

1

cot g (  x )  tgx
2
Cung hơn kém  :
sin(  x)   sin x

ce

fa

w.
ww

*log a N 

tg ( x)  tgx

bo

a
*(a )   a
* a a

ai

1
cos 2 x
1
1  cot g 2 x 
sin 2 x
2. Cung liên kết:
Cung đối:
cos(  x )  cos x
1  tg 2 x 

*



1

tgx 

a  0
*a f ( x )  a g ( x )  
(a  1)  f ( x)  g ( x)   0
9. Lũy thừa:
*a .a  .a   a   


Cung hơn kém




2

sin(  x)  cos x
2



c0



Ho

tg (  x)   cot gx
2



Th
iD

ai

cot g (  x )  tgx
2

1  cos 2 x
sin 2 x 
2
5. Công thức nhân ba:
sin 3 x  3sin x  4sin 3 x

.c
o

m/

gr

ou

ps

tg 2 x 

ok

cos 3 x  4 cos3 x  3cos x

ww

w.

fa

ce

2
1
sin x sin y  cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 
2
b/Tổng thành tích:
x y
x y
cos x  cos y  2 cos
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2 sin
sin
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 cos
sin

4





sin x  cos x  2 sin( x  )   2 cos( x  )
4
4
2
1  sin 2 x  (sin x  cos x)

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN

 k 2

sin x  1  x  
sin x  0  x  k


2

Cách giải: Đặt

cos x  1  x    k 2

eu



k
2
c / tgx  tgu  x  u  k

b 2  a 2  c 2  2ac cos B

(k  Z )

gr

ou

2. Phương trình bậc n theo một hàm số
lượng giác:
Cách giải: Đặt t = sinx (hoặc cosx, tgx,
cotgx) ta chuyển về phương trình:
ant n  an 1t n 1  ......  a0  0

bo

ok

.c
o

b2  c2  a2
2bc
2
a  c2  b2
cos B 
2ac
2
a  b2  c2
cos C 
2ab
2. Đònh lý hàm số sin:
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
3. Công thức tính độ dài đường trung tuyến:
b2  c2 a2
ma2 

2
4
2
2
a  c b2
mb2 

2

Ho



 k  Z

ai

sin x  1  x 

và đặt t= tgx Chú ý:
1
 d (1  tg 2 x)
d
2
cos x
5.
Phương trình dạng:
a.(sin x  cos x )  b sin x.cos x  c  0

c0

II.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC:
1. Phương trình cơ bản:
 x  u  k 2
a / sin x  sin u  
 x    x  k 2

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT


1
cos 2 x

ce

7 /(cot gx) '  

1
sin 2 x

17 /(tgu ) ' 

u'
cos 2 u

18 /(cot gu ) '  

u'
sin 2 u

19 /(eu ) '  u ' eu

9 /( a x ) '  a x ln a

20 /( a u ) '  u ' au ln a

w.

fa


1

2 /( x ) ' 

1
x

21/(ln u ) ' 

u'
u

1
u'
22 /(log a u ) ' 
x.ln a
u.ln a
2. Nguyên hàm các hàm số thường gặp:
11/(log a x) ' 

dx
 ln x  C
x
dx
1
 x2   x  C

 cos xdx  sin x  C
 sin xdx   cos x  C
2

C
ln a

x
 a dx 

 cos

x
x
 e dx  e  C

Li

eu

On

3. Diện tích hình phẳng- Thể tích vật thể
tròn xoay:
-Viết phương trình các đường giới hạn hình
phẳng.
-Chọn công thức tính diện tích:

/T

12 /(u  ) '   .u  1.u '

x 1
 C (  1)

lb 
ac
C
2ab cos
2
lc 
ab
5. Công thức tính diện tích tam giác:
1
1
1
S  a.ha  b.hb  c.hc
2
2
2
1
1
1
S  bc.sin A  ab.sin C  ac.sin B
2
2
2
abc
S  p.r 
4R
S  p ( p  a )( p  b)( p  c)

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

c0

PHÉP DỜI HÌNH
 Phép biến hình: Phép biến hình ( trong mặt
phẳng) là một quy tắc để với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác đònh được một điểm
duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN

kính , biến góc thành góc bằng nó.

gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình
đó.
PHÉP TỊNH TIẾN VÀ PHÉP DỜI HÌNH
 Đònh nghóa phép tònh tiến: Phép tònh tiến

theo vectơ u là một phép biến hình biến
 
điểm M thành điểm M’ sao cho MM '  u.

Phép tònh tiến theo vectơ u thường được ký

hiệu là T hoặc Tu . Vectơ u được gọi là


Li
ai
/T

bo

fa

w.
ww

Trục đối xứng của một hình: Đường thẳng
d gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép
đối Đd biến H thành chính nó, tức là Đd(H) =
H

không đổi. Phép biến hình biến điểm O
thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O
thành điểm M’ sao cho OM = OM’ và
(OM , OM ')   được gọi là phép quay tâm

ce



Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục
Oy biến điểm M(x; y) thành M’( x’; y’) ta
có:
x '  x


Đònh lý 2: Phép tònh tiến biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó
Hệ quả: Phép tònh tiến biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến
đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có cùng bán
kính, biến góc thành góc bằng nó.
Biểu thức tọa độ của phép tònh tiến: Trong
mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho phép

tònh tiến theo vectơ u .

Biết tọa độ của u là (a,b). Giả sử điểm
M(x;y) biến thành điểm M’(x’; y’). Khi đó
ta có:
x '  x  a

y'  y  b
Phép dời hình: Phép dời hình là phép phép
biến hình không là thay đổi khoảng cách
giữa hai điểm bất kì.
Đònh lý: Phép dời hình biến ba điểm thẳng
hàng thành ba điểm thẳng hàng và không
làm thay đổi thứ tự ba điểm đó, biến đường
thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia,
biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó,
biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến
đường tròn thành đường tròn có cùng bán

x A  xB  xC

 xG 
3
G
 y  y A  y B  yC
 G
3
*Cho tam giác ABC có


AB  (a1; a2 ), AC  (b1; b2 )

1
a1b2  a2b1
2
2/ Đường thẳng:
a/Phương trình đường thẳng  :
-Phương trình tổng quát: Ax  By  C  0

Vectơ pháp tuyến n  ( A; B );
A2  B 2  0
 x  x0  at
-Phương trình tham số: 
tR
 y  y0  bt

Vectơ chỉ phương u  ( a; b) và qua điểm M(x0; y0)
x  x0 y  y0
-Phương trình chính tắc:

c0

TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN

ww

w.

fa

ce

bo

ok

.c
o

m/

gr

ps

ou

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH:
I/ PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT
PHẲNG:


ai

Li

eu

On

Th
iD

HAI HÌNH BẰNG NHAU:
 Đònh lý:Nếu ABC và A’B’C’ là hai tam giác
bằng nhau thì có phép dời hình biến tam
giác ABC thành tam giác A’B’C’.
Từ đònh lý trên ta có thể phát biểu: Hai tam
giác bằng nhau khi và chỉ khi có phép dời
hình biến tam giác này thành tam giác kia.

A' x  B ' y  C '  0
A. A ' B.B '
Cos 
A2  B 2 . A '2  B '2
c/Khoảng cách từ một điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường

thẳng:
dM /  

Ax0  By 0 C

c2  a2  b2
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
c
-Tâm sai : e   1
a

3/Đường tròn:
Phương trình đường tròn:
-Dạng 1: Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và
bán kính R
2
2
 x  a    y  b   R2

-Phương trình đường chuẩn: x  
-Phương trình tiệm cận: y  

Với điều kiện a 2  b 2  c  0 là phương trình đường

-Bán kính qua tiêu:
MF1  exM  a

tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính R  a  b  c
-Phương tích của một điểm M0 (x0 ; y0) đối với một
đường tròn:
PM /(C )  x02  y02  2ax0  2by0  c
2

On

(a  b); c  a  b
-Tiêu điểm: F1(-c; 0) , F2(c; 0)
-Đỉnh trục lớn: A1(-a; 0) , A2(a; 0)
-Đỉnh trục nhỏ: B1(0; -b) , B2(0; b)
c
-Tâm sai : e   1
a
a
-Phương trình đường chuẩn: x  
e
-Bán kính qua tiêu:
MF1  a  exM

w.

fa

ce

bo

-Phương trình tiếp tuyến của (E) tại M0( x0; y0)
 (E)
x0 x y0 y
 2 1
a2
b

ww


-Phương trình tiếp tuyến với (P) tại M(x0 ; y0)  ( P) :
y0 y  p ( x0  x)

eu

2

5/Hypebol:

b
x
a

a
e

ai

-Dạng 2: Phương trình có dạng
x 2  y 2  2ax  2by  c  0

MF2  a  exM

x2 y2

1
a2 b2

a/ Phương trình chinh tắc Elip (E)



u  ( x; y; z )

v  ( x '; y '; z ')

“Chúng ta sinh ra khơng để tầm thường”
Liên hệ: 090.328.8866 | Website: http://www.thi247.com/ | Số 8 ngõ 17 Tạ Quang Bửu

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN

   y z z x x y 
u , v   
;
;

 
y
'
z
'
z
'
x
'
x' y' 


A' x  B ' y  C ' z  D '  0

Th
iD

ai

Ho

c0

1

b/ Phương trình tham số:
 x  x0  at

 y  y0  bt
 z  z  ct

0
Trong đó (x0; y0; z0) và có vectơ chỉ phương là

u  ( a; b; c )
c/ Phương trình chính tắc của đường thẳng:
x  x0 y  y0 z  z0


a
b
c

w.

A B C
D



A' B ' B ' D '
A B C
D
c /   //    



A' B ' C ' D '
3/Phương trình đường thẳng:
a/Phương trình tổng quát:

ww

b /       

M '0 ( x '0 ; y '0 ; z '0 ) và có vectơ chỉ phương là

u '  ( a '; b '; c ')
  
a / d , d '    u.u ' .M 0 M '0  0
  
 u.u ' .M 0 M '0  0


  : A' x  B ' y  C ' z  D  0
a /        d  A : B : C  A ' : B ' : C '

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

c / d  d '  a : b : c  a ' : b ' : c '   x  x0  :  y  y0  :  z  z0 

d / d  d '  a : b : c  a ' : b ' : c '   x  x0  :  y  y0  :  z  z0
  
e / d , d '    u.u ' .M 0 M '0  0
5/ Vò trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng
trong không gian: trong không gian cho :
x  x0 y  y0 z  z0
d:


a
b
c
  : Ax  By  Cz  D  0
a / d     I  aA  bB  cC  0
aA  bB  cC  0
b / d     
 Ax0  By0  Cz0  D  0
aA  bB  cC  0
c / d     
 Ax0  By0  Cz0  D  0
6/ Các công hức tính khoảng cách:
-Khoảng cácg từ một điểm đến một mặt phẳng:


b
c
 
 M 0 M .u 


 dM / d 

u

ai

Th
iD

Dạng 2: x 2  y 2  z 2  2ax  2by  2cz  d  0
Trong đó tâm I (a; b; c), bán kính

R  a 2  b2  c 2  d

ok

.c
o

m/

gr

fa

-Đường thẳng và mặt phẳng:
Các tiên đề:
.Tiên đề 1: Qua hai điểm phân biệt có một đường
thẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 2: Qua 3 điểm không thẳng hàng có một
mặt phẳng và chỉ một mà thôi
.Tiên đề 3: Một đường thẳng có 2 điểm phân biệt
thuộc mặt phẳng thì đường thẳng ấy thuộc mặt
phẳng
.Tiên đề 4:Hai mặt phẳng phân biệt có 1 điểm
chung thì có chung 1 đường thẳng đi qua điểm
chung ấy.
Cách xác đònh đường thẳng, mặt phẳng :
1/ Một điểm được xác đònh bởi 2 đường thẳng cắt
nhau A  a  b
2/ Một mặt phẳng được xác đònh bởi một trong các
điều kiện sau:
a/ Ba điểm không thẳng hàng ( )  ( ABC )

/T
ps

ou

-Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
x  x0 y  y0 z  z0
:


a

a 2  b 2  c 2 a '2  b '2  c '2

ww

A2  B 2  C 2 A '2  B '2  C '2

8/Phương trình mặt cầu:
Dạng 1: Có tâm I(a; b; c) và bán kính R
2
2
2
 x  a    y  b   z  c   R2

d:

sin  

AA ' BB ' CC '

1

M 0 ( x0 ; y0 ; z0 )

 d(M / ) 

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

b/ Một đường thẳng và một điểm ở ngoài đường
thẳng ( )  (a, A)
c/ Hai đường thẳng cắt nhau ( )  (a, b)


ai

ps

9/ Nếu  chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song
với  thì  // 

Ta có OA  D  HA  D
O

fa

ce

bo

ok

.c
o

m/

gr

ou

10/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt
mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai

12/ Có một đường thẳng và một mặt phẳng song
song, mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng
thì cũng vuông góc với mặt phẳng.
13/ Nếu hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng nào
nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với giao
tuyến thì cũng sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.
14/ Hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với
mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng cũng
vuông góc với mặt phẳng thứ ba
15/ Có hai mặt phẳng song song, mặt phẳng nào cắt
mặt phẳng thứ nhất thì cũng cắt mặt phẳng thứ hai
và hai giao tuyến song song
16/ Đònh lý ba đường vuông góc
OH   

Giả sử OA là đường xiên
 A  d nằm trong 
 


/T

2/ Nếu đường thẳng d song song với một đường
thẳng d’ bất kỳ thuộc mặt phẳng  thì d song song
với mặt phẳng 
3/ Nếu d//  , mặt phẳng nào chứa đường thẳng d và
cắt  theo một giao tuyến thì giao tuyến đó cũng
song song với d
4/ Hai mặt phẳng cùng song song với đường thẳng d
và cắt nhau thì giao tuyến của chúng cũng song

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ MÔN TOÁN

Hình chóp- Hình lăng trụ- Hình lập phương
1
1/ Thể tích hình chóp: V= Sđáy .h
3
2/ Thể tích chóp cụt:

Khoảng cách – góc – đường vông góc chung của
hai đường thẳng chéo nhau
1/ Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là đoạn
OH  d
2/ Khoảng cách từ O đến d là ngắn nhất so với các
khoảng cách từ O đến mỗi điểm của d
3/ Khoảng các từ O đến mặt phẳng  là độ dài
đoạn OH  
4/ Khoảng cách từ O đến  là ngắn nhất so với các
khoảng cách từ O đến mỗi điểm trên 
5/ Khoảng cách giữa d //  là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên d đến 
6/Khoảng cách giữa  //  là khoảng cách từ một
điểm bất kỳ trên  đến 

B,B' là diện tích 2 đáy
1
B  B ' B.B ' .h 

Ho

c0

V=

4/ Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq  2 Rh

ai

5/ Diện tích toàn phần hình trụ: Stp  Sxq  2 Sđáy

Th
iD

6/ Thể tích hình trụ: V= R 2 h

7/ Diện tích xung quanh hình nón: Sxq   Ra

eu

On

1
8/Thể tích hình nón V=  R 2 h
3

Li

9/ Diện tích xung quanh hình nón cụt:Sxq 

thẳng nằm trong hai mặt phẳng của nhò diện cùng
vông góc với giao tuyến.
12/ Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau d1 và d2:
- Dựng mặt phẳng  chứa d2 và song song với d1
- Tìm hình chiếu d’ của d1 lên  , d’ cắt d2 tại N
- Từ N vẽ đường vuông góc với  cắt d1 tại M
- Suy ra MN là đoạn vuông góc chung của d1 và d2

THẦY NGUYỄN TIẾN ĐẠT

4
12 / Thể tích mặt cầu: V=  R 3
3

V/ GIẢI TÍCH TỔ HP
-Hoán vò: Pn  n !  n(n  1)(n  2)...3.2.1
n!
-Chỉnh hợp: Ank 
0  k  n
 n  k !
n!
-Tổ hợp: Cnk 
 n  k !k !
-Các hệ thức cần nhớ:
n !   n  1 !n

0  k  n
Cnk  Cnk1  Cnk11
0  k  n


c0

1

Bài giảng và các phương pháp
đầy đủ nhất chỉ có tại lớp tốn
thầy đạt:
Số 8 ngõ 17 tạ quang bửu – hà nội

ww

w.

fa

ce

bo

ok

.c
o

m/

gr

ou