Một cách hình thành bài toán mới
A. Đặt vấn đề:
Qua một thời gian giảng dạy và bồi dỡng toán cho học sinh, nhiều lúc đứng
trớc một bài toán hay tôi thầm nghĩ không biết làm sao mà tác giả nghĩ ra đợc bài
toán đó, đôi lúc tôi ớc nếu mình có đợc một ít về suy nghĩ nh vậy thì chắc chắn sẽ
có những đề kiểm tra, nhiều đề thi phong phú, sáng tạo giúp học sinh nhận thức tốt
và say mê trong học toán, góp một phần nhỏ vào việc bồi dỡng và đào tạo nhân tài
cho đất nớc. Với ý tởng đó sau đây tôi mạnh dạn đa ra một suy nghĩ của mình về
một cách hình thành bài toán mới.
B. Nội dung:
Trong bài viết này ta dùng một số kí hiệu quen biết sau:

ABC là tam giác ABC.
Các đờng trung tuyến tơng ứng với các cạnh BC = a, CA = b, AB = c có độ
dài lần lợt m
a
,

m
b
,

m
c
.
R: Bán kính đờng tròn ngoại tiếp

ABC
r: Bán kính đờng tròn nội tiếp

ABC

Acos
+
b
Bcos
+
c
Ccos
) = a
2
+ b
2
+ c
2
.
Từ (1) ta có: cosA =
bc
acb
2
222
+
Từ Định lí sin ta có: sinA=
R
a
2
Vậy cotA =
A
A
sin
cos
=

C
abc
+
=
(6)
Cộng vế theo vế (4), (5) và (6) ta đợc bài toán:
1
Một cách hình thành bài toán mới
Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
cotA+ cotB + cotC =
abc
cbaR )(
222
++
.
Từ cotA =
abc
Racb )(
222
+
và S =
R
abc
4
hay
4
abc
R
S
=

++
.
(Đề thi vào đại học Dợc Hà Nội năm 1998)
Từ định lí hàm số côsin suy rộng và áp dụng hệ thức
cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = 1
(Sách 200 bài toán chọn lọc về hệ thức lợng giác trong tam giác)
ta có bài toán mới.
Bài toán 4: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
(b
2
+c
2
-a
2
)(a
2
+c
2
-b
2
) + (a
2
+c
2
-b
2
)(a
2
+b
2

+ 2bc(1- cosA)
= (b - c)
2
+ 4bcsin
2
2
A

Vậy a

2
bc
sin
2
A


sin
2
A

bc
bca
2
(10)
Làm tơng tự nh vậy ta còn có hai bất đẳng thức nữa:
sin
2
B


Kết hợp bài toán 5 với hệ thức quen thuộc
cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
(SGK ĐS và GT 11)
Ta có bài toán sau:
Bài toán 6: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
cosA + cosB + cosC


2
3
.
Kết hợp bài toán 5 với hệ thức quen thuộc
r = 4Rsin
2
A
sin
2
B
sin
2
C
(SGK ĐS và GT 11)

2
+ m
c
2
=
4
3
( a
2
+ b
2
+ c
2
) (13)
Kết hợp hệ thức (13) với bài toán 1 ở trên ta đợc bài toán sau:
Bài toán 9: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
abc(
a
Acos
+
b
Bcos
+
c
Ccos
) =
3
2
( m
a

2

3
3
S.
Từ bất đẳng thức: tan
2
A
+ tan
2
B
+ tan
2
C

3
(14)
(Sách toán bồi dỡng HS lớp 11-Lợng giác, NXB Hà Nội)
Biến đổi tơng đơng ta đợc:
(14)
1 cos 1 cos 1 cos
3
sin sin sin
A B C
A B C

+ +
Lúc đó xuất hiện bài toán sau:
Bài toán 12: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:


1 1 1
3
sin sin sin 4
a b c
A B C S
+ +
+ + + .
Bài toán 14: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:

2 2 2
1 1 1
3
sin sin sin 3
a b c
m m m
A B C S
+ +
+ + + .
Tiếp tục sử dụng định lí sin để biến đổi ta cóAsin
1
+
Bsin
1
+
Csin
1
= 2R(


a
2
+ b
2
+ c
2
+ 4
3
S.
Bài toán 17: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
3(bc + ac + ab)

2(m
a
2
+m
b
2
+m
c
2
) + 6
3
S.
Từ bài toán 16 thực hiện một phép biến đổi nữa ta đợc một bài toán nổi
tiếng sau:
Bài toán 18:(Bất đẳng thức Hadvigher) Chứng minh rằng với mọi tam giác
ABC ta luôn có:
a

tiếp, nửa chu vicủa tam giác, chắc các bạn sẽ có nhiều bài toán hay.
Ngời viết

5