MỞ ĐẦU
Nâng cao kỹ thuật dạy học là một trong những yêu cầu đổi mới phương
pháp dạy học phù hợp với nhu cầu phát triển xã hội hiện nay. Nhờ sự phát
triển của công nghệ thông tin, dạy học có thêm tiềm năng trong các hoạt
động giao tiếp thầy - trò. Theo đó, thầy giáo cần bổ sung vào hệ thống kiến
thức sư phạm của mình những luận điểm mới, những mô hình mới tương hợp
với phương tiện diễn đạt và lập luận hiện đại.
Hiệu quả của quá trình dạy học toán ngày càng được xác đònh chính xác
hơn cả về bản chất lẫn hình thức. Người thầy giáo ngày càng tối ưu hoá hoạt
động giao tiếp của mình cho nên việc phân tích được các hoạt động dạy học
phải được đặt ra.
Với mỗi kiến thức cần dạy, thầy giáo cần nhìn theo nhiều góc độ, nhiều
khía cạnh. Từ kiến thức cao cấp hiện đại, bằng kiến thức sư phạm thầy giáo
tìm cách sơ cấp hóa nó phù hợp với chủ thể nhận thức. Quá trình sàng lọc
thực sự có ý nghóa cho quá trình dạy học khi những phương tiện dạy học hiện
đại được khai thác trong dạy học.
Giải thuật hay tựa giải thuật của quá trình dạy học một kiến thức toán
cần được đặt ra giúp cho việc trợ giúp của phương tiện dạy học hiện đại có
hiệu quả. Theo đó, thầy giáo phải cập nhật khả năng khai thác công cụ, mô
tả được những yêu cầu sư phạm của mình có tính khả thi với công cụ sẽ nâng
cao hiệu quả của quá trình dạy học.
Trong khuôn khổ chuyên đề này, chúng tôi xin trao đổi với độc giả ba
vấn đề quan trọng đầu tiên khi thực hiện đổi mới phương pháp dạy học. Vấn
đề thứ nhất là đònh hướng tư duy trong dạy học. Đây là vấn đề thuộc về
chiến lược hình thành tư duy toán học mà hai vấn đề cần đề cập đến là "kiến
thức toán học" và "vấn đề toán học". Vấn đề thứ hai là phân đònh các cấp độ
tri thức của một tri thức toán học xác đònh. Đây là vấn đề nhìn kiến thức sơ
cấp ở góc độ cao cấp để từ đó khái quát vấn đề toán học hay sơ cấp hóa vấn
đề toán học. Vấn đề thứ ba là cập nhật khả năng khai thác công cụ dạy học
mới. Vấn đề này được trao đổi thông qua việc sử dụng các phần mềm biểu
diễn tri thức trong quá trình dạy học.

dạy học gần như không xuất hiện.
Toán học được hình thành cơ bản từ hai phương diện từ thực tế cuộc
sống và từ logic trong lòng của khoa học toán. Toán học trở về cuộc sống,
phục vụ con người với tư cách tham gia vào quá trình hình thành thế giới
quan của con người. Đồng thời cũng giúp con người giải quyết nhiều vấn đề
thực tế. Vì vậy, những vấn đề của quá trình tiền dạy học mà càng gần thực
tế thì giúp cho học sinh càng dễ dàng tiếp cận hơn và càng dễ dàng áp dụng
vào giải quyết những vấn đề thực tế tốt hơn.
- 2 -
Trong phần này, chúng tôi đưa ra một số quan điểm xây dựng chiến
lược dạy học cho một kiến thức toán học dựa vào hệ thống các vấn đề của
giai đoạn tiền dạy học. Theo đó, đưa ra những luận cứ cho phép nhận biết về
hướng tư duy toán học của học sinh trong hệ thống vấn đề đưa ra.
Phần I này đưa ra hai vấn đề cụ thể để minh hoạ:
1. Kiến thức toán học và vấn đề toán học về tổ hợp và phép đếm.
2. Kiến thức toán học và vấn đề toán học đạo hàm.
I. Tổ hợp và phép đếm.
1. Kiến thức toán học.
Kiến thức 1: Số giai thừa n!=1.2.3...(n−1)n ; qui ước 0!=1.
Kiến thức 2: Số tập con k phần tử của tập hợp có n phần tử (0≤k≤n) là
số
)!kn(!k
!n
C
k
n
−
=
.
Kiến thức 3: Số hoán vò của bộ thứ tự (a

)1kn)...(1n(nA
k
n
+−−=
.
2. Lập luận khoa học.
Cách 1: Chọn chuẩn là bộ hoán vò (a
1
a
2
a
3
.. a
k
) với k phần tử khác
nhau. Khi đổi chỗ a
i
cho a
j
(0≤i≠j≤k) ta được bộ khác. Nếu hoán vò tuỳ ý các
a
i
cho nhau ta được tất cả là k! bộ khác nhau (gọi là k! hoán vò). Có thể
chứng minh bằng phương pháp qui nạp toán học.
* Xét trường hợp đặc biệt có 2 phần tử trùng nhau a
i
và a
j
(0≤i≠j≤k) thì
khi hoán vò a

có n phần tử (k≤n), ta đếm được như sau:
Phần tử đứng đầu tiên của bộ có n cách xếp.
Với mỗi cách xếp trên còn lại n-1 phần tử ta lấy 1 phần tử để xếp vào
vò trí thứ hai thì được n-1 cách xếp.
Tiếp tục quá trình đó đến khi được k phần tử thì theo qui tắc nhân ta
được n(n-1)(n-2)...(n-k+1) cách xếp.
Từ số chỉnh hợp
k
n
A
ta suy ra được số tập con k phần tử của tập hợp có
n phần tử (k≤n) bằng cách không tính hoán vò như sau:
Nếu mỗi bộ tính hoán vò thì ta được tất cả là
k
n
A
bộ.
Bây giờ mỗi bộ không tính hoán vò thì ta chỉ còn lại
!k
A
k
n
bộ gọi là tập
con (không tính thứ tự) của tập hợp. Vậy là số tập con k phần tử của tập hợp
n phần tử (k≤n) là
k
n
C
!k
)1kn)..(2n)(1n(n

k
n
CCC
−
−−
+=
Bây giờ ta đưa ra nhò thức Newton.
( )
nn
n
33n3
n
22n2
n
1n1
n
n0
n
n
bC..baCbaCbaCaCba
+++++=+
−−−
Ta có thể chứng minh bằng phương pháp qui nạp toán học.
Từ nhò thức Newton có thể xét các trường hợp đặc biệt để xây dựng tình
huống trong dạy học.
Cách 2: Chọn số tập con của tập hợp làm chuẩn. Số tập con k phần tử
của tập hợp n phần tử (0≤k≤n) là
k
n
C

A!k.C
=
bộ thứ tự.
3. Vấn đề sư phạm.
Đây hoàn toàn là vấn đề lựa chọn các tình huống cho quá trình tiền dạy
học giúp học sinh tiếp cận một cách nhanh nhất các khái niệm trên.
- 4 -
* Về đặc điểm và khả năng tiếp nhận kiến thức kiến thức toán của học
sinh: từ yếu tố vô hướng đến yếu tố có hướng.
Trong các kiến thức toán học nói trên ta so sánh giữa khái niệm tập hợp
k phần tử và bộ thứ tự k phần tử khác nhau thì tập hợp là yếu tố vô hướng,
bộ thứ tự là yếu tố có hướng. Vì vậy, tập con của tập hợp nên được tiếp cận
trước và ta hình thành số tổ hợp
k
n
C
trước sẽ có hiệu quả hơn.
* Yếu tố sư phạm luôn được ưu tiên hàng đầu trong quá trình dạy học,
tính chính xác, chặt chẽ của khoa học cần phải được hoàn thiện dần.
Trong vấn đề này ta so sánh hai cách tiếp cận về số giai thừa n!. Thứ
nhất, từ phép đếm bộ thứ tự mà hình thành số giai thừa; thứ hai, đònh nghóa
theo kí hiệu n!=n(n-1)(n-2)..3.2.1 và qui ước 0!=1.
Nếu hình thành n! từ bộ thứ tự thì tính chặt chẽ của khoa học đạt được
yêu cầu nhưng bộ thứ tự phải được hình thành trước, tức là yếu tố có hướng
phải hình thành trước. Nếu hình thành n! bằng qui ước thì có thuận lợi được
khai thác từ quan điểm hàm số mà không phải tìm đến nguồn gốc của số giai
thừa.
Vấn đề luôn được tìm đến là đếm số tập con của một tập hợp. Vì vậy ta
đi sâu vào được các dạng phần tử của tập hợp, kiến trúc của tập hợp. Bắt đầu
từ số nhỏ, dần dần ta tăng số phần tử lên. Dựa trên cơ sở đó, bố sung phương

n
}.
Số tập con 2 phần tử của X là
2
)1n(n
−
: {x
1
x
2
} {x
1
x
3
} .. {x
1
x
n
}..
Ta nhận ra một qui tắc:
- 5 -
)!0n(!0
!n
1
−
=
,
)!1n(!1
!n
n

A
.
Cho tập hợp X có n phần tử, ta thành lập các bộ thứ tự k phần tử lấy
trong X (0≤k≤n) bằng cách sau:
Chọn k phần tử trong X: có
k
n
C
cách chọn.
Với mỗi cách chọn trên ta có bộ thứ tự k phần tử. Tính hoán vò của bộ
thứ tự ta được k! hoán vò.
Kết quả cho ta:
!k.C
k
n
cách thành lập. Số cách trên kí hiệu là
k
n
A
.
Ví dụ 4: Hình thành nhò thức Newton.
Dựa vào hằng đẳng thức đã có ở lớp dưới ta dựa vào đạo hàm:
Đặt f(x)=(1+x)
n
=A
0
.x
n
+ A
1

!k
)1kn)..(2n)(1n(n
A
k
−
=
+−−−
=
Kí hiệu:
k
k
n
A
)!kn(!k
!n
C
=
−
=
.
Đặt
a
b
x
=
ta được kết quả:
( )
∑
=
−

Kiến thức 7: Quan hệ đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số.
Kiến thức 8: Đạo hàm của đạo hàm, đạo hàm cấp cao.
Kiến thức 9: Quan hệ đạo hàm cấp 2 và kiểu cong của cung.
2. Lập luận khoa học.
So sánh về sự biến thiên của 2 đại lượng đối số x và hàm số y của đối
số x tại một thời điểm x
0
. Đây là vấ đề so sánh 2 vô cùng bé ∆x và
∆y=f(x
0
+∆x)-f(x
0
) bằng cách xét tỷ số của chúng.
Thu hẹp khoảng chứa x
0
bằng phương pháp giới hạn:
x
y
lim
0x
∆
∆
→∆
.
Giá trò giới hạn này tồn tại hữu hạn thì mới khảo sát được nên ta có
khái niệm đạo hàm.
Sự cấu thành khoảng biến thiên từ sự biến thiên tại từng thời điểm nên
khái niệm biến thiên trên (a;b) được đưa ra.
Từ giới hạn, khảo sát sự biến thiên tại một thời điểm của những quan
hệ hàm số phức tạp dẫn tới đạo hàm một phía cho ta khái niệm về đạo hàm

+
=






+
. Hàm số bậc hai y=f(x)=ax
2
+bx+c, a≠0 còn tính chất đó
nữa hay không ? Tìm hiểu vấn đề này ta thấy đẳng thức không xảy ra mà
xảy bất đẳng thức tuỳ theo a dương hay âm:
* a>0 thì
2
)v(f)u(f
2
vu
f
+
≥






+
(cong lõm)

- Tìm lại nguồn gốc của khái niệm. Phân rã khái niệm để tạm thời tách
khái niệm đó ra hai phần yếu tố và qui tắc logic. Yếu tố xem như nguyên vật
liệu để cấu thành khái niệm còn qui tắc logic xem như sự liên kết các
nguyên vật liệu.
- Lòch sử nảy sinh (hay tình huống nảy sinh). Bằng kiến thức sư phạm
của mình đưa ra sự xuất hiện tất yếu của khái niệm (có thể đề nghò nhiều
tình huống khác nhau).
2) Phân tích vấn đề dạy học của tri thức.
- 8 -
- Phân đònh hai giai đoạn của quá trình dạy học. Giai đoạn tiền dạy học
nhằm hướng tới đặc trưng nào của tri thức. Để hướng tới đặc trưng đó, cần
thiết có sự hỗ trợ của thiết bò hay phương tiện nào. Giai đoạn dạy học cần lập
luận và diễn đạt thế nào.
- Lựa chọn điều kiện học tập. Tổ chức học tập theo mô hình nào (theo
nhóm, hình thức giao tiếp,.. ) để có thể thực hiện được sự hỗ trợ của thiết bò
dạy học hay môi trường dạy học phù hợp.
- Dự kiến các tình huống của quá trình giao tiếp Thầy - Trò.
3) Xây dựng tiến trình dạy học (theo thứ tự thời gian).
- Giải thuật hay tựa giải thuật (các bước cụ thể tiến hành).
- Dự đoán điều chỉnh hay thay thế các chi tiết nhỏ của giải thuật.
4) Kiểm đònh chất lượng của quá trình.
- Kiểm tra nhanh (5-10 phút).
- Lập biểu thống kê và tính các số đặc trưng của thống kê.
- Kết luận.
PHẦN II
TOÁN ỨNG DỤNG VÀ ỨNG DỤNG TOÁN TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TOÁN HỌC Ở BẬC PHỔ THÔNG
Th.s: Bùi thò Thanh Nhàn
 CHỦ ĐỀ1: TÌM HIỂÂU CHƯƠNG TRÌNH MÔâN TOÁN TRƯỜNG THPT
1.1 Mục tiêu chung và mục tiêu cụ thể của chương trình THPT mới.

2.1. Thực trạng
Không ít giáo viên (GV) có tâm huyết với nghề có hiểu biết sâu sắc
về bộ môn, có tay nghề vững, có nhiều giờ dạy tốt. Song vẫn phải thừa nhận
rằng nhiều GV vẫn dạy theo cách đã dạy trước đây mấy chục năm. Đó là
kiểu thầy đọc, trò ghi.
Việc thực hiện dổi mới phương pháp dạy học (PPDH) môn toán có một
số chuyển biến bước đầu.
- 10 -