ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ KIỀU VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH THỊ KIỀU VÂN

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỒNG DƯ THỨC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.01.13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - NĂM 2015



.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

3
3
6
7
11

.
.
.
.
.

16
16
22
30
33
38

Kết luận

45

Tài liệu tham khảo


Hình 1
16
2
Hình 2
17
3
Hình 3
18
4
Hình 4
18
5
Hình 5
19
6
Hình 6
19
7
Hình 7
20
8
Hình 8
20
9
Hình 9
21
10 Hình 10
21
11 Hình 11
23

đồng dư thức còn được ứng dụng to lớn trong đời sống thực tế như: Trong
lĩnh vực truyền thông phát hiện và sửa các lỗi trong thông điệp truyền đi.
Kiểm tra chữ số thường được sử dụng để phát hiện các sai sót trong chuỗi
các chữ số thập phân như kiểm tra serial của tờ tiền giấy trong ngân hàng,
nhà xuất bản sách, thư viện, và các công ty... Với những công lao, đóng góp
lớn của Gauss, tờ tiền Mark của Đức đã in hình ảnh nhà toán học Gauss và
đường cong chuẩn tắc nổi tiếng của ông ấy. Chúng ta thường không nhận
thấy quan hệ đồng dư trong cuộc sống hàng ngày. Qua luận văn này ngoài
những ứng dụng đã biết tôi muốn nêu thêm một số ứng dụng của đồng dư
thức trong thực tiễn đời sống.
Nội dung của luận văn chia thành 2 chương đề cập đến các vấn đề sau
đây:
Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ bản của đồng dư thức và một vài
áp dụng của đồng dư thức trong số học như: Nghiên cứu dấu hiệu chia hết,
tìm số dư trong phép chia. Chương này nghiên cứu các mối quan hệ đồng


2

dư. Các mối quan hệ đồng dư có liên quan chặt chẽ, nó được sử dụng xuyên
suốt lý thuyết số.
Chương 2: Một số ứng dụng của đồng dư thức trong thực tiễn đời sống.
Các ứng dụng của đồng dư thức, là một phần của cuộc sống hàng ngày: Ứng
dụng trong thiết kế mô hình, kiểm tra mã số của sách ISBN, trong chò chơi
xếp p quân hậu trên bàn cờ pxp, sắp lịch trong giải đấu vòng tròn một lượt,
tìm ngày, tháng, năm trong lịch vạn niên.

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả



4

a + c ≡ b + c (mod m),
ac ≡ bc (mod m),

a − c ≡ b − c (mod m),
a2 ≡ b2 (mod m).

(iii) Nếu a ≡ b (mod m), thì an ≡ bn (mod m) với n là số nguyên dương.
Tính chất 1.1.5.
(i) Nếu ac ≡ bc (mod m) và (c, m) = 1, thì a ≡ b (mod m).
(ii) Nếu ac ≡ bc (mod m) và (c, m) = d, thì a ≡ b (mod

m
d ).

Chứng minh. (ii) Giả sử ac ≡ bc (mod m), và có (c, m) = d. Ta có
m|(ac − bc), vì vậy ac − bc = km (k ∈ Z) nên c(a − b) = km. Chia cả hai
vế cho d ta được dc (a − b) = k md . Biết rằng ( dc , md ) = 1, do đó md |(a − b).
Vậy a ≡ b (mod m).
Tính chất 1.1.6. Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), ..., a ≡ b
(mod mk ), thì a ≡ b (mod [m1 , m2 , ..., mk ]).
Hệ quả 1.1.7. Nếu a ≡ b (mod m1 ), a ≡ b (mod m2 ), . . . , a ≡ b (mod mk ),
với m1 , m2 , . . . , mk đôi một nguyên tố cùng nhau. Khi đó

a ≡ b (mod m1 m2 . . . mk ).
Hệ quả 1.1.8. Mỗi số nguyên có ít nhất 0, 1, 2, ..., (m − 1) đồng dư theo
môđun m.
Ví dụ 1.1.9 (Tìm số thứ sáu ngày mười ba trong một năm). Đồng dư có

(mod 7). Vì vậy, ngày 13 tháng 12 năm 2000 (thứ Tư), phải cộng thêm sáu
ngày để xác định ngày của 13 tháng ba năm 2001; Đó là ngày (3 + 6) =
ngày 2 = ngày thứ Ba.
Chú ý rằng nhiều giá trị khác nhau của ti theo môđun 7 là 3, 6, 6, 2, 4,
0, 2, 5, 1, 3, 6,và 1; Chúng bao gồm các thặng dư nhỏ nhất theo môđun 7.
Biết ngày 13 tháng 12, chúng ta có thể sử dụng các thặng dư nhỏ nhất để
xác định ngày mười ba của mỗi tháng Mi trong một năm không nhuận.
Bảng tóm tắt tương ứng với mỗi lựa chọn của ngày 13 tháng của mỗi
tháng trong một năm không nhuận, tương ứng với mọi lựa chọn của ngày 13
tháng 12 của năm trước. Từ bảng ta thấy có nhiều nhất ba ngày thứ Sáu
ngày 13 trong một năm không nhuận.

Đối với một năm nhuận, nhiều giá trị khác nhau của di là 3, 3, 1, 3, 2, 3, 2,
3, 3, 2, 3, và 2; Các giá trị tương ứng của ti là 3, 6, 0, 3, 5, 1, 3, 6, 2, 4, 0, và
2. Từ đây chúng ta cũng có thể xây dựng một bảng tương tự cho một năm
nhuận.


Luận văn đầy đủ ở file: Luận văn full