TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM

ĐỀ TÀI

CẤU TẠO NGUYÊN TỬ
VÀ HỆ THỐNG TUẦN HOÀN
CÁC NGUYÊN TỐ HÓA HỌC
Luận văn tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÍ

Giáo viên hướng dẫn:
Thầy HOÀNG XUÂN DINH

Cần Thơ, 2010

Sinh viên thực hiện:

NGUYỄN THỊ KIM ÁNH
Lớp: SP Vật Lí- K32
Mã số SV: 1060101


LỜI CẢM ƠN
‫۝‬
Sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu và làm việc nghiêm
túc, tôi ñã hoàn thành luận văn của mình. Để ñạt ñược ñiều này,
tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp ñỡ tận tình của thầy Hoàng
Xuân Dinh, quý thầy cô ở bộ môn Vật Lý, cảm ơn sự ñộng viên
khích lệ của gia ñình và bạn bè trong lớp.
Với tất cả mọi sự cố gắng của mình, tôi hi vọng cuốn


2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Nghiên cứu cấu tạo của nguyên tử và giải thích ñược quy luật tuần hoàn của các
nguyên tố hóa học.

3. GIỚI HẠN CỦA ĐỀ TÀI
Nghiên cứu cấu tạo của nguyên tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố là vấn ñề
sâu và rộng. Vì thế ñối với nguyên tử nhiều ñiện tử tôi chỉ dừng lại ở phần tìm năng
lượng của hàm sóng.

4. PHƯƠNG PHÁP VÀ PHƯƠNG TIỆN THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
-Nghiên cứu lí thuyết, phân tích và tổng hợp các tài liệu.
-Sử dụng sách, báo, khai thác thông tin trên Internet ñể tìm hiểu về vấn ñề cấu tạo
nguyên tử và hệ thống tuần hoàn các nguyên tố.

5. CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
-Bước 1: nhận ñề tài.
-Bước 2: nghiên cứu tài liệu liên quan ñến ñề tài.
-Bước 3: tiến hành viết ñề cương và trao ñổi với giáo viên hướng dẫn.
-Bước 4: viết luận văn.

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 1

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp


2.107 ms-1 và tỉ số ñiện tích so với khối lượng của hạt ñó bằng -1,76.108 c.g-1. Sau ñó
trong một loạt thí nghiệm tiến hành từ những năm 1908 ñến 1917, nhà vật lí học Mỹ
Millikan ñã xác ñịnh ñược ñiện tích electron tức là ñiện tích sơ cấp bằng -1,6.10-19 C.
Như vậy khối lượng của electron là:
m=

e
− 1,6.10 −19
=
= 9,09.10 − 28 g
8
e
− 1,76.10
m

Khi dùng các kim loại khác làm âm cực người ta ñều thu ñược tia âm cực tức là electron
có mặt trong tất cả các nguyên tử của mọi nguyên tố.

I.1.1.2. Sự khám phá ra proton
Hạt này do Rutherford khám phá ra năm 1911 theo phản ứng sau:
4
2

17
1
He + 14
7 N → 8 O +1 H

Bằng các phép ño chính xác Rutherford ñã xác ñịnh ñược khối lượng của proton là
mp=1,00728 ñvC. Proton mang ñiện dương (proton có một phần lõi nặng ở tâm, mang

Để giải quyết mâu thuẩn trên, năm 1932 Chadwick giả thiết rằng tia sinh ra
khi ñập vào Be không phải là tia γ (photon) mà là các hạt trung hòa, có khối lượng bằng
khối lượng của proton và ông ñặt tên là notron (kí hiệu n)
9
4
12
1
4Be +2He →6C +0n
Notron không mang ñiện (vì phần lõi và phần giữa mang ñiện âm, phần
ngoài mang ñiện dương). Về giá trị, hai lượng ñiện tích âm và dương bằng nhau. Do ñó
nơtron trung hòa ñiện, nên ít tương tác với các nguyên tử ở cạnh ñường bay của nó, vì
vậy ñộ ñâm xuyên lớn và khả năng ion hóa kém. Khối lượng của nơtron bằng 1,00867
ñvC.
Hơn nữa còn có những thí nghiệm của W.Rontghen phát hiện ra tia X. Giáo
sư vật lí A. Becquerel ñã phát hiện ra hiện tượng phóng xạ.
Ngoài các phát minh ñã nêu còn có những hiện tượng khác chứng tỏ
nguyên tử rất phức tạp.
I.1.2. Mô hình nguyên tử có hạt nhân
Vào những năm 1900 sự phức tạp của nguyên tử ñã là ñiều hiển nhiên và
mọi người ñều chấp nhận rằng mỗi nguyên tử ñều có electron và ñều trung hòa về ñiện.
Cho ñến 1910, Rutherford ñã quyết ñịnh dùng hạt α ñể thăm dò cấu tạo của nguyên tử.
Ông dùng tia α phát ra từ nguồn phóng xạ bắn vào những lá vàng và các lá
kim loại mỏng. Các nhà nghiên cứu nhận thấy rằng hầu hết các hạt α ñều xuyên qua lá
vàng mà không bị lệch hướng hoặc lệch rất ít , ñiều ñó chứng tỏ không gian trong nguyên
tử phần lớn là không gian trống. Tuy nhiên họ nhận thấy thỉnh thoảng có một hạt bị lệch
rất mạnh, thậm chí có hạt hầu như bị bật trở lại.
Để giải thích kết quả này Rutherford ñã ñoán nhận bên trong nguyên tử phải có một ñiện
trường cực mạnh ñược sinh ra bởi ñiện tích dương tập trung trong một thể tích rất nhỏ và
có khối lượng rất lớn mới có thể làm cho một số hạt α bị lệch với những góc lớn.
Electron phải quay xung quanh hạt nhân theo quỹ ñạo tròn với tốc ñộ phù hợp ñể tạo ra

h= 6,6256.10-27éc.s=6,6256.10-34 J.s
Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Planck là ñã phát hiện ra tính chất gián
ñoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô. Năng lượng của ñiện tử
trong nguyên tử, năng lượng quay, năng lượng dao ñộng của các nguyên tử hay nhóm
nguyên tử trong phân tử, v.v…Tiếp theo thuyết lượng tử Planck, người ta còn phát hiện
ra là tính chất gián ñoạn hay tính chất lượng tử không phải chỉ là ñặc tính riêng của năng
lượng mà là tính chất chung của nhiều ñại lượng vật lí khác. Thí dụ, ñối với chuyển ñộng
của ñiện tử trong nguyên tử thì ngoài năng lượng, các ñại lượng vật lí khác như momen
ñộng lượng, hình chiếu của momen ñộng lượng ñều nhận những giá trị gián ñoạn xác
ñịnh.
Riêng ñối với trường hợp dao ñộng trên, theo thuyết lượng tử Planck thì năng
lượng của dao ñộng tử dao ñộng với tần số υ chỉ có thể nhận những giá trị gián ñoạn:
0,hυ, 2hυ, 3hυ, 4hυ…
Nghĩa là bội số nguyên lần lượng tử năng lượng ε=hυ;
E=nε=nhυ
(n=0,1,2,3…)
Mô hình nguyên tử của Rutherford không thể giải thích ñược quang phổ vạch
của nguyên tử hydro cũng như của các nguyên tử khác, chứng tỏ mô hình ñó còn chưa
phản ánh ñược những ñặc ñiểm quan trọng của cấu tạo nguyên tử. Để giải quyết vấn ñề
này nhà bác học Đan Mạch Niels Bohr, học trò của Rutherford ñã áp dụng quan niệm
lượng tử của Planck vào lí thuyết cấu tạo nguyên tử, nhờ vậy ñã giải thích thành công
quang phổ nguyên tử hydro.
I.2.2. Mô hình nguyên tử Bohr
Trong nguyên tử electron không thể quay trên quỹ ñạo bất kì mà chỉ có thể
quay trên những quỹ ñạo xác ñịnh gọi là quỹ ñạo dừng. Khi quay trên quỹ ñạo dừng năng
lượng electron ñược bảo toàn (ñiều này trái với lí thuyết ñiện ñộng lực học cổ ñiển).
Nguyên tử chỉ hấp thụ hay giải phóng năng lượng khi electron chuyển dời từ
quỹ ñạo dừng này sang quỹ ñạo dừng khác. Nếu gọi E n , E n là năng lượng của electron
1


2π

(2-2)

h
, ν là vận tốc của electron, n là số nguyên, về sau là lượng tử số chính, r
2π

là bán kính quỹ ñạo. Khi n=1 electron quay ở quỹ ñạo gần hạt nhân nhất.
Khi quay trên quỹ ñạo như vậy electron cũng chịu tác dụng của hai lực cân
bằng là lực li tâm bằng

mv 2
Ze 2
và lực hút tĩnh ñiện bằng
. Z là ñiện tích hạt nhân khi
r
4πε 0 r 2

lấy trị tuyệt ñối của ñiện tích dương (e) làm ñơn vị, ε 0 là hằng số ñiện môi của chân
không.
mv 2
Ze 2
Ze 2
2
=
⇒
mv
r=
4πε 0 r 2


(2-4)

Ze 2
Nên E ñ =
8πε 0 r

r ñược tính từ (♣), do ñó năng lượng toàn phần của electron khi chuyển ñộng quay trên
quỹ ñạo thứ n là:
En =

− 1 mZ 2 e 4
.
n 2 8ε 02 h 2

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

(2-5)
Trang 5

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Khi n hữu hạn En có giá trị âm. Khi n→∞ thì En→0. Do ñó mức 0 là mức năng
lượng của electron tự do.
Khi quay trên quỹ ñạo thứ nhất của nguyên tử hydro, electron có năng lượng là:

các yêu cầu của khoa học hiện ñại. Trước hết quy tắc lượng tử này có tính chất áp ñặt,
không ñược rút ra từ các ñịnh luật chung của cơ học và ñiện ñộng lực học. Kết quả tính
toán của thuyết này về cường ñộ và ñộ bội của vạch quang phổ không hoàn toàn phù hợp
với kết quả thực nghiệm. Một thiếu sót quan trọng nữa là thuyết Bohr-Sommerfeld không
thể giải thích ñịnh lượng liên kết hóa học.
Mặt khác sự phát hiện ra lưỡng tính sóng –hạt của vật chất và sự hình thành cơ
học lượng tử ñã tạo ra một cơ sở mới vững vàng cho việc khảo sát nguyên tử và phân tử,
do ñó khoa học bước vào một thời ñại mới.
I.3. Tính chất của hạt vi mô. Cách miêu tả trạng thái vi mô. Khái niệm cơ học
lượng tử
I.3.1.Tính chất của hạt vi mô
Đối với hạt vi mô (như electron chẳng hạn) thì có tính chất là lưỡng tính sóng hạt.

I.3.1.1. Tính chất sóng của hạt vi mô
Để hiểu rõ hơn về tính chất sóng của hạt vi mô ta làm thí nghiệm như sau:

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 6

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

P12=P1+P2

P12

Ngành: SP Vật lí

Thay súng bằng nguồn sáng ñơn sắc và thay bia bằng màn chắn sáng như
hình (H.3-2). ψ1,ψ2 biểu diễn hàm sóng của ánh sáng ñi qua từng khe.
| ψ1 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng qua màn quan sát khi cho ánh sáng ñi qua khe
1.
| ψ2 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng trên màn quan sát khi cho ánh sáng ñi qua khe
2.
| ψ12 |2 biểu diễn cường ñộ ánh sáng trên màn quan sát khi cho ánh sáng ñồng thời
ñi qua 2 khe.
Thí nghiệm chứng tỏ | ψ12 |2 ≠| ψ1 |2 +| ψ2 |2, ñiều này gây nên bởi sự giao
thoa của hai chùm ánh sáng ở phía sau khe. Ánh sáng tổng hợp là ψ12 =ψ1+ψ2 nhưng do
sự lệch pha về dao ñộng giữa 2 chùm tia nên:
| ψ12 |2 ≠| ψ1 |2+| ψ2 |2

ψ122

x

|ψ1|2

|ψ2|2

x

Tường có 2 khe
1

2


ψ1 và ψ2.
-Số lượng electron tại một vị trí nào ñó trong không gian tỉ lệ với bình
phương mô ñun của hàm sóng, quan niệm này cũng phù hợp với các photon.

I.3.1.2. Tính chất hạt của hạt vi mô
Vật lí cổ ñiển cho kết quả phù hợp với thực nghiệm ñối với các hiện tượng
vật lí mà người ta ñã biết ñến cuối thế kỉ XIX, nó là hệ thống hoàn chỉnh và chặt chẽ
trong phạm vi ứng dụng của nó.
Theo cổ ñiển thì các loại bức xạ như tia hồng ngoại, ánh sáng, tia tử ngoại,
tia Rơntghen, tia γ ñều là sóng ñiện từ lan truyền trong không gian. Năng lượng của sóng
thì tỉ lệ với bình phương biên ñộ nên chúng có thể có giá trị liên tục. Nghĩa là một vật có
thể phát ra hay thu vào (dưới dạng bức xạ) những lượng năng lượng tùy ý. Do ñó giá trị
năng lượng của một vật là tùy ý (giá trị ñó lắp ñầy trục số). Quan niệm này không thể
chấp nhận ñược trong vật lí học hiện ñại, nó không giải thích ñược một số hiện tượng vật
lí mà ta gặp, chẳng hạn như bức xạ của vật ñen.
Ta hãy dùng giả thuyết của Planck ở trên ñể giải thích hiệu ứng quang ñiện sau
ñây:

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 9

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

A

electron này. Một phần năng lượng này làm công thoát A, còn bao nhiêu làm ñộng năng
ban ñầu cho electron. Suy ra:
ε= hυ = ℏω = A +

me v 2
m v2
⇒ e = ℏω − A
2
2

Nghĩa là ñộng năng phụ thuộc tuyến tính vào tần số của ánh sáng.
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 10

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Vì mỗi photon chỉ tác dụng với một electron nên khi cường ñộ ánh sáng tăng (mật
ñộ hạt lớn) thì số electron bứt ra khỏi catot cũng tăng. Tức số electron bứt ra khỏi catot
thì tỉ lệ với cường ñộ ánh sáng.
Nếu ω

→

p=kℏ

Là xung lượng của photon
→

Vậy chùm sáng có tần số ω, vectơ sóng là k , coi như một dòng hạt photon có năng lượng
và xung lượng là:
→

→

ε = hυ = ℏω ; p = k ℏ
Giả thuyết về photon giải thích ñược nhiều hiện tượng và ñược công nhận cho ñến ngày
nay.

I.3.2. Cách miêu tả trạng thái vi mô
Theo cơ học cổ ñiển người ta ñã vẽ quỹ ñạo của hạt ñể mô tả trạng thái của hạt
tức là hoàn toàn xác ñịnh ñược tọa ñộ và vận tốc của hạt và khi ñó ta cũng xác ñịnh ñược
giá trị của tất cả các ñại lượng khác tại trạng thái ñã cho.
Đối với hạt vi mô do có tính chất sóng trong chyển ñộng của chúng nên có thể
chứng minh ñược rằng tọa ñộ và vận tốc của hạt không thể xác ñịnh ñược ñồng thời và
chính xác, do ñó không thể vẽ ñược quỹ ñạo chuyển ñộng của hạt. Điều này ñược biểu
diễn qua công thức:
∆x.∆Px ≥

h
2π

Đối với các hạt vi mô, do tính chất sóng nên không còn khái niệm quỹ ñạo,
mặt khác việc xác ñịnh tọa ñộ và vận tốc của hạt luôn luôn nằm trong một tọa ñộ bất ñịnh
nào ñó nên kết quả khảo sát mang tính chất thống kê. Vì vậy cơ học lượng tử dùng
phương pháp khảo sát khác dựa vào những khái niệm sau ñây:

I.3.3.1. Hàm sóng
Theo ĐơBrơi một hạt chuyển ñộng tự do ứng với một sóng phẳng. Do ñó
trước tiên cần nhắc lại biểu thức của sóng phẳng.
Trong cơ học ta biết một sóng phẳng lan tuyền trong không gian theo
phương x với vận tốc v ñược biểu diễn bằng một hàm tuần hoàn dạng sin hoặc cosin:
x
v

u= A cosω(t- )
thay ω = 2πυ và ν = λυ , ta có:
u= A cos 2π (υt-

x

)
λ
ñể thuận tiện trong tính toán, người ta sử dụng biểu thức sóng phẳng qua biểu thức hàm
phức:
u = Ae

x
± 2 iπ (υt − )

λ



SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí
i
± ( Et − p x )

ψ(x,t)=A e ℏ
(3.3)
Cần chú ý rằng trong cơ học lượng tử dùng hàm sóng dưới dạng phức là bắt
buộc chứ không phải do thuận tiện, hay nói cách khác hàm sóng trong cơ học lượng tử
ñều là phức.
Mở rộng công thức (3.3), cho hạt chuyển ñộng tự do theo phương bất kì ta có biểu thức
tổng quát của hàm sóng là:
Hay

→

ψ ( r , t ) = Ae

→→
i
− ( Et − p r )
ℏ

Hoặc:
i


I.3.3.2. Bộ ñầy ñủ của các ñại lượng vật lý
Đối với các hạt vi mô có tính chất sóng trong chuyển ñộng vì không thể xác
ñịnh chính xác ñồng thời vận tốc và tọa ñộ của hạt nên cách mô tả trạng thái chuyển ñộng
của hạt trở nên kém chi tiết. Do ñó ta chỉ có thể xác ñịnh chính xác một số ñương lượng
vật lí ñặc trưng cho trạng thái của hệ.
Trong chương này ta xét cấu tạo nguyên tử tức là xác ñịnh ñược trạng thái
của ñiện tử ở trong nguyên tử. Trong nguyên tử, ñiện tử chuyển ñộng trong trường ñối
xứng tâm do ñiện tích dương của hạt nhân gây ra. Nên bộ ñầy ñủ các ñại lượng vật lí ñặc
trưng cho trạng thái của ñiện tử là: năng lượng, ñộ lớn của momen ñộng lượng, hình
chiếu của momen ñộng lượng và hình chiếu của momen ñộng lượng spin.

I.3.3.3. Phương trình Schrodinger
Cơ học lượng tử ñược xây dựng từ một số cơ sở (hàm sóng, toán tử,
phương trình hàm riêng trị riêng, nguyên lí chồng chất) ñòi hỏi phải có sự chuẩn bị toán
học công phu. Ở ñây chỉ giới thiệu phương trình sóng và kết quả áp dụng phương trình
sóng khảo sát một số hệ ñơn giản và nguyên tử.
Trong cơ học lượng tử, các quy luật chuyển ñộng của hạt vi mô ñược biểu
diễn bằng phương trình sóng. Phương trình này có vai trò như các ñịnh luật Newton trong
cơ học cổ ñiển. Phương trình sóng ñược thiết lập vào năm 1926 bởi Erwin Schrodinger,

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 13

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp


∂z

ñược gọi là toán tử Laplace, ñó là phép toán lấy ñạo hàm bậc hai ñối với hàm sóng.
Phương trình Schrodinger có thể viết gọn thành:
∧

H ψ = Eψ

Được gọi là toán tử Hamilton hay toán tử năng lượng.
∧

H=

− h2 2
∇ +V
8π 2 m

Hay viết gọn hơn:
∧

H=

Trong ñó ℏ =

− ℏ2 2
∇ +V
2m

h
2π


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

I.4.1. Phương trình Schrodinger
Ta ñã biết toán tử năng lượng có dạng:
∧

H=

− ℏ2 2
∇ + V (r )
2mo

Dùng tọa ñộ cầu (r,θ,ϕ) thay cho tọa ñộ Descartes. Quan hệ giữa hai tọa ñộ như sau:
x=rsinθcosϕ
y=rsinθsinϕ
z=rcosθ
Ta có công thức của biểu thức toán tử Laplaxơ:
∇2 = ∆ =

1
[ ∂ ( h2 h3 ∂ ) + ∂ ( h3 h1 ∂ ) + ∂ ( h1h2 ∂ )
h1 h2 h3 ∂q1 h1 ∂q1
∂q 2 h2 ∂q 2
∂q3 h3 ∂q3

]


)
)
θ
∂r
∂θ
r 2 ∂r
r 2 sin θ ∂θ
r 2 sin 2 θ ∂ϕ 2
1 ∂
∂
1
= 2 (r 2 ) + 2 ∇ 2 (θ , ϕ )
∂r
r ∂r
r

Vậy H trong tọa ñộ cầu là:
∧

H=

ℏ2 1 2
− ℏ2 1 ∂ 2 ∂
(
r
)
−
∇ (θ , ϕ ) + V (r )
2m0 r 2 ∂r
∂r

∧

∧

So sánh hai toán tử này với toán tử H ta thấy cả ba số hạng của H ñều giao
hoán ñược với nhau, do ñó chúng có chung hàm riêng. Gọi hàm riêng chung ứng với các
trị riêng En, l (l + 1)ℏ 2 , m ℏ của 3 toán tử trên là ψ n ,l ,m = Rn,l (r )Yl m (θ , ϕ ) (*). Trong ñó Rn , l là
∧

phần phụ thuộc r của hàm sóng. Ta hãy viết lại phương trình trị riêng cho H với chú ý
∧

biểu thức của L2 trong tọa ñộ cầu thì phương trình như sau:
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 15

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí
∧

− ℏ2 1 ∂ 2 ∂
L2
m
(r
) Rn,l Yl +

Sau ñây ta chỉ viết R,χ cho ñơn giản chú ý rằng:
1 ∂  2 ∂ χ  1 ∂  2 1 ∂χ χ 
r
r (
( ) =
− )
r 2 ∂r  ∂r r  r 2 ∂r  r ∂r r 2 

Tiếp tục biến ñổi ta ñược:
1 ∂  2 ∂ χ 

1 ∂  ∂χ

r
( )  = 2 ( r
− χ ) =

r ∂r  ∂r r  r ∂r  ∂r

2

1 ∂χ
∂ 2 χ ∂χ
(
+
r
− )
r 2 ∂r
∂r 2 ∂r
1 ∂2χ

− ℏ2 d 2χ
l (l + 1)ℏ 2  χ
− [En − V (r ) −
 =0
2m0 r dr 2
2m0 r 2  r

Hay:

d 2 χ 2m0
l (l + 1)ℏ 2  
{
E
V
(
r
)
χ =0
+
−
+

n
2 
dr 2
2
m
r
ℏ2


Trang 16

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

Bây giờ ta giải phương trình (4.2) với trường hợp r nhỏ. Khi ñó so với số hạng
l (l + 1)ℏ
thì ta có thể bỏ qua các số hạng Envà V(r). Ta ñược phương trình:
2m0 r 2
2

d 2 χ l (l + 1)
−
χ =0
dr 2
r2
d2
l (l + 1)
⇔ 2 (rR) −
(rR) =0
dr
r2
d d
l (l + 1)
⇔
(rR ) −

Nhân hai vế của phương trình trên với r và biến ñổi ta ñược:
d
d 2R
R + r 2 2 − l (l + 1) R = 0
dr
dr
d
d
⇔ (r 2 R) − l (l + 1) R = 0
dr
dr
2r

(4.3)

Giả sử rằng nghiệm tìm ñược có dạng Rn ,l (r ) =const.rs. Thay vào phương trình (4.3) ta
ñược:
d  2 d (r s ) 
s
r
 − l (l + 1)r = 0
dr 
dr 
d
( sr s +1 ) − l (l + 1)r s = 0
dr
s(s+1)rs= l (l + 1) rs
s(s+1)= l (l + 1)
⇒s= l
Và s=-( l +1), nghiệm này không thỏa mãn ñiều kiện vật lí. Vì khi ñó

F =-gradV=→

∂V →
r0
∂r

→

→ -Fdr=-dV( F ngược chiều với r0 )
Hay
Ze 2
dr = dV
r2
0
r
1
2
⇔ KZe ∫ 2 dr = ∫ dV
r
0
∞
K

⇔ −K

Ze 2
=V
r

Vì hạt nhân có khối lượng lớn hơn khối lượng của electron nhiều nên ta coi hạt nhân


Thay các biến số mới vào vế phải của phương trình (4.4) rồi quy về các hằng số phụ ta
ñược phương trình:
1 2 d
q2 d
2m0 
Ze 2  l (l + 1)α n2  q
α
α
α
αn  −
(
)
+
E
+
K
 2 n
R( ) = 0
n
n
n
α n2 dq
ℏ 2 
dq
q
q2

q
 αn

d 2 d
1 
Ze 2 2 2m0 En  l (l + 1)  q
(q
)−
 En − K
−
R( ) = 0
dq
dq 4 En 
q
ℏ
q 2  α n

d 2 d
1
Ze 2
(q
)− +K
dq
dq 4
qℏ

GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

m0 l (l + 1)  q
−
R( ) = 0
2 En
q2  α n

thành:
1 d 2 d
1
(q
) − R = 0
 2
dq 4 
 q dq
1
dR
d 2R
R
⇔ 2 ( 2q
+ q2 2 ) − = 0
q
dq
dq
4
⇔

2 dR d 2 R R
+
− =0
q dq dq 2 4

Vì q lớn nên ta bỏ qua số hạng ñầu và ñược:
1
2

R’’-( ) 2 R=0


(4.6)
Giải phương trình này ta tìm ñược Vn,l (q) và thay vào biểu thức của Rn, l (r ) ta tìm ñược
hàm sóng của electron trong nguyên tử hydro ñối với phần phụ thuộc r.
Muốn giải ta phải ñặt:
∞

Vn ,l (q ) = ∑ ai q i
i =0

Với ñiều kiện khi q→∞ thì Vn ,l (q) →∞ chậm hơn một ña thức của q. Như vậy chuỗi
∞

∑a q
i =0

i

i

không thể kéo dài ñến vô hạn ñược. Điều này ñòi hỏi các hệ số của phương trình

vi phân trên phải thỏa mãn những ñiều kiện nhất ñịnh. Ta phải nghiên cứu các ñiều kiện
ấy.
Ta có:
∞

Vn',l (q ) = ∑ ia i q i −1
i =1


∞

i=2

i =1

i =1

i =0

∑ i(i − 1)ai q i −1 + ∑ iai (2 + 2l − q)q i −1 + (λn − l − 1)∑ ai q i = 0
i =0

⇒ ∑ i (i − 1)ai q i −1 + ∑ iai (2 + 2l )q i −1 − ∑ iai q i + ∑ (λn − l − 1)ai qi = 0

(4.7)

Ta hãy ñổi cận cho các tổng trên ñể chúng có cùng cận. Muốn thế ta ñặt i=k+1. Suy ra
i=2 thì k=1 và i=1 thì k=0. Do ñó các số hạng của tổng trên là:
Số hạng ñầu:
∞

∞

i=2

k =1
∞

∑ i(i − 1)ai q i −1 = ∑ k (k + 1)ak +1q k

∞

∑ (λ
k =0

n

− l − 1)ak q k (i cũng như k)

Do ñó phương trình (4.7) trở thành:
∞

∑ [k (k + 1)a
k =0

k +1

+ (k + 1)ak +1 (2l + 2) − kak + (λn − l − 1)ak ]qk = 0

Các qk là ñộc lập, khác không nên các hệ số của từng số hạng phải bằng 0. Tức là:
a( k +1) [k (k + 1) + (k + 1)(2l + 2)] = ak [k − (λn − l − 1)]
→ a( k +1) =

ak [k − (λn − l − 1)]
[k (k + 1) + (k + 1)(2l + 2)]

Đây là công thức truy toán ñể tìm hệ số ak.
Như trên ta ñã ñưa ra ñiều kiện vật lí là chuỗi ak phải ngắt ở một số hạng nào ñó chứ
không kéo dài ñến vô cùng ñược. Chẳng hạn chuỗi bị ngắt ở số hạng k=p. Khi ñó a(p+1)=0
p-(λn- l -1)=0


1
4πε 0

,ℏ =

h
2π

Vậy En= −

1 Z 2e 4m0
n 2 8ε 02h 2

Trong quá trình giải xuất hiện các biến số lượng tử, ta sẽ ñi tìm hiểu các biến số lượng tử
này.
I.4.3. Các số lượng tử- Bộ ñầy ñủ của các ñại lượng vật lí
Việc tìm những nghiệm thỏa mãn ñiều kiện ñơn trị, giới nội và liên tục của
hàm sóng làm xuất hiện những tham số nguyên, gọi là các số lượng tử:
- Số lượng tử chính: n=1,2,3…
- Số lượng tử phụ: l =0,1,2…,n-1
- Cuối cùng là số lượng tử từ m. Bây giờ ta ñi tìm giá trị của m mà nó có thể
ñạt ñược qua việc tìm trị riêng của momen ñộng lượng.
∧

Để tìm trị riêng của momen ñộng lượng ( L z chẳng hạn), ta phải giải phương trình
∧

trị riêng của chúng. Gọi ψ(r,θ,ϕ) là hàm riêng của toán tử L z , thì ta có phương trình trị
riêng là:


∧

L + L z − L z L+ = − ℏ L+
∧

∧

∧

∧

∧

→ L+ L z + ℏ L+ = L z L +
∧

Cho 2 vế của phương trình toán tử này tác dụng lên hàm riêng ψm(r,θ,ϕ) của L z và cũng
∧

là của L ta ñược:
∧

∧

∧

∧

∧

∧

∧

Nghĩa là ( L+ ψ m ) là hàm riêng ứng với trị riêng ℏ(m + 1) của L z là hàm riêng ψ m +1 . Suy ra
∧

ψ m +1 và L+ ψ m cùng biểu diễn một trạng thái vật lí nên chỉ khác nhau một hằng số nhân.
Nghĩa là:
∧

L+ ψ m =constψ m +1
∧

Vì m ℏ là trị riêng của L z nên m không thể bằng vô cùng ñược. Nghĩa là m phải ngắt ở
giá trị lớn nhất nào ñó. Gọi l là giá trị lớn nhất của m thì:
∧

L+ ψ l = constψ ( l +1) = 0

→ψ (l +1) =1. Nếu ψ (l +1) ≠0 thì sẽ tồn tại giá trị m=( l +1)> l . Điều này trái với giả thiết ở
trên.
Vậy m có thể nhận các giá trị 0;±1;±2;…± l
Bây giờ ta xét từng số lượng tử ñể biết ñược ý nghĩa cũng như quan hệ với các ñại lượng
vật lí xác ñịnh trạng thái của electron trong nguyên tử.

I.4.3.1. Số lượng tử chính n
n=1,2,3,…, xác ñịnh năng lượng En của electron trong nguyên tử.
En= −


Bình thường electron ở trạng thái ứng với mức năng lượng thấp (E1) khi ñó
nguyên tử ở trạng thái cơ bản. Khi cung cấp năng lượng cho electron (ví dụ như bằng
cách chiếu sáng, phóng ñiện, nung nóng…) thì electron nhận thêm năng lượng và chuyển
lên mức cao hơn (En), nguyên tử chuyển sang trạng thái kích thích.
Tuy nhiên trạng thái kích thích kém bền, chỉ tồn tại trong khoảng thời gian rất
ngắn (cỡ phần triệu giây) sau ñó electron chuyển về mức năng lượng thấp E1 ñồng thời
giải phóng năng lượng ∆E dưới dạng bức xạ ñiện từ. Ví dụ khi electron chuyển từ mức
năng lượng n’ về mức n, sẽ phát ra một bức xạ có lượng tử năng lượng:
hυ=∆E = En' − En
Vì ∆E là những giá trị gián ñoạn (n và n’ là những giá trị gián ñoạn), nên υ sẽ là
những giá trị gián ñoạn và ta có thể giải thích ñược quang phổ vạch của các nguyên tử.
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 22

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh


Luận văn tốt nghiệp

Ngành: SP Vật lí

E∞
n=∞
E4
n=4
Dãy Bracket
E3
n=3
Dãy Pasen

∧

∧

L2 ψ l = L− ( L+ψ l )+ L z ( L z ψ l ) + ℏ ( L z ψ l )

Chú ý số hạng ñầu của vế phải bằng 0, do ñó ta ñược:
∧

L2 ψ l = (l 2 ℏ 2 + lℏ 2 )ψ l = ℏ 2 (l 2 + l )ψ l

Nên ta có:
∧
2

L ψ l = L2ψ l → L2 = ℏ 2 (l 2 + l )
→ L = l (l + 1)ℏ
l nhận những giá trị bằng 0,1,2,3,..n-1 gọi là lượng tử số momen ñộng lượng orbital (số
lượng tử phụ). Như vậy ứng với mỗi giá trị của số lượng tử chính n ta có n giá trị của l .

Để tiện người ta thay các số lượng tử chính n=1,2,3,… bằng các kí hiệu chữ cái
K,L,M,N,O,P…
Ứng với các giá trị của l =0,1,2,3…người ta kí hiệu là s,p,d,f,g…Ta thấy ñộ lớn
momen ñộng lượng orbital cũng là những giá trị gián ñoạn.
GVHD: Thầy Hoàng Xuân Dinh

Trang 23

SVTH: Nguyễn Thị Kim Ánh