Chuyên đề:
Rèn kỹ năng giải bài tập toán
bằng cách lập phơng trình - hệ phơng trình
I/ Đặt vấn đề:
Nh chúng ta đã biết, ngay từ những ngày mới cắp sách đến trờng, học
sinh đã đợc giải phơng trình. Đó là những phơng trình rất đơn giản dới dạng
điền số thích hợp vào ô trống. Đối với học sinh lớp cao thì tính phức tạp của
phơng trình cũng dần đợc nâng lên.
+ Đối với lớp 1, lớp 2 thì phơng trình rất đơn giản, thờng là dới dạng
điền vào ô trống:
+ 3 = 7
+ Đối với học sinh lớp 3 thì phơng trình phức tạp hơn:
x + 2 + 3 = 6.
+ Đối với học sinh lớp 4, 5, 6 phơng trình có dạng:
x : 4 = 8 : 2
x x 5 + 8 = 33
(x 12) x 8 = 16
Tất cả các loại Toán trên, mối quan hệ giữa các đại lợng trong đề toán
đợc gắn kết với nhau bằng các mối quan hệ toán học. Các đại lợng chỉ là
những con số tự nhiên bất kỳ. Đặc biệt là các phơng trình đợc viết sẵn học sinh
chỉ việc giải phơng trình là hoàn thành nhiệm vụ.
Đối với học sinh lớp 8, lớp 9 trở lên các đề toán về giải phơng trình
không còn đơn giản nh vậy nữa mà nó là các dạng toán có lời, căn cứ vào có
để lập ra phơng trình kết quả, đáp số đúng không chỉ phụ thuộc vào kỹ năng
giải phơng trình mà còn phụ thuộc vào việc lập phơng trình.
Việc giải các bài toán bằng cách lập phơng trình đối với học sinh THCS
là một việc làm mới mẻ. Đề bài cho không phải là những phơng trình có sẵn
mà là một đoạn văn mô tả mối quan hệ giữa các đại lợng, học sinh phải
chuyển đổi đợc mối quan hệ giữa các đại lợng đợc mô tả bằng lời văn sang
mối quan hệ toán học. Hơn nữa, nội dung của các bài toán này, hầu hết đều
gắn bó với các hoạt động thực tế của con ngời, xã hội hoặc tự nhiên, Do đó

. Tính phân số đã cho.
(SGK Đại số 8)
Giải
Gọi tử số của phân số đã cho là x (x>0;x

N)
Thì mẫu số của phân số là 4x.
Theo bài ra ta có phơng trình:
2
1
24
2
=
+
+
x
x
.
x = 1.
Vậy tử số là 1, mẫu số là 4.
Vậy phân số đó là
4
1
.
* Biện pháp 2: Lời giải toán phải có căn cứ chính xác.
Xác định ẩn phụ phải khéo léo, mối quan hệ giữa ẩn và dữ kiện đã cho
làm nổi bật đợc ý phải tìm. Nhờ mối quan hệ giữa các đại lợng trong bài toán
thiết lập phơng trình (hệ phơng trình), từ đó tìm đợc giá trị của ẩn số. Muốn
vậy, ngời giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đợc đâu là ẩn? Đâu là điều
kiện? Có thoả mãn điều kiện hay không? Từ đó có thể xây dựng đợc cách

nào, rèn luyện cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ cha.
Ví dụ 3: Một tam giác có chiều cao bằng
4
3
cạnh đáy. Nếu chiều cao
tăng thêm 3dm, cạnh đáy giảm đi 2dm, thì diện tích tăng thêm 12dm
2
. Tính
chiều cao và cạnh đáy.
Giáo viên lu ý cho học sinh công thức:
S=
2
1
cạnh đáy x chiều cao.
Giải
Gọi độ dài cạnh đáy là x (dm) (x > 0)
Thì chiều cao là
4
3
x (dm)
Nên diện tích lúc đầu là :
2
1
.x.
4
3
x (dm)
Diện tích lúc sau là:
2
1

(Bài toán cổ Việt Nam)
Giải
Gọi số gà là x (con) (x nguyên dơng)
Số chó là 36 - x (con)
Số chân gà là 2x (chân)
Số chân chó là 4(36 - x) (chân)
Theo bài ra ta có phơng trình:
2x + 4(36 - x) = 100
x = 22
Vậy số gà là 22 con, số chó là 14 con.
Với cách giải trên, bài toán ngắn gọn, dễ hiểu, phù hợp với trình độ của
học sinh.
* Biện pháp 5: Lời giải phải trình bày khoa học.
Ví dụ 5: Chiều cao của một tam giác vuông bằng 9,6m và chia cạnh
huyền thành 2 đoạn hơn kém nhau 5,6m. Tính độ dài cạnh huyền của tam
giác.
(Đại số 9)
Trớc khi giải cần kiểm tra kiến thức của học sinh để củng cố công thức:
AH
2
= BH.CH
Giải
Gọi độ cạnh BH là x (x > 0)
Độ dài cạnh CH là: x 5,6 (m)
Ta có pt: x(x + 5,6) = 9,6
2
.
x = 7,2 (TMĐK)
Vậy độ dài cạnh huyền là: 7,2 + 5,6 + 7,2 = 20 (m).
* Biện pháp 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ, có thể nên thử lại.


(không thoả mãn)
x
2
= 20 (nhận)
Vậy vận tốc tàu thuỷ khi nớc yên lặng là 20 km/h
* Phân loại các bài toán giải bằng cách lập phơng trình và hệ phơng trình.
1/ Loại bài toán về chuyển động.
2/ Loại bài toán có liên quan đến số học.
3/ Loại bài toán về năng suất lao động.
4/ Loại bài toán về tỉ lệ chia phần.
5/ Loại bài toán có liên quan đến hình học.
6/ Loại toán về công việc làm chung, làm riêng.
7/ Loại bài toán có nội dung Lí, Hoá.
8/ Loại toán có chứa tham số.
9/ Loại toán thống kê, mô tả.
Giáo viên hớng dẫn học sinh giải một số bài toán.
1. Dạng toán chuyển động:
- Bài toán 1: Quãng đờng AB dài 270km. Hai ô tô cùng khởi hành một
lúc đi từ A đến B. Ô tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h nên đến
trớc ô tô thứ hai 42 phút. Tính vận tốc mỗi xe.
(Đại số 9)
Trong bài toán này cần hớng dẫn học sinh xác định đợc vận tốc của mỗi
xe, từ đó xác định thời gian đi hết quãng đờng của mỗi xe.
Giải
Gọi vận tốc xe thứ nhất là x (km/h) (x > 12)
Vận tốc xe thứ hai là x - 12 (km/h)
Theo bài ra ta có phơng trình:
7,0
270

Giáo viên lu ý: Với dạng này học sinh phải hiểu đợc mối liên hệ giữa
các đại lợng, đặc biệt giữa hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm,
ab = 10a + b, abc = 100a + 10b + c
3. Dạng toán về năng suất lao động.
- Bài toán 3: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 400 chi tiết. Trong
tháng sau, tổ 1 vợt mức 10%, tổ 2 vợt mức 15%, nên cả hai tổ sản xuất đợc