Sử dụng điều kiện cần, điều kiện đủ để giải phơng
trình, bất phơng trình, hệ phơng trình chứa tham số.

Bài1: Tìm m để bất phơng trình sau đúng với mọi x 4;6

4 x 6 x x 2

2x m

Lời giải.
1. Điều kiện cần: Giả sử bất phơng trình đúng với mọi x 4;6 ,
nói riêng nó phải đúng với x=1, tức là ta phải có: m 1 5 m 6
Vậy điều kiện cần là : m 6
2. Điều kiện đủ: Giả sử m 6 . Theo bđt côsi, ta có với mọi x 4;6 :
4 x 6 x 4 x 6 x 5
2
2
Mặt khác x 2 x m x 1 2 m 1 5; (do : m 6)

4 x 6 x x 2 2 x m
Vậy với mọi x 4;6 ta luôn có
Tóm lại các giá trị cần tìm của m là m 6 .
x 2 (2a 1) x a 2 3 y
Bài 2: Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất?
(ĐS:
2
y (2a 1) y a 2 3 x
a = - 2)
HD: 1. Đkc: Giả sử hệ có nhiệm duy nhất ( x0; y0), suy ra (y0; x0) cũng là
nghiệmcủa hệ.
Do tính duy nhất nên x0=y0. Mặt khác x0 là nghiệm của phơng

4

x 1 x 2,(" " x 1 x)
x 4 1 x 4 8,(" " x 1 x)

1
2
Tóm lại, điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất là m 2 4 8
Vậy (2) x 1 x x


Bài 4: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
4 x x 5 m(1)
1. Đkc: Giả sử (1) có nghiệm duy nhất x0 nên ta có
4 x0 x 0 5 m

4 ( 1 x 0 ) ( 1 x0 ) 5 m

Điều đó có nghĩa là (-1-x0) cũng là nghiệm của (1).
Do x0 là nghiệm duy nhất nên x0=-1-x0 suy ra x0=-1/ 2
Thay x0=-1/ 2 vào (1) ta có: m 3 2
2. Điều kiện đủ: Giả sử m 3 2 khi đó (1) có dạng: 4 x x 5 3 2
Theo BĐT Bunhiacỗpki ta có: 4 x x 5 2(4 x x 5) 3 2
Dấu = khi 4-x=x+5 hay x=-1/ 2
Vậy điều kiện cần và đủ để (1) có nghiệm duy nhất là: m 3 2
x 1 y 2 a

x y 3a
1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0,y0).
Do (x0,y0) là nghiệm nên (y0+1,x0-1) cũng là nghiệm của hệ.

2
2
2
u v 12 3 15


Theo định lí Viét thì u,v là hai nghiệm của phơng trình
12 3 15
3 15
t 2 (3 15)t
0 u v
( 0)
2
2
2

3 15
10 3 15
x 1

x
2





2



x02 2 x0 0
Thay vào hệ ta có: 2
x0 2
2 x0 m



Nếu x0= 0 thì m= 0, nếu x0= 2 thì m = 8
Vậy điều kiện cần là: m= 0 hoặc m = 8
2. Điều kiện đủ: a) Giả sử m= 0. Khi đó hệ trở thành

x y xy 0
x y0
2
2
x

y

0

Vậy m= 0 thì hệ có nghiệm duy nhất.
b) Giả sử m=8 khi đó hệ trở thành:
x y xy 8 x y xy 8

x y 4; x y 6
2
2
( x y )2 2( x y ) 24 0
x y 8

(u v) 2 9 6 2 9


(u v)

2

2
2
v 6 x 0 2
2

u v 9; u 0, v 0


2. Đkđ: Giả sử m

(u v) 2 2(u v) 6 2 18 0 u v 3 2; u v 2 3 2

(u v) 2 u 2 v 2 ;(u , v 0) u v 3 u v 3 2

uv 3 2

uv 3 2
3 2
3


2




3 y a x2 1 1

Viết lại hệ đã cho dới dạng tơng sau:
2
2

y x 1 a
1. Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm duy nhất (x0,y0) suy ra (-x0,y0)
cũng là nghiệm, do tính duy nhất nên x0=-x0 suy ra x0= 0. Thay vào
hệ ta có:

a 1

3 y0 a 1

2

3a a 4 0

4
2

a
y0 a 1
3
Đó là điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất.
2. Đkđ: i) Nếu a=-1, hệ trở thành:



9
3


x 0, y



2
2
16
7
y x 2 1

9 y 9 x 1 16
x 1 1



9

4
hệ có nghiệm duy nhất
3
4
Tóm lại với a=-1 và a thì hệ có nghiệm duy nhất
3
Bài 9: a) Tìm a,b,c sao cho phơng trình sau có nghiệm duy nhất?
x a x b c ( x0 là nghiệm thì - x0 +a+b cũng là

áp dụng câu a) ta có phơng trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi hệ
sau thỏa mãn:

m 2 1
m2 1


m 1


m 1
m 1 0

Vậy (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=-1.
1
3
3
2
x ay (a 1)
2
Bài 10: Tìm a để hệ

x 3 ax 2 y xy 2 1

có nghiệm và mọi nghiệm của nó đều thỏa mãn x + y = 0?
1. Đkc: Giả sử thỏa mãn mọi yêu cầu đề bài và gọi (x0,y0) là một nghiệm
bất kì của hệ, ta có:
1
3
3

0
0


a 1 1

(a 1) 2 a 0; a 1
2a 2
Vậy điều kiện cần là a= 0;a=1;a=-1.

x
3 1

x

2. Đkđ: i) Với a= 0 ta có hệ phơng trình : 2
x3 xy 2 1
x




Nghiệm thứ nhất x+y0 suy ra a= 0 loại.
ii) Với a= 1 ta có hệ phơng trình
x 3 y: 3 2

3
x x 2 y xy 2 1

1



1
3
2
2
x x y xy 1 x 3
y 1
2

3

2
Vậy a= -1 và a=1thỏa mãn.
Bài 11. Xác định các giá trị của a sao cho hệ sau có nghiệm duy nhất


x 1 y 1 a

x y 2a 1
Lời giải.

(1)

x 1

y 1


Đkc: Giả sử hệ có ngiệm x0 ; y0 y0 2; x0 2 cũng là nghiệm của hệ phơng trình Do đó hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là: y0= x0 +2.



a 2 6
2
4
a

2

a

Vậy a 2 6 là điều kiện cần để hẹ có nghiệm duy nhất.
Đkđ: Với a 2 6 hệ (1) có dạng
x 1 y 1 2 6
x 1 y 1 2 6




x y 2 2 6 1
x 1 y 1 5 2 6











2


3 2 6
2 6
x 1
x


2
2


y 1 2 6
y 7 2 6


2
2


là ngiệm duy nhất
Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất khi a 2 6
Cách giải khác.

x 1 0
x 1
x 1 y 1 a


S2 là tập các điểm trên đờng tròn (C) tâm O bán kính R 2a 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi (d) tiếp xúc với đờng tròn (C) trong
cung phần t
thứ nhất. a 4a 2 a 2 6
Cách 2. ( chuyển về hệ đại số )


uv a



a 2 2a 1
uv



2

uv a

2
u v 2 2a 1


u , v là nghiệm phơng trình

t 2 at

1 2
a 2a 1 0 3

(I) 2
x y 2 2 xy x 3 y a 0(2)
1) Điều kiện cần: Giả sử hệ (1)(2) có nghiệm duy nhất (x0;y0) suy ra (x0;y0) cũng là nghiệm. Do tính duy nhất suy ra x0 = - x0 hay x0 = 0.
Thay vào hệ đã cho ta có bất phơng trình : y 02 3 y 0 a 0(*)
Vì hệ (1)(2) có nghiệm duy nhất ,suy ra (*) có nghiệm duy nhất
9
9 4a 0 a
4
9
2) Điều kiện đủ: Khi a thì (1)(2)
4
9
2
2
x y 2 xy x 3 y 4 0
9

x 2 y 2 3 y 0
4
x 2 y 2 2 xy x 3 y 9 0

4
2

3
3

x y 0 x 0, y
2
2

th× hÖ cã d¹ng
2

1
2
�2
x   y  1 �
�
�
2 � x 2  y  1 2  ( x  1) 2  y 2  1 �0


�
1
�
( x  1) 2  y 2 �
�
2
2

2

�
2� �
2�
1
� � 2x 
� � 2 y 
� �0 � x  y  
2 � �