– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Giới hạn lượng giác
sin u ( x)
sin x
u( x) = 0 )
= 1 (với xlim
= 1 ; xlim
• lim
→ x0
→ x0
x→0
u( x)
x
2. Đạo hàm các hàm số lượng giác
Đạo hàm
(sin x) ' = cos x
(cos x ) ' = − sin x
1
(tan x) ' =
cos 2 x
1
(cot x) ' = − 2
sin x

Hàm hợp
(sin u ) ' = u '.cos u

Chọn D.
sin ( π x )
2
−1
f '( x) =
= 2. ( cos ( π x ) ) '.
= 2.π
.
2
cos ( π x )
cos ( π x )
cos 2 ( π x )
sin 3π
f ' ( 3) = 2π .
=0.
cos 2 3π
π 
Câu 2. Cho hàm số y = cos 3x.sin 2 x . Tính y '  ÷ bằng:
3
1
π 
π 
π 
A. y '  ÷ = −1 .
B. y '  ÷ = 1 .
C. y '  ÷ = − .
2
3
3
3

1 − sin x
6
π 
B. y '  ÷ = −1 .
6

π 
π 
A. y '  ÷ = 1 .
C. y '  ÷ = 3 .
6
6
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
( cos 2 x ) '. ( 1 − sin x ) − cos 2 x ( 1 − sin x ) ' = −2sin 2 x ( 1 − sin x ) + cos 2 x.cosx
y'=
.
2
2
( 1 − sin x )
( 1 − sin x )
π 
y ' ÷=
6

−2.

Đạo hàm – ĐS> 11

π 

 16 
2
A. 0 .
B. 2 .
C. .
π
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1
1
f '( x) =
cos x −
sin x =
cos x − sin x .
2 x
2 x
2 x
2
2 



π2 
1
 cos  π ÷ − sin  π ÷ ÷ = 1  2 − 2 ÷ = 0
f ' ÷=
2
.
2 ÷

 1
⇒ y' =
− 2 ÷.

2
2 tan x + cot x  cos x sin x 



÷
1
1
1
1
π 

÷=
f ' ÷=
−
( 2 − 2) = 0
π
π  cos 2  π  sin 2  π  ÷ 2 2
4
2 tan + cot 
 ÷
 ÷÷
4
 4 
4
4


Đạo hàm – ĐS> 11

Câu 6. Cho hàm số y = f ( x ) =
A. 1 .

D. Không tồn tại.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
1
1
− cos x
y=
⇒ y2 =
⇒ y '2y =
.
sin x
sin 2 x
sin x
⇒ y' =

1  − cos x 
.
÷=
2 y  sin 2 x 

1  − cos x  − sin x cos x
=
. 2

Chọn D.
 5π

f ' ( x ) = 2 cos 
+ x ÷.
 6

π 
f '  ÷ = −2 .
6
2π 

Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) = tan  x −
÷. Giá trị f ' ( 0 ) bằng:
3 

A. 4 .
B. 3 .
C. − 3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
y' =
2π  .

cos 2  x −
÷
3 

f '( 0) = 4 .



– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Ta có y ′ =

− sin x ( 1 − sin x ) + cos 2 x

( 1 − sin x )

2

=

Đạo hàm – ĐS> 11

1
.
1 − sin x

1
π 
y′  ÷ =
=2
.
 6  1 − sin π
6
1
π 
. Giá trị f ′  ÷ là:
sin x

2

=−

cos x
= − tan x
sin x

C. 0.

D. Không tồn tại.

cos x 4
π 
+ cot x . Giá trị đúng của f ′  ÷ bằng:
3
3sin x 3
3
9
9
8
B. − .
C. .
D. − .
8
8
9

Câu 11. Cho hàm số y = f ( x) = −


x
.(1
+
cot
x
)
+
cot
x
÷ 
÷ 
÷
3
sin 2 x 3
3
 3sin x 3
 
 

1
1
cot 2 x
1

′
=  cot 3 x + cot x ÷ = 3cot 2 x. ( cot x ) ′ − 2 = − 2 − 2 .
3
sin x
sin x sin x


4
4
1 + sin 2 x
8
8
A. −3 .
B. ×
C. 3 .
D. − ×
3
3
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
−2 cos x sin x ( 1 + sin 2 x ) − 2 cos x sin x cos 2 x
f ′( x) =
2
( 1 + sin 2 x )
Trang 4


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
=

−2 cos x sin x ( 1 + sin 2 x + cos 2 x )

( 1 + sin x )
2

2


4

2

Đạo hàm – ĐS> 11

 π  −8
⇒ f ′  ÷=
4 9

x
π 
. Giá trị đúng của f ′  ÷ bằng
3
2
3
C. −
×
3

3
×
2

D. −

x
2
x
x

⇒ f ′ ( 0) = = 4
1
2π 

.
cos 2  x −
÷
4
3 

cos x
Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) =
. Chọn kết quả SAI
1 + 2sin x
5
1
π 
π 
A. f ′  ÷ = − ×
B. f ′ ( 0 ) = −2 .
C. f ′  ÷ = − ×
4
3
6
2
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
− sin x. ( 1 + 2sin x ) − cos x.2.cos x
− sin x − 2
f '( x) =

Trang 5

D.

3.

D. f ′ ( π ) = −2 .

D. 0 .


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

′
 π  3 2.sin π
=0
Ta có: y ′ = − 2. ( cos 3 x ) = 3 2.sin 3 x . Do đó y '  ÷ =
2
2
2
3
cos
π


cos 3 x
cos 3 x
π 
Câu 17. Cho hàm số y = f ( x ) = sin(π sin x ) . Giá trị f ′  ÷ bằng:
6

2
2
2
6

 2
2
π 
Câu 18. Cho hàm số y = f ( x ) = sin x + cos x . Giá trị f ′  ÷ bằng
 16 
A.

2.

B. 0.

C.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
π2 
1
1
′
′
f
x
=
cos
x

2 2
×
π

D.

4 3
×
3

D. 2π .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

2 cot ( π x ) ′
1 + cot 2 ( π x ) ⇒ f ′ 3 = 2π
( )
Ta có: f ′ ( x ) = −  2
.
= 2π
cot ( π x )
cot 2 ( π x )
 5π

π 
+ x ÷. Giá trị f ′  ÷ bằng
Câu 20. Xét hàm số f ( x) = 2sin 
 6


1
.
2


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

1
1
− 2
2
π 
Ta có: f ′ x =
= cos x sin x ⇒ f ′  ÷ = 0.
( )
2 tanx + cot x 2 tanx + cot x
4
π 
2
2
Câu 22. Cho f ( x ) = cos x − sin x . Giá trị f ′  ÷ bằng:
4
A. 2
B. 1
C. −2

 ÷

÷
2
1 − s inx
6
 6 3
( 1 − s inx )

( tanx + cot x ) ′

Câu 24. Tính

f ' ( 1)
πx
. Biết rằng : f ( x) = x 2 và ϕ ( x ) = 4 x + sin
.
ϕ '( 0)
2

f '(1)
4
=
ϕ '(0) 8 − π
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A.

B.


f '(1)
4
=
ϕ '(0) 8 + π


– Website chuyên đề thi tài liệu file word

Đạo hàm – ĐS> 11

DẠNG 2: TÍNH ĐẠO HÀM BẰNG CÔNG THỨC
Câu 1. Hàm số y = sin x có đạo hàm là:
A. y ' = cos x .

B. y ' = − cos x .

C. y ' = − sin x .

D. y ' =

1
.
cos x

D. y ' =

1
.
sin x


Câu 4. Hàm số y = cot x có đạo hàm là:
1
1
A. y ' = − tan x .
B. y ' = −
.
C. y ' = − 2 .
2
cos x
sin x
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
1
Theo công thức đạo hàm lượng giác sgk Đại số 11: ( cot x ) ' = − 2 .
sin x
Câu 5. Chọn mệnh đề ĐÚNG trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y = cos x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
B. Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
C. Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
1
D. Hàm số y =
có đạo hàm tại mọi điểm thuộc miền xác định của nó.
sin x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 6. Hàm số y = tan x − cot x có đạo hàm là:
1
4
4
A. y ' =

.
+
=
=
2
2
2
2
cos x sin x sin x.cos x sin 2 2 x
Câu 7. Đạo hàm của hàm số y = 3sin 2 x + cos 3x là:
A. y ′ = 3cos 2 x − sin 3 x.
C. y′ = 6 cos 2 x − 3sin 3 x.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có y ′ = 3.2 cos 2 x − 3sin 3x = 6 cos 2 x − 3sin 3 x .
π

Câu 8. Hàm số y = sin  − 3 x ÷ có đạo hàm là:
6

π

π

A. 3cos  − 3 x ÷.
B. −3cos  − 3 x ÷.
6

6


y′ = 2.4.sin 4 x.cos 4 x = 4sin 8 x .
Câu 10. Hàm số y = 2 cos x 2 có đạo hàm là
A. −2 sin x 2 .
B. −4 x cos x 2 .
C. −2 x sin x 2 .
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
y′ = −2.2 x.sin x 2 = −4 x sin x 2 .
 2π

+ 2 x ÷ . Khi đó phương trình y′ = 0 có nghiệm là:
Câu 11. Cho hàm số y = cos 
 3

π
π kπ
π
A. x = − + k 2π .
B. x = +
.
C. x = − + kπ .
D.
3
3 2
3
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
 2π


C.
D.
2
2
2
2
2
sin 3 x cos 2 x
sin 3 x cos 2 x
sin 3 x cos 2 2 x
Hướng dẫn giải:
Trang 9

4sin 8x .

−4 x sin x 2 .

x=−

π kπ
+
.
3 2

−1
1
−
×
2
sin x cos 2 2 x

.
.
.
.
A. tan 2 x +
B.
C. tan 2 x +
D. tan 2 x +
2
2
2
cos x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
( 2 x ) ′ = tan 2 x + x. 2 .
y′ = x′ tan 2 x + x ( tan 2 x ) ′ = tan 2 x + x
cos 2 2 x
cos 2 2 x
1
2
Câu 15. Hàm số y = cot x có đạo hàm là:
2
−x
x
−x
−x
×

D. x = − + kπ .
3
3
3
3
Hướng dẫn giải:
π
π
Chọn C (vì x = − − 2kπ , k ∈ Z ⇔ x = − + 2lπ , l ∈ ¢ )
3
3
1
π x
1
π x π

π x 
Ta có: y′ = − cos  − ÷ ⇒ y′ = 0 ⇔ − cos  − ÷ = 0 ⇔ − = + kπ
2
2
3 2 2
 3 2
 3 2
π
⇔ x = − − 2 kπ , k ∈ Z
3
1
2
Câu 17. Hàm số y = ( 1 + tan x ) có đạo hàm là:
2

2
21
21
21
21
cos 7 x.
cos x.
A. − cos x.
B. − cos 7 x.
C.
D.
2
2
2
2
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
3
21
 3
′
y ′ =  − sin 7 x ÷ = − . ( 7 x ) ′ cos 7 x = − cos 7 x .
2
2
 2

Câu 19. Đạo hàm của y = tan 7 x bằng:
7
7
7


Câu 21. Đạo hàm của hàm số y = sin  − 2 x ÷ là y′ bằng
2

π

A. −2sin 2x .
B. − cos  − 2 x ÷ .
C. 2sin 2x .
2

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
π

y ′ = −2 cos  − 2 x ÷ = −2sin ( 2 x ) .
2

Câu 22. Đạo hàm của hàm số f ( x ) = sin 3x là
3cos 3 x
3cos 3x
3cos 3 x
×
×
×
A.
B.
C. −
sin 3x
2 sin 3 x


1 2
π
π

2
A. x.cos  − x ÷.
B. x cos  − x ÷.
2
3

3

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
π
π
2
2
Ta có: y ′ = − . ( −2 x ) .cos  − x ÷ = x.cos  − x ÷
2
3

3

Câu 24. Đạo hàm của hàm số y = cos ( tan x ) bằng
1
A. sin ( tan x ) × 2 ×
cos x

π

x cos  − x 2 ÷.
2
3


1
B. − sin ( tan x ) × 2 ×
cos x
D. – sin ( tan x ) .

C. y ' = 2 x cos( x 2 + 2)

2
B. y ' = sinx ( 3cos x + 1) .

2
2
C. y ' = sinx ( cos x + 1) .
D. y ' = sinx ( cos x − 1) .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
y ' = ( sin 2 x ) '.cos x + sin 2 x. ( cos x ) ' = 2 cos 2 x sin x − sin 3 x

= sin x ( 2 cos 2 x − sin 2 x ) = sin x ( 3cos 2 x − 1) .

sinx
có đạo hàm là:
x


D. y ' = 4 x cos( x 2 + 2)


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
x
sin x
sin x − cos x
sin x − x cos x
A. y ' =
B. y ' =
2
sin x
sin x
Hướng dẫn giải:
sin x − x cos x
y'=
sin 2 x
Câu 29. Hàm số y = x 2 .cos x có đạo hàm là:

Câu 28. y =

A. y ' = 2 x.cos x − x 2 sin x .
C. y ' = 2 x.sin x − x 2 cos x .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
y ' = ( x 2 ) '.cos x + x 2 . ( cos x ) ' = 2 x.cos x − x 2 .sin x .


(I) y ′ =
(II) y ′ =
2
2
( 1 + cos x )
( 1 + cos x )
Kết quả nào đúng?
A. Cả hai đều sai.
B. Chỉ (II).
C. Chỉ (I).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
cos x(1 + cos x) + s inx(1 + s inx) 1 + s inx + cos x
=
2
2
Ta có: y ′ =
( 1 + cos x )
( 1 + cos x )
cos 2 x
là
3x + 1
−2sin 2 x ( 3 x + 1) − 3cos 2 x
.
A. y ' =
2
( 3x + 1)

D. Cả hai đều đúng.


Ta có: y ′ =

( cos 2 x ) ′ ( 3x + 1) − ( 3 x + 1) ′ .cos 2 x ⇒ y ' = −2 sin 2 x ( 3 x + 1) − 3cos 2 x .
2
2
( 3x + 1)
( 3x + 1)

sin x − x cos x
có đạo hàm bằng
cos x + x sin x
− x 2 .sin 2 x
− x 2 .sin 2 x
− x 2 .cos 2 x
A.
B.
C.
(cos x + x sin x) 2
(cos x + x sin x) 2
(cos x + x sin x) 2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có:
( s inx − x cos x ) ′ ( cos x + x sin x ) − ( cos x + x sin x ) ′ ( s inx − x cos x )
y′ =
2
( cos x + x sin x )

Câu 33. Hàm số y =


C. 2π + kπ .

2
Câu 34. Cho hàm số y = cot

A. π + k 2π .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

D. π + kπ .

x ′
x
x ′ 1
x
x
Ta có: y′ =  cot 2 ÷ = 2 cot  cot ÷ = cot  1 + cot 2 ÷
4
4
4 2
4
4

1
x
x
x π
2 x
Mà: y ' = 0 ⇔ cot 1 + cot ÷ ⇔ cot = 0 ⇔ = + kπ ⇔ x = 2π + k 4π , k ∈ ¢
2


Câu 36. Hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là:
1
1
1
1
−
+
A. y ' =
.
B. y ' =
.
sin x
cos x
sin x
cos x
cos x
sin x
cos x
sin x
−
+
C. y ' =
.
D. y ' =
.
sin x
cos x
sin x
cos x

+ 2sin x
.
2 sin x
2 cos x

cos x
sin x
+
sin x
cos x

2
Câu 37. Hàm số y = tan

x
có đạo hàm là:
2

x
2 .
A. y ' =
3 x
cos
2
x
sin
2 .
C. y ' =
3 x
2cos

y ' =  tan ÷'.2 tan =
2 tan =
.
x
x
x
x
2
2
2
2
2
2
3


cos
cos
cos
cos
2
2
2
2
3
Câu 38. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin ( 2 x + 1) .
2
A. sin ( 2 x + 1) cos ( 2 x + 1) .

2

Câu 39. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin 2 + x 2 .
A. cos 2 + x 2 .
1
.cos 2 + x 2 .
2
Hướng dẫn giải:

C.

B.
D.

Trang 15

1
2+ x
x

2

2+ x

2

.cos 2 + x 2 .
.cos 2 + x 2 .


Đạo hàm – ĐS> 11


2

x
2+ x

2

.cos 2 + x 2 .

Câu 40. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin x + 2 x .
A.

cos x + 2
.
2 sin x + 2 x

B.

cos x + 2
.
sin x + 2 x

C.

2
.
2 sin x + 2 x

D.


2
45
C. y ' = 8sin x + cos 5 x.sin10 x
2
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
/
Bước đầu tiên áp dụng ( u + v )

5
B. y ' = 8sin 8 x + cos 5 x.sin10 x
2
45
D. y ' = 8sin 8 x + cos 5 x.sin10 x
2

A. y ' = sin 8 x +

y ' = ( 2sin 2 4 x ) − 3 ( cos3 5 x )
/

/

Tính ( sin 2 4x ) : Áp dụng ( u α ) , với u = sin 4 x, ta được:
/

( sin

2



A. y ' = 6sin 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) .
3

B. y ' = 3sin 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) .

C. y ' = s in 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) .

D. y ' = 6sin 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) .

2

2

2

Trang 16


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Áp dụng ( u α ) , với u = 2 + sin 2 2 x.
/

y ' = 3 ( 2 + sin 2 2 x )
Tính ( sin 2


/

⇒ y ' = 6sin 4 x ( 2 + sin 2 2 x ) .
2

Câu 43. Để tính đạo hàm của hàm số y = sin x.cos x , một học sinh tính theo hai cách sau:
1
(I) y′ = cos 2 x − sin 2 x = cos 2 x
(II) y = sin 2 x ⇒ y ' = cos 2 x
2
Cách nào ĐÚNG?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Không cách nào.
D. Cả hai cách.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Câu 44. Đạo hàm của y = cos x là
cos x
− sin x
sin x
− sin x
×
×
×
×
A.
B.
C.

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

(

2

y ′ = sin 2 + x 2

)′ = (

)

′
2 + x 2 cos 2 + x 2 =

x
2+ x

2

x

2+ x
( x + 1)
2+ x

2

2

2

( cos x − sin x ) .

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Trang 17


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
Áp dụng ( uα ) , với u = sin x + cos x
/

y ' = 3 ( sin x + cos x ) . ( sin x + cos x ) = 3 ( sin x + cos x )
2

/

2

( cos x − sin x ) .

Câu 47. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = sin 3 2 x.cos3 2 x
A. sin 2 4 x.cos 4 x.

B.

3 2

3

3

3

Câu 48. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = ( cos 4 x − sin 4 x )
A. −10 cos 4 2 x.

B. − cos 4 2 x.sin 2 x.

5

C. −10 cos 4 2 x.sin x.

D. −10 cos 4 2 x.sin 2 x.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

5
= ( cos 2 x − sin 2 x ) ( cos 2 x + sin 2 x )  = ( cos 2 x ) . Áp dụng ( u α ) , với u = cos 2 x
5

/

y ' = 5.cos 4 2 x. ( cos 2 x ) = 5.cos 4 2 x. ( − sin 2 x ) . ( 2 x ) = −10 cos 4 2 x.sin 2 x.
/

/

.
y ' = ( cot 2 x ) '
= −2. 2 .
=
sin 2 x 2 cot 2 x
2 cot 2 x
cot 2 x
Câu 50. Xét hàm số f ( x ) = 3 cos 2 x . Chọn đáp án sai:
π 
A. f  ÷ = −1 .
2
π 
C. f '  ÷ = 1 .
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

B. f ' ( x ) =

−2sin 2 x
3. 3 cos 2 2 x

.

D. 3. y 2 . y '+ 2sin 2 x = 0 .

Trang 18


Đạo hàm – ĐS> 11


cos 2 x

)

2

3

(

−2sin 2 x
3

cos 2 x

+ 2sin 2 x = −2sin 2 x + 2sin 2 x = 0

)

2

.

.

Câu 51. Hàm số y = 2 sin x − 2 cos x có đạo hàm là:
1
1
1

cos x
sin x .
Ta có y ′ = 2 (
−2
=
+
2 sin x
2 cos x
sin x
cos x
Câu 52. Đạo hàm của y = cot x là :
−1
−1
1
sin x
.
.
.
.
A.
B.
C.
D. −
2
2
sin x cot x
2sin x cot x
2 cot x
2 cot x
Hướng dẫn giải:

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

( cos 2 x ) ′

2sin 2 x ⇒ f ′  π  = 0
.
 ÷
2
3 3 cos 2 2 x
3 3 cos 2 2 x
2
2
Câu 54. Đạo hàm của hàm số y = sin 2 x.cos x +
là
x
A. y ′ = 2sin 2 x.cos x − sin x.sin 2 2 x − 2 x .
B. y ′ = 2sin 2 x.cos x − sin x.sin 2 2 x − 2 x .
Ta có: y′ =

=−

Trang 19


Đạo hàm – ĐS> 11

– Website chuyên đề thi tài liệu file word
2
C. y ′ = 2sin 4 x.cos x + sin x.sin 2 x −

cot x
tan x
cot x
+2 2 ×
−2 2 ×
A. y ′ = 2
B. y ′ = 2
2
2
cos x
sin x
cos x
sin x
tan x
cot x
×
C. y ′ = 2 2 + 2
D. y ′ = 2 tan x − 2 cot x.
sin x
cos 2 x
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
1
1  2 tan x 2 cot x

− 2 cot x.  − 2 ÷ =
+
Ta có y ′ = 2 tan x.
2
2

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
A.

2

Ta có: y ′ = −2.

B.

− ( tan ( 1 − 2 x ) ) ′
tan 2 ( 1 − 2 x )

−4
sin ( 1 − 2x )

C.

−4 x
sin ( 1 − 2 x )
2

D.

−4
sin ( 1 − 2x )
2

1
−2 × 2


Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1
2
tan x + x. ( 1 + tan 2 x )
Ta có: y ′ =
cos
x
=
=
=
2. x. tan x
2. x.tan x
2. x.tan x
2. x.tan x
π
 π
2π
Câu 59. Đạo hàm của hàm số y = sin  − 2 x ÷+ x − là
4
2
 2
π
π

π
 π
A. y ′ = −2sin ( π − 4 x ) + ×

π
Suy ra: y ′ = −2sin ( π − 4 x ) + ×
2
1

Câu 60. Đạo hàm của hàm số y = 2 + tan  x + ÷ là
x


( x.tan x ) ′

A.

y′ =

x′.tan x + x. ( tan x ) ′

1
1

2 2 + tan  x + ÷
x


tan x + x.

1

1 + tan 2  x + ÷
x

. 1 − 2 ÷.
C. y′ =
1  x 

2 2 + tan  x + ÷
x

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1  ′

1
1


2
+
tan
x
+
1 + tan 2  x + ÷
1 + tan 2  x + ÷

÷

′
x 
1
1 

1
+
sin ( cos x )
2

cos x

π
2 sin x −
2

π
là
2

.

Trang 21


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
y ' = 2 cot ( cos x )

1
.sin x +
sin ( cos x )

cos x

Đạo hàm – ĐS> 11


sin
x

÷
1
cos x
2
y ′ = 2 cot ( cos x ) . ( cot ( cos x ) ) ′ + 
= 2 cot ( cos x )
.sin x +
2
sin ( cos x )
π
π
2 sinx −
2 sin x −
2
2
2
Câu 62. Đạo hàm của hàm số y = x tan x + x là
1
2
.
A. y ' = 2 x tan x +
B.
2 x
3
2
x

.
Ta có: y ′ = ( x ) tanx + ( tanx ) ′ .x + x ⇒ y ' = 2 x tan x +
2
cos x 2 x
2 x
Câu 63. Cho hàm số y =cos2x.sin . Xét hai kết quả sau:
2
2 x
(I) y ′ = −2sin 2 x sin + s inx.cos2x
(II)
2
x 1
y ′ = 2sin 2 x sin 2 + sin x.cos 2 x
2 2
Cách nào đúng?
A. Chỉ (I).
B. Chỉ (II).
C. Không cách nào.
D. Cả hai đều đúng.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
x
x ′
x 1
Ta có: y ′ = ( cos 2 x ) ′ .sin 2 +  sin 2 ÷ .c os2x =-2sin2x.sin 2 + s inx.cos 2 x.
2 
2
2 2
cos x
Câu 64. Hàm số y =

1 + sin 2 x
.
2sin 3 x

D.

1 + cos 2 x
.
2sin 3 x

′ sin 2 x ( cos x ) ′ − ( sin 2 x ) cos x − sin 3 x − 2sin x cos x cos x
Ta có: y ′ =  cos x ÷ =
=
2
2sin 4 x
2sin 4 x
 2sin x 
sin 2 x + 2cos 2 x
1 + cos 2 x
=−
=−
sin 3 x
sin 3 x
Câu 65. Tính đạo hàm của hàm số sau y = 3 x + 2 tan x

5 + 2 tan 2 x
5 − 2 tan 2 x
−5 + 2 tan 2 x
A.
B.


3 tan x(1 + tan 2 x) − (1 + cot 2 2 x)
3 3tan 2 x + cot 2 x
3 tan x(1 + tan 2 x) + (1 + cot 2 2 x)
3 tan 2 x + cot 2 x

B. y ' =
D. y ' =

3 tan x(1 + tan 2 x) − (1 + cot 2 2 x)
2 3 tan 2 x + cot 2 x
3 tan x(1 + tan 2 x) − (1 + cot 2 2 x)
3 tan 2 x + cot 2 x

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
3 tan x(1 + tan 2 x) − (1 + cot 2 2 x)
y'=
3tan 2 x + cot 2 x

π
y = 3 x3 + cos 4 (2 x − )
3
π
π
π
π
3 x 2 + 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − )
3 x 2 − 8cos3 (2 x − )sin(2 x − )
4

π
6 x 2 − 8cos3 (2 x − ) sin(2 x − )
4
4
y'=

D.

3

π 

3 3  x3 + cos 4 (2 x − ) ÷
3 

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
π
π
3 x 2 − 8cos 3 (2 x − )sin(2 x − )
4
4
y'=

π
π
3 x 2 − 8cos3 (2 x − )sin(2 x − )
4
4
y'=


 sin x 
Câu 70. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = 
÷.
 1 + cos x 

A.

sin 2 x

( 1 + cos x )

B.

3

3sin 2 x

( 1 + cos x )

C.

2

2sin 2 x

( 1 + cos x )

2


 1 + cos x 
( 1 + cos x )
( 1 + cos x )
/

/

=

cos x + cos 2 x + sin 2 x

( 1 + cos x )

2

/

=

1
.
1 + cos x

2

1
3sin 2 x
 sin x 
y
'


– Website chuyên đề thi tài liệu file word
2
2
2
B. y ' = cos ( cos x.tan x ) ( sin 2 x tan x + tan x )

2
2
2
C. y ' = cos ( cos x.tan x ) ( − sin 2 x tan x + tan x )

2
2
2
D. y ' = cos ( cos x.tan x ) ( − sin 2 x tan x + 2 tan x )

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
/
Áp dụng ( sin u ) , với u = cos 2 x tan 2 x
y ' = cos ( cos 2 x.tan 2 x ) . ( cos 2 x.tan 2 x ) .
/

Tính ( cos 2 x.tan 2 x ) , bước đầu sử dụng ( u.v ) , sau đó sử dụng ( uα ) .
/

( cos

2

2
Câu 72. Tính đạo hàm của hàm số sau: y = cos 
÷
÷.
 x −1 

A. y ' =
C. y ' =

x

x

(
(

 x +1 
.sin 
÷
÷.
x
−
1


x −1

B. y ' =



(


x +1 
.cos  2.
÷
÷.
x
−
1


x −1

1

)

2


x +1 
.sin  2.
÷
÷.
x
−
1





÷

÷

÷

÷
÷
 x −1 ÷
 x −1 ÷
÷.  x − 1 ÷
÷
x
−
1
x
−
1



  





