Chủ đề 1: ĐƠN ĐIỆU HÀM SỐ PHẦN 1
1

KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa: Cho hàm số y  f ( x) xác định trên K , với K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một
đoạn.
 Hàm số y  f ( x ) đồng biến (tăng) trên K nếu x1 , x2 �K , x1  x2 � f  x1   f  x2  .
TỨC: x TĂNG thì y TĂNG; x GIẢM thì y GIẢM
 Hàm số y  f ( x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu x1 , x2 �K , x1  x2 � f  x1   f  x2  .
 TỨC: x GIẢM thì y TĂNG; x TĂNG thì y GIẢM.
2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .

 x  �0, x �K .
 Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f �
 x  �0, x �K .
 Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì f �
3. Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên khoảng K .

 x   0, x �K thì hàm số đồng biến trên khoảng K .
 Nếu f �
 x   0, x �K thì hàm số nghịch biến trên khoảng K .
 Nếu f �
 x   0, x �K thì hàm số không đổi trên khoảng K .
 Nếu f �
 Chú ý.
 Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y  f ( x) liên tục trên
đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y  f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  và có đạo

 x   0, x �K trên khoảng  a; b  thì hàm số đồng biến trên đoạn  a; b .
hàm f �
 Nếu f �

Cho

y  f  x

+) Nếu
+) Nếu

 a; b 
f '  x   0, x � a; b  suy ra f  x 
f '  x   0, x � a; b  suy ra f  x 
liên tục trên

 a; b 
Nghịch biến trên  a; b 
đồng biến trên

Phương pháp chung:
Đối với hàm đa thức bậc 3 và bậc 4
Bước 1: Tính y’ và giải BPT y’ > 0 hoặc y’ < 0.
Nhập wR1 để giải bất phương trình.
Bước 2: Đối chiếu kết quả chọn đáp án
Phương pháp này cho kết quả nhanh nhất.
Đối với các hàm khác:
Bước 1: Nhập

d
 f ( x) 
dx

x X


�

x

y'



1
0



3
0



�

y

Vậy hàm số đồng biến trên
CASIO: Hàm số

 �; 1 va  3; � , nghịch biến trên  1;3

y  x3  3x 2  9 x  1 đồng biến trên khoảng nào?


 �; 1 va  0;1
D.  �; 1 va  1; �
B.

CASIO
Bước 1: Nhẩm

y '  4 x3  4 x
3

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Bước 2: Nhậpw R122 (Giải bất phương trình bậc ba)
Nhập 4=0=p4=0==
Kết quả : (x< -1; 0< x <1) => Ta chọn đáp án: B

x2  2x  2
Ví dụ 3. Cho hàm số y 
. Hàm số nghịch biến tại
x 1

 0;1 va  1;2 
B.  �;0  va  2; �
CASIO 1: TXĐ : R\  1
A.

C.

R\  1


 0  x  2  Ta chọn A

CASIO 2: THỬ ĐÁP ÁN

d �x 2  2 x  2 �
Bước 1:Nhập
�
�
dx � x  1 �x  X
Bước 2: Thử X =0,5 thuộc đáp án A => Kết quả < 0 (thỏa mãn nghịch biến)
Vậy loại B vì B không chứa 0,5.
Thử X =1, kết quả lỗi MATH ERROR => loại D vì D chứa 1
Thử X = 3; kết quả > 0 (ko thỏa mãn nghịch biến) vậy loại C vì C chứa số 3
Ta chọn A
Ví dụ 4. Cho y 
A.

 0;1

x3  x  2  x đồng biến trên
B.

 1;�

C.

 0;�

D.

dx



x3  x  2  x



x X

Bước 2: Thử X =0,5 thuộc đáp án A => Kết quả MATH ERROR ( ko thỏa mãn)
Vậy loại A; C; D vì cả 3 đáp án đều chứa số 0,5. Ta chọn B
Ví dụ 5. Cho y 

x 3  2 x 2  2 x  4 đồng biến trên

 2; �
CASIO: TXĐ: D   2; �
A.

 �; 2 

Tính nhanh tử số của

B.

C.

 �; �


�
� �2 �

1;
A. �

�

�;
C. �
�

�
 2� �2
va
;

�
� �
�
2 � �2
�

B.

 �; 1 � 1; �
� 2 2�
;
�
2



Ta chọn đáp án A
Ví dụ 7. Cho hàm số y 

x 1
x2  1

 �;0 
C. Đồng biến trên  0;1

điều nào là sai.

 1;�
D. Hàm số nghịch biến trên  2; 1

A. Đồng biến trên

B. Hàm số nghịch biến trên

CASIO:
Bước 1:Nhập

d � x 1 �
�
�
dx � x 2  1 �x X

Bước 2:
Nhậpr � X=-0,1 . Kết quả > 0 Ta loại A

7;2  7



CASIO
Bước 1: Nhập

d � x2 �
�
�
dx �x 2  x  1 �x  X

Bước 2: Nhậpr

�

X= -10, kết quả
x X

Bước 2: Nhậpr -> X=0.01 kết quả > 0 loại A, loại D
X=


5
 0.01 kết quả 0 loại C
6
6

Ta chọn đáp án B
Bình luận:
Ở các ví dụ trên ta dựa vào lý thuyết của hàm đồng biến nghịch biến và sử dụng chức năng tính đạo hàm
của máy tính để thử các đáp án.
3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Cho hàm số y 

x 1
. Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng?
1 x

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  �;1 � 1; � .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng  �;1 � 1; � .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  �;1 và  1; � .
D. Hàm số đồng biến trên các khoảng  �;1 và  1; � .


http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

7


Câu 4. Cho hàm số y 

3x  1
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
4  2 x

A. Hàm số luôn nghịch biến trên �.
B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng  �; 2  và  2; � .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  �;  2  và  2; � .
Câu 5. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên �?
A. h( x)  x 4  4 x 2  4 .

B. g ( x)  x 3  3 x 2  10 x  1 .

4 5 4 3
C. f ( x)   x  x  x .
5
3

D. k ( x)  x3  10 x  cos 2 x .

Câu 6. Hỏi hàm số y 


A. (�; 0) .

B. �.

C. (0; 2) .

D. (2; �) .

Câu 9. Cho hàm số y  ax3  bx 2  cx  d . Hỏi hàm số luôn đồng biến trên � khi nào?
a  b  0, c  0
�
A. �
.
a  0; b 2  3ac �0
�

a  b  0, c  0
�
B. �
.
a  0; b 2  3ac �0
�

a  b  0, c  0
�
C. �
.
2
a




A. Hàm số nghịch biến trên khoảng  3;1 .
B. Hàm số đồng biến trên �.
C. Hàm số đồng biến trên  9; 5  .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng  5; � .
Câu 11. Cho hàm số y  3 x 2  x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng  0;2  .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  �;0  ;  2;3 .
C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  �;0  ;  2;3 .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng  2;3 .
Câu 12. Cho hàm số y 

x
 sin 2 x, x � 0;   . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào?
2

11 �
� 7 � �
0;
và � ;  �.
A. �
�
� 12 � �12
�

�7 11
B. � ;
�12 12



�
�
B. Hàm số đồng biến trên �  k ; ��và nghịch biến trên khoảng
�4
�

� 
�
�;  k �.
�
� 4
�

�
�
C. Hàm số nghịch biến trên �  k ; ��và đồng biến trên khoảng
�4
�

� 
�
�;  k �.
�
� 4
�

D. Hàm số luôn nghịch biến trên �.
Câu 14. Cho các hàm số sau:
9


Câu 15. Cho các hàm số sau:

(I) : y   x3  3 x 2  3 x  1 ;

(II) : y  sin x  2 x ;

(III) : y   x 3  2 ;

(IV) : y 

x2
1 x

Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số?
A. (I), (II).

B. (I), (II) và (III).

C. (I), (II) và (IV).

D. (II), (III).

10

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN


D

D

B

A

B

B

A

A

C

A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn D.
TXĐ: D  �\  1 . Ta có y ' 

2
 0, x �1
(1  x) 2

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( �;1) và (1; �)


Câu 5. Chọn C.
Ta có: f '( x)  4 x 4  4 x 2  1  (2 x 2  1) 2 �0, x ��.
Câu 6. Chọn D.
TXĐ: D  �\  1 . y ' 

x2
�
x2  2 x  8
2
. Giải y '  0 � x  2 x  8  0 � �
2
x  4
( x  1)
�

y ' không xác định khi x  1 . Bảng biến thiên:
––

Hàm số nghịch biến trên các khoảng  4; 1 và  1; 2 
Câu 7. Chọn D.
x 1
�
2
TXĐ: D  �. y '  x  6 x  5  0 � �
x5
�
Trên khoảng  1;5  , y '  0 nên hàm số nghịch biến
Câu 8. Chọn B.
TXĐ: D  �. y '  3x 4  12 x 3  12 x 2  3 x 2 ( x  2) 2 �0 , x ��

�x  0
Giải y '  0 � �
. y ' không xác định khi �
.
x2
�
�x  3
Bảng biến thiên:
02||0||00

Hàm số nghịch biến (�; 0) và (2;3) . Hàm số đồng biến (0; 2)
Câu 12. Chọn A.


�
x    k
�
1
1
12
TXĐ: D  �. y '   sin 2 x . Giải y '  0 � sin 2 x   � �
,  k ��
7
2
2
�
x
 k
� 12
Vì x � 0;   nên có 2 giá trị x 

TXĐ: D  �; y �

Câu 14. Chọn C .
 x 2  2 x  3   x  1  2  0, x ��.
(I): y�
2





�
2
�x  1 �
(II): y �
 � �
 0, x �1
2
�x  1 � ( x  1)

(III): y�


(IV): y�
 3x 2  4  cos x  0, x ��

(V): y�
 4 x3  2 x  2 x(2 x 2  1)

�

�
x2�
1
(IV) y '  �
 0, x �1
�
� �
� 
2
�1  x � � x  1 � (1  x)

14

http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất