30 bài tập - Hình không gian trong các Đề thi (Đề 03) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giac vuông tại A, AC = a , ACB = 60° . Đường
chéo BC ' của mặt bên ( BCC ' B ') tạo với mặt phẳng ( AA ' C ' C ) một góc 30°. Tính thể tích của khối lăng
trụ theo a.
A.

a3 6
2

B.

2 6a 3
3

C.

a3 6
3

D. a 3 6

Câu 2. Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A ' B ' C ' có tất cả các cạnh đều bằng a 2 . Tính thể tích của khối
lăng trụ.
a3 6
A.
2

a3 6
B.
6



a3
6

Câu 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
SB, SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM. Biết mặt phẳng ( AMN ) vuông góc với mặt phẳng ( SBC ) .
a 3 15
A.
32

3a 3 15
B.
32

3a 3 15
C.
16

3a 3 15
D.
48

Câu 5. Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = a 2, SC = a 3 . Thể tích lớn nhất của khối chóp là
A. a 3 6

B.

a3 6
2


vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
A. V = a 3

B. V =

2a 3
3

C. V =

2a 3
3

D. V =

a3
3

Câu 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, ACB = 60° .
Đường thẳng BC ' tạo với ( ACC ' A ') một góc 30°. Tính thể tích V của khối trụ ABC. A ' B ' C ' .


A. V = a 3 6

B. V =

a3 3
3

C. V = 3a 3

3

B. V = a 3 2

C. V =

a3
2

D. V =

a3 2
3

Câu 11. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC . A ' B ' C ' có AB = a , đường thẳng AB ' tạo với mặt phẳng
( BCC ' B ') một góc 30°. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
A. V =

a3 6
4

B. V =

a3 6
12

C. V =

3a 3
4

S.CDMN là
A.

a3
2

B.

a3
3

C.

a3
6

D. a 3

Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, mặt bên là BCC ' B '
là hình vuông, khoảng cách giữa AB ' và CC ' bằng a. Thể tích của khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' là
A.

2a 3
3

B.

2a

3


A.

2 3a 3
3

B. 2 3a 3

3a 3
2

C.

D.

4 3a 3
3

Câu 17. Cho hình lăng trụ có các đường tròn đáy là ( O ) và ( O ') , bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a.
Các điểm A, B lần lượt thuộc các đường tròn đáy ( O ) và ( O ') sao cho AB = 3a . Thể tích của khối tứ
diện ABOO ' là
A.

a3
2

B.

a3
3

Câu 19. Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AD = 2 AB , cạnh A ' C hợp với đáy một góc 45°.
Tính thể tích khối hộp chữ nhật đó biết BD ' = 10a ?
A.

2 5a 3
3

B.

a 3 10
3

C.

2a 3 10
3

D. 2 5a 3

Câu 20. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết
AC = a 2 , A ' C = a 3 . Tính thể tích khối lăng trụ ABC. A ' B ' C ' .
a3
A.
2

a3
B.
6

2a 3

đáy là 30°. Hình chiếu vuông góc của A ' trên mặt ( ABC ) trùng với trung điểm của BC. Thể tích của khối
lăng trụ đã cho là
A.

a3 3
4

B.

a3 3
12

C.

a3 3
8

D.

a3 3
3

Câu 23. Cho tứ diện ABCD. Gọi B ' và C ' lần lượt là trung điểm của AB, AC. Khi đó tỉ số thể tích của
khối tứ diện AB ' C ' D và khối ABCD bằng:
A.

1
4

B.

C.

3a 3
2

D.

3 15a 3
5

Câu 25. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = a , AD = a 3 . Hình chiếu S
lên đáy là trung điểm H cạnh AB; góc tạo bởi SD và đáy là 60°. Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. Đáp án khác

B.

a3 5
5

C.

a 3 13
2

D.

a3
2

Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SAB )


a3 2
D. V =
12

Câu 28. Cho khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi B ', C ' lần lượt là trung điểm của các cạnh AB
và AC. Tính thể tích V của khối tứ diện AB ' C ' D theo a.
a3 3
A. V =
48

a3 2
B. V =
48

a3
C. V =
24

a3 2
D. V =
24

Câu 29. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc SC cắt SB, SC, SD lần
lượt tại B ', C ', D ' . Biết rằng 3SB ' = 2 SB . Gọi V1 ,V2 lần lượt là thể tích hai khối chóp S . A ' B ' C ' D ' và
S.ABCD. Tỉ số
A.

V1 2
=


B.

V
9

C.

V
27

D.

V
3


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án D
→ C ' A là hình chiếu của BC ' lên mặt
Ta có BC ⊥ ( ACC ' A ') 
· ' A = 30° .
phẳng ( ACC ' A ') . Vậy góc  BC ', ( ACC ' A ')  = BC
∆ABC vuông tại A có AB = AC.tan 60° = a 3 .
∆ABC ' vuông tại A có AC ' = AB.cot 30° = 3a .
∆ACC ' vuông tại C có CC ' = AC '2 − AC 2 = 2a 2 .

VABC . A ' B ' C ' = S ABC .CC ' =

1

1
a 2
AC =
2
2

∆SOC vuông tại O có OH là đường cao

→

1
1
1
a
=
+

→
SO
=
.
OH 2 SO 2 OC 2
2


→VS . ABCD

1
1 1
a3


→ SE ⊥ AF và SF =
AH =

1
3a
SE nên ∆SAE cân tại A → AE = AS =
2
2

2
2 3a
a 5
AE = . = a 
→ SH = SA2 − AH 2 =
3
3 2
2

(

1
1
VS . ABC = S ABC .SH = . a 3
3
3

)

2

a2 6
·
.
= SB.SC.sin BSC ≤ SB.SC = a 2.a 3 =
2
2
2
2

→ AH ≤ SA = a .
Gọi H là hình chiếu của A lên mặt ( SBC ) 
Vậy VS . ABC

1
1 a2 6
a3 6
.
= S SBC .SA ≤
.a =
3
3 2
6

Câu 6. Chọn đáp án C
1
1
a3 6
.
VS . ABCD = S ABCD .SA = a 2 .a 6 =
3

Ta có BA ⊥ ( ACC ' A ') 
· ' A = 30° .
phẳng ( ACC ' A ') . Vậy góc  BC ', ( ACC ' A ')  = BC
∆ABC vuông tại A có AB = AC.tan 60° = a 3 .
∆ABC ' vuông tại A có AC ' = AB.cot 30° = 3a .
∆ACC ' vuông tại C có CC ' = AC '2 − AC 2 = 2a 2 .

VABC . A ' B ' C ' = S ABC .CC ' =

1
AB. AC.CC ' = a 3 6 .
2

Câu 9. Chọn đáp án A
VS .EBD SE 2
2
1
1
1
=
= 
→VS . EBD = VS .CBD = .
Ta có: VS . BCD = VS . ABCD = . Mặt khác:
VS .CBD SC 3
3
3
2
2
Câu 10. Chọn đáp án D
→ OM ⊥ BC mà BC ⊥ SO nên

Vậy VS . ABCD = S ABCD .SO = a 2 .
.
=
3
3
2
3

Câu 11. Chọn đáp án A
Gọi M là trung điểm của AB ⇒ AM ⊥ BC .
Vì ABC. A ' B ' C ' là lăng trụ đứng ⇒ BB ' ⊥ ( ABC ) ⇒ BB ' ⊥ AM .
Suy ra AM ⊥ ( BCC ' B ') ⇒ (·AB ', ( BCC ' B ') ) = ·AB ' M = 30° .
Tam giác AB ' M vuông tại M, có sin ·AB ' M =

AM
⇒ AB ' = a 3 .
AB '

Tam giác AA ' B ' vuông tại A ' , có AA ' = AB '2 − A ' B '2 = a 2 .
Thể tích khối lăng trụ ABC . A ' B ' C ' là


VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ∆ABC = a 2.

a 2 3 a3 6
.
=
4
4


Thể tích khối chóp S.ACD:
1
SA. AD.DC a 3
VS . ACD = SA.S ∆ACD =
= .
3
6
3
Thể tích khối chóp S.ABC:
VS . ABC

1
SA. AB. AD 2a 3
= SA.S ∆ABC =
=
.
3
6
3

VS .MNC SM SN 1
1
a3
=
.
= ⇒ VS .MNC = VS . ABC = .
Ta có
VS . ABC
SA SB 4
4

.
VABC . A ' B ' C ' = AA '.S ∆ABC = a 2. a 2 =
2
2
Câu 15. Chọn đáp án A
Vì AB là hình chiếu của SB trên mặt phẳng ( ABCD ) .
·
⇒ (·SB, ( ABCD ) ) = (·SB, AB ) = SBA
= 60° .
·
=
Tam giác SAB vuông tại A, có tan SBA

SA
⇒ SA = tan 60°.a = a 3 .
AB

1
1
a3 3
Thể tích khối chóp S.ABCD là VS . ABCD = SA.S ABCD = a 3.a 2 =
.
3
3
3
Câu 16. Chọn đáp án C
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Vì SA = SB = SC suy ra SI vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) .
·
Và (·SA, ( ABC ) ) = (·SA, IA ) = SAI

3
Trong tam giác vuông A ' AB có A ' B = AB 2 − AA '2 = a 2 .
Trong tam giác vuông A ' BD có BD = A ' D 2 − A ' B 2 = a 2 .
Do đó suy ra tam giác A ' BD vuông cân tại B nên BH = BO ' = a .
1 1 2
a3
V
=
.
a
.
a
=
Vậy OO ' AB
(đvtt)

÷
3 2 
6


Câu 18. Chọn đáp án A
1
1 a3 2 a3 2
Ta có VM . ABC = VABCD = .
.
=
2
2 12
24

2 ⇒
2
⇒

cos 60° = BP = 1
 BP = a


BB ' 2
2
Gọi K = BP ∩ AC ⇒ BK =
2

3
3a
BP =
2
4

2

3a 5
1
  3a 
⇒ BC +  BC ÷ =  ÷ ⇒ BC =
10
2
  4 
2


a
=
⇒ A' H =
2
2
2

a 1 a 3
a3 3
.
⇒ V = A ' H .S ABC = . .
.a =
2 2 2
8
Câu 23. Chọn đáp án A
Ta có

VAB ' C ' D AB ' AC ' 1 1 1
=
.
= . = .
VABCD
AB AC 2 2 4

Câu 24. Chọn đáp án C
Ta có SI ⊥ ( ABCD ) .
1
1
1
1

.
2
3 2 2
2

Câu 25. Chọn đáp án C
SH
·
= 60° ⇒ tan 60° =
= 3.
Ta có SDH
HD
2

a
a 13
a 39
Cạnh HD = 3a +  ÷ =
⇒ SH =
2
2
2
2

1 a 39 2
a 3 13
.
⇒V = .
a 3=
3 2


1 3a a 2 3 a 3 3 .
⇒V = . .
=
3 4
4
16
Câu 28. Chọn đáp án B
Ta có

VAB ' C ' D AB ' AC ' 1
1
=
.
= ⇒ VAB ' C ' D = VABCD
VABCD
AB AC 4
4

Khối tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a thì VABCD =

a3 2
a3 2
.
⇒ VAB ' C ' D =
12
48

Câu 29. Chọn đáp án D
Ta có

)
(
)

⇒ ( P ) : ( x + 1) − az = 0 ⇔ x − az + 1 = 0 .
x = 0
uur

Ta có B ( 0;1;0 ) ⇒ SB = ( 0;1; − a ) ⇒ SB :  y = 1 + t
 z = −at

1 1

2
Cho giao với ( P ) ⇒ a t + 1 = 0 ⇒ B '  0;1 − 2 ; ÷.
a a


(t∈¡ ) .


3

3− 2 = 2


1 1
 a
 S 0;0; 3


2
VS . AC ' D ' = 1 . 2 = 1
 VS . ACD
2 3 3
Câu 30. Chọn đáp án D
Ta có
Mà

SB ' SD ' SI 2
=
=
= .
SB SD SO 3

SC ' CA OI
SC ' 1
SC ' 1
.
.
=1⇒
.2. = 1 ⇒
= .
C ' C AO IS
C 'C 2
SC 2

VS . AB ' D ' 4
=
V
9