Chương 33

PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN ĐỀ 4
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

�
� 2x  y  1
Câu 1. Nghiệm của hệ: �
là:
3x  2 y  2
�

 2  2; 2 2  3 .
C.  2  2;3  2 2  .

 2  2; 2
D.  2  2; 2

A.

B.


2  3 .

2 3 .

Lời giải
Chọn C.

�
�23

A. � ; 

7 �
.
�
23 �

7 �
� 17 7 �
� 17
.
 ; �
.
B. � ; �
C. �
� 23 23 �
� 23 23 �
Lời giải

�17 7 �
.
D. � ; �
�23 23 �

Chọn A.

1  3x

0,3 x  0,33
0,3x  0,33
� 1, 2 x  0, 4
 0, 6  0 � x  0, 7 � y  0, 6 .
0, 2
0, 2

�x  2 y  1
Câu 5. Hệ phương trình: �
có bao nhiêu nghiệm ?
3x  6 y  3
�
A. 0.
B. 1.
C. 2.
Lời giải
Chọn D.
1 2 1
Ta có :  
3 6 3
� Hệ phương trình có vô số nghiệm.

D. Vô số nghiệm.

Trang
1/15


�2 x  y  4
�

Ta có : Thế y  4  2 x vào phương trình y  z  2  2 ta được 2 x  z  2  2
�
�2 x  z  2  2
Giải hệ �
ta được x  1; z  2 � y  2 .
�x  2 z  1  2 2
�x 2  y 2  16
Câu 7. Cho hệ phương trình �
. Để giải hệ phương trình này ta dùng cách
�x  y  8
nào sau đây ?
A. Thay y  8  x vào phương trình thứ nhất.
B. Đặt
S  x  y , P  xy .
C. Trừ vế theo vế.

D. Một phương pháp khác.
Lời giải

Chọn A.
Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút
một ẩn từ phương trình bậc nhất thế vào phương trình bậc hai.
�x  y  9
Câu 8. Hệ phương trình �
có nghiệm là :
�x. y  90
A.  15;6  ,  6;15  .

B.  –15; –6  ,  –6; –15  .


� 2�
� 2�
Lời giải
Chọn D.
Ta có : y  2  1 





2 1 x � 2x 









2 1

2 1



D.  1; 2  .

 


Phương trình có đúng một nghiệm khi D �۹�
Câu 11. Với giá trị nào của m thì hai đường

 d1  :  m 2 –1 x – y  2m  5  0

A. m  2.
giá trị m .

3.
thẳng

sau

trùng

nhau

và  d 2  : 3 x – y  1  0

B. m  2.

C. m  2 hay m  2.

D. Không có

Lời giải
Chọn A.
Ta có : Hai đường thẳng d1 và d 2 trùng nhau khi

m 2  1 1 2m  5

2
�x y  xy  30
A. có 2 nghiệm  2;3 và  1;5  .

B. có 2 nghiệm  2;1 và  3;5  .

C. có 1 nghiệm là  5;6  .

D. có 4 nghiệm  2;3 ,  3; 2  ,  1;5  ,  5;1 .
Lời giải

Chọn D.
Đặt S  x  y, P  xy

S

2

 4 P �0 

�S  P  11
� S  11  S   30 �  S 2  11S  30  0
Hệ phương trình tương đương �
SP

30
�
� S  5; S  6
Khi S  5 thì P  6 suy ra hệ có nghiệm  2;3 ,  3; 2 
Khi S  6 thì P  5 suy ra hệ có nghiệm  1;5  ,  5;1 .

.
A. � ; �
�2 2 �

13 1 �
� 1 13 �
�
.
B. � ;  �.
C. � ; �
�2 2 �
�2 2 �
Lời giải

� 13 1 �
.
D. � ;  �
� 2 2�

Chọn B.
Đặt u  x  y, v  x  y
2u  3v  4
�
� 2  5  2v   3v  4 � v  6 � u  7
Ta có hệ �
u  2v  5
�
�x  y  7
1
13

C. m �1 hoặc m �3.
D. m �1 và m �3.
Lời giải
Chọn D.
2
Ta có : D  m  m  2   3  m  2m  3
Phương trình có nghiệm duy nhất khi D �0 � m �1 và m �3.
�
�mx   m  4  y  2
Câu 18. Cho hệ phương trình : �
. Để hệ này vô nghiệm, điều kiện thích
�m  x  y   1  y
hợp cho tham số m là :
A. m  0
B. m  1 hay m  2.
1
1
C. m  1 hay m  .
D. m   hay
2
2
m  3.
Lời giải
Chọn A.
�
mx   m  4  y  2
�
� D  m  m  1  m  m  4   3m
Ta có : Hệ trở thành �
mx   m  1 y  1

C.  2;1 ,  3;3 .

D. Vô nghiệm.

Lời giải
Chọn C.
2
Ta có : y  2 x  3 � x 2  3x  2 x  3    2 x  3   2 x  3  2 x  3  6  0
�  x 2  5 x  6  0 � x  2; x  3
x  2 � y 1
x  3 � y  3.
�x  y  1
Câu 21. Hệ phương trình � 2
có bao nhiêu nghiệm ?
2
�x  y  5
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn B.
2
Ta có : y  1  x � x 2   1  x   5 � 2 x 2  2 x  4  0 � x  1; x  2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm.
�2 3
�x  y  13
�
Câu 22. Hệ phương trình �
có nghiệm là:


3
�1
 13
2
�
y
1
1
�x
��
� x ,y .
2
2
3
�1  3
 12
�
y
�y

�x  y  10
Câu 23. Hệ phương trình � 2
có nghiệm là:
2
�x  y  58
�x  3
�x  7
�x  3 �x  7
.

Câu 24. Tìm a để hệ phương trình �
vô nghiệm:
�x  ay  1
A. a  1.
Không có a .

B. a  1 hoặc a  1 .

C. a  1.

D.

Lời giải
Chọn C.
2
Ta có : D  a 2  1 , Dx  a 3  1 , Dy  a  a
Hệ phương trình vô nghiệm � D  0 � a  �1
a  1 � Dx  Dy  0 � Hệ phương trình vô số nghiệm.
a  1 � Dx  2 � Hệ phương trình vô nghiệm.
�x  y  z  9
�
�1 1 1
Câu 25. Nghiệm của hệ phương trình : �    1
�x y z
�
�xy  yz  zx  27
A.  1;1;1 .

B.  1; 2;1 .


� S 2  2  5  S   5 � S 2  2S  15  0 � S  5; S  3
Ta có : � 2
�S  2 P  5
S  5 � P  10 (loại)
S  3 � P  2 (nhận)
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X 2  3 X  2  0 � X  1; X  2
Vậy hệ có nghiệm

 2;1 ,  1; 2  .

Trang
6/15


7
�
x  y  xy 
�
�
2
Câu 27. Hệ phương trình �
có nghiệm là :
5
�x 2 y  xy 2 
�
2
A.  3; 2  ;  2;1 .

B.  0;1 ,  1;0  .


2
5
Khi S  1; P  (loại)
2
5
Khi S  ; P  1 thì x, y là nghiệm của phương trình
2
X2 

X2 

5
1
X  1  0 � X  2; X 
2
2

� 1 ��1 �
2; �
;� ; 2�
.
Vậy hệ phương trình có nghiệm �
� 2 ��2 �
�x  y  xy  5
Câu 28. Hệ phương trình � 2
có nghiệm là :
2
�x  y  xy  7
A.  2;3 hoặc  3; 2  .


D.  3; 2  ,  2;3 ,  3; 7  ,  7; 3  .
Lời giải

Chọn D.
Trang
7/15


2
Đặt S  x  y , P  xy  S  4 P �0 

�S  P  11
� S 2  2  11  S   3S  28 � S 2  5S  50  0 � S  5; S  10
Ta có : � 2
�S  2 P  3S  28
Khi S  5 � P  6 thì x, y là nghiệm của phương trình
X 2  5 X  6  0 � X  2; X  3
Khi S  10 � P  21 thì x, y là nghiệm của phương trình
X 2  10 X  21  0 � X  3; X  7
Vậy hệ có nghiệm  3; 2  ,  2;3  ,  3; 7  ,  7; 3  .
�x 3  3 x  8 y
Câu 30. Hệ phương trình � 3
có nghiệm là  x; y  với x �0 và y �0 là :
�y  3 y  8 x


C.  




�
� �2
x  xy  y 2  5  0
�
Khi x  y thì x 3  11x  0 � x  0; x  � 11
2

� 1 � 3
Khi x 2  xy  y 2  5  0 � �x  y � y 2  5  0 (phương trình vô nghiệm)
� 2 � 4





Vậy hệ có nghiệm  11;  11 ;



11; 11 .

2
�x  5 x  2 y
Câu 31. Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình: � 2
�y  5 y  2 x

A.  3;3 .

B.  2; 2  ;  3;1 ;  3;6  .



2
�
�x  y  6
� x 2  y 2  y  x  0 �  x  y   x  y  1  0
Ta có : � 2
y

x

6
�
Khi x  y thì x 2  x  6  0 � x  3; x  2
Khi y  1  x thì x 2  x  7  0 (phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm  3; 3 và  2; 2  .
�x 2  3x  y
Câu 33. Hệ phương trình � 2
có bao nhiêu cặp nghiệm  x; y  ?
�y  3 y  x
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Lời giải
Chọn B.
�x 2  3x  y
� x 2  y 2  4 x  4 yX �  x  y   x  y  1  0
Ta có : � 2
�y  3 y  x

�
4

2
P

m
2
2
2
�x  y  m
� S 2  4 P  16  2  16  m 2   2m 2  16 �0 ۳ m

8.

3 x 2  4 xy  2 y 2  17
�
Câu 35. Cho hệ phương trình : � 2
. Hệ thức biểu diễn x theo y rút ra
2
�y  x  16
từ hệ phương trình là ?
y2
y2
A. x 
hay x 
.
2
2
y 1

5
3
y hay x  y .
13
5
Trang
9/15


�mx  y  3
Câu 36. Cho hệ phương trình : �
.Các giá trị thích hợp của tham số m để
�x  my  2m  1
hệ phương trình có nghiệm nguyên là :
A. m  0, m  –2.
B. m  1, m  2, m  3.
C. m  0, m  2.
D. m  1, m  –3, m  4.
Lời giải
Chọn A.
2
Ta có : D  m 2  1 , Dx  m  1 , Dy  2m  m  3
D
Dx
1
2m  1

,y y 
D m 1
D

�
Lời giải

Chọn C.
�x  2 y  3
11
19
� x   ;y 
Khi x, y �0 thì hệ trở thành �
(loại)
7x  5 y  2
9
9
�
x  2 y  3
�
19
23
� x ,y
Khi x, y  0 thì hệ trở thành �
(loại)
7x  5 y  2
9
9
�
�x  2 y  3
� x  1; y  1 (nhận)
Khi x �0, y  0 thì hệ trở thành �
7x  5y  2
�

2
Đặt S  x  y , P  xy  S  4 P �0 
�P  S  5
Ta có : �
�PS  6
� S , P là nghiệm của phương trình X 2  5 X  6  0 � X  2; X  3
Khi S  2, P  3 (loại)
Khi S  3, P  2 thì x, y là nghiệm phương trình X 2  3 X  2  0 � X  1; X  2
Trang
10/15


Vậy nghiệm của hệ là  1; 2  ,  2;1 .
�
2 x 2  y 2  3xy  12
Câu 39. Cho hệ phương trình : �
. Các cặp nghiệm dương của hệ
2( x  y ) 2  y 2  14
�
phương trình là:
A.  1; 2  ,





2; 2 .

B.  2;1 ,


�
�
�� 2
� xy  2 � y 
Ta có : �
2
2
2
x
2( x  y )  y  14
2 x  y  4 xy  14
�
�
�
x2  1
4
4
2
�
� 2 x  2  6  12 � 2 x  6 x  4  0
� x  �1; x  � 2
�2
x
x 2
�
2

Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là  1; 2  ,



6
6
�
;
�
Khi x  y thì hệ có nghiệm �
�.
� 2
2 �
�
�
Khi x 2  xy  y 2  3  0 � x 2  y 2  3  xy , ta có x 6  y 6  27
�  x 2  y 2   x 4  x 2 y 2  y 4   27 �  3  xy  �
 27 � 3  xy   27 xy  0
 3  xy   3x 2 y 2 �
�
�
2

3

xy  0
�
�� 2
(vô lí).
 xy   9
�
Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
�
2x  y 1  1


�
1
� 0
y 1  x 1 �
�
Trang
11/15


� 1
� 1
�x �2
�x �
x

y
�� 2
� x0
Khi
thì 2 x  x  1  1 � x  1  1  2 x � �
2
�x  1   1  2 x  2
�
4 x  5x  0
�
�
1
1
3

2
�x y  y x  0
�x  y  m  1
� xy  m  1  2m 2  m  3 � xy  2m  3
Ta có: � 2
2
2
�x y  y x  2m  m  3
� S 2  4 P   m  1  4  2m  3  m2  6m  13  0, m đúng.
2

�
2 xy  y 2  4 x  3 y  2  0
�
Câu 43. Hệ phương trình �
có nghiệm là :
2
�xy  3 y  2 x  14 y  16  0
A. x bất kỳ, y  2 ; x  1 , y  3
1
B. x  3, y  2; x  3, y  –1; x  2, y  – .
2
1
C. x  5, y  2; x  1, y  3; x  , y  2.
2
1
D. x  4, y  2; x  3, y  1; x  2, y  .
2
Lời giải
Chọn A.


D. a  2.

Lời giải
Chọn B.
Trang
12/15


2
Đặt S  x  y , P  xy  S  4 P �0 

�S  2a  1
3a 2  6a  2
�P
Ta có : � 2
2
2
�S  2 P  a  2a  3

Hệ phương trình có nghiệm khi S 2  4 P �0 �  2a  1  2  3a 2  6a  2  �0
2

� 5a 2  8a  2 �0
3 �2
1� 3�
1
3
2
P �


B. x 

a
b
,y
.
ab
ab
Lời giải

Chọn B.
3
3
3
3
2
2
Ta có : D   a  b   a  b    a  b   a  b   2ab  a  b 
Dx  2  a 3  b3   2  a 2  b 2   a  b   2ab  a  b 

Dy   a  b  2  a 2  b2   2  a3  b3   2ab  a  b 
D
Dx
1
1
.

;y y 
D ab

Ta có : �
�x  2 y  a  1
�x  2 y  a  1
�y  3a
� 5
2
2
2
10a 2  10a  25 1
1�
1 � 9� 9
�
�5  a � 9a
2
�x  y �

  2a  2a  5   �
�
� 2a 
� ��10
25
5
5�
2 � 2�
� 5 � 25
�
�
�
1
Đẳng thức xảy ra khi a  .

Hệ phương trình có nghiệm khi D �۹�

2
D. m   .
5

1
2

D
Dx 5m  2
m

;y y 
D 2 m  1
D 2m  1
5m  2
2m
2

4 �m .
Thế vào phương trình x  2 y  4 ta được
2m  1 2m  1
5
mx  (m  2) y  5
�
Câu 48. Cho hệ phương trình : �
. Để hệ phương trình có nghiệm âm,
�x  my  2m  3
giá trị cần tìm của tham số m là :


m2  m  2
m2  m  2

2
�
m  1
�
5
�m  m  2  0
��
�  m  1
Hệ phương trình có nghiệm âm khi � 2
m2
2
�2m  3m  5  0
�

�

5
 m  1 .
2

2 x 2  xy  y 2  0
�
Câu 49. Cho hệ phương trình : � 2
. Các cặp nghiệm
2
�x  xy  y  3 x  7 y  3  0

sao


Trường hợp 2: 2x  y thay vào  2  ta được 5 x 2  17 x  3  0 phương trình nay
không có nghiệm nguyên.
Vậy các cặp nghiệm  x; y  sao cho x, y đều là các số nguyên là  1; 1 và

 3; 3 .

Câu 50. Nếu

 x; y 

�x 2  4 xy  y 2  1
là nghiệm của hệ phương trình: �
. Thì xy bằng bao
�y  4 xy  2

nhiêu ?
A. 4.
C. 1.

B. 4.
D. Không tồn tại giá trị của xy .
Lời giải

Chọn D.
2
�
 x  y   1  2 xy

�  x  y    x  y    x  y    x  y   2  0 � �x  y  � �x  y  �  0 không
2� �
2� 2
�
có giá trị của x , y thỏa nên không tồn tại xy .

Trang
15/15