Chương 4

BẤT ĐẲNG THỨC
BẤT PHƯƠNG TRÌNH
CHUYÊN ĐỀ 1
BẤT ĐẲNG THỨC

Câu 1.

Cho bất đẳng thức a  b  a  b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
A. a  b .

Câu 2.

B. ab  0 .

C. ab  0 .
Hướng dẫn giải

D. ab  0 .

Chọn B.
Tính chất của bất đẳng thức.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2  3 x với x  là:
9
A.  .
4

3
B.  .
2

1
x2  1

. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1 .
B. f  x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 .
C. f  x  có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2 .
D. f  x  không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất.

Câu 5.

Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: 0  f  x   1; x  và f  0   1. Vậy f  x  không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất
bằng 1 .
Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b
9
9
A. có giá trị nhỏ nhất là .
B. có giá trị lớn nhất là .
4
4
3
C. có giá trị lớn nhất là .
D. không có giá trị lớn nhất.
2
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Vì a và b là hai số bất kì nên không xác định được giá trị lớn nhất của tích ab .

Tìm mệnh đề đúng?
1 1
A. a  b  ac  bc .
B. a  b   .
a b
C. a  b và c  d  ac  bd .
D. a  b  ac  bc,  c  0  .
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Suy luận nào sau đây đúng?
a  b
a  b
a b
  .
A. 
B. 
 ac  bd .
c d
c  d
c  d
a  b
C. 
 a c  bd .
c  d

a  b  0
D. 
 ac  bd .
c  d  0


1 1
 .
a b

a  b
C. 
 ac  bd . D. Cả A, B, C đều sai.
c  d
Hướng dẫn giải

B. a  b  ac  bc .

Chọn D.
Tính chất của bất đẳng thức.
Câu 12. Mệnh đề nào sau đây sai?
a  b
A. 
ac bd .
c  d
a  b
C. 
 a c  bd .
c  d

a  b
B. 
 ac  bd .
c  d


1 
1 1
 a    .
4 
2 4
2
Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số f  x   2
bằng
x  5x  9
11
4
11
A. .
B. .
C. .
4
11
8
Hướng dẫn giải
Chọn D.

Ta có: P  a  a  

a

2

 a

D.

.
2
1
D. f  x  có giá trị lớn nhất bằng .
4
Hướng dẫn giải

B. f  x  có giá trị lớn nhất bằng

Chọn D.
2

1 1 1 
1 1
1 1

f  x   x  x 2    x 2  x       x    và f    .
4 4 4 
2 4
2 4

2
Câu 16. Bất đẳng thức  m  n   4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây?

A. n  m  1  m  n  1  0 .
2

B. m 2  n 2  2mn .

2

 a   
 0; b  0 .
2 2
4 
2
4
Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy  36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
 x y
D. 
  xy  36 .
 2 
2

A. x  y  2 xy  12 .

B. x  y  2 xy  72 .

C. 4xy  x 2  y 2 .

Hướng dẫn giải
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 3/9


Chọn A.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho hai số không âm x , y . Ta có: x  y  2 xy  2 36  12 .
Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x  y  12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng?
 x y
B. xy  

A  x2  y 2  2 x2 y 2  2

Câu 21. Cho a  b  0 và x 
A. x  y .
C. x  y .

 xy 

2

 4 . Đẳng thức xảy ra x  y  2 .

1 a
1 b
, y
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
2
1 a  a
1  b  b2
B. x  y .
D. Không so sánh được.
Hướng dẫn giải

Chọn B.
1
1
1
1
Ta có:  a 
và  b 

1 1
1 1
1 1
  0   do x  0 và y  0 nên   x  y .
x y
x y
x y
Câu 22. Với a, b, c, d  0 . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai?
Vậy

a
a ac
1 
.
b
b bc
a c
a ac c
 .
C.   
b d
b bd d

A.

B.

a
a ac
1 

2
2
2

  2a  2b   a  b    a  b   0  a  b .
2
 2 
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 4/9


Câu 24. Cho a, b  0 . Chứng minh

a b
  2 . Một học sinh làm như sau:
b a

a b
a 2  b2
 2 
 2 1
b a
ab
II) 1  a 2  b 2  2ab  a 2  b 2  2ab  0  (a  b)2  0 .
I)

III) và  a  b   0 đúng a, b  0 nên

Hướng dẫn giải
Chọn D.
a b
a b
a b c
a b c
Ta có:   2 .  2   I  đúng;    3 3 . .  3   II  đúng;
b a
b a
b c a
b c a
a  b  2 ab 
1 1

1 1
1    a  b   a  b   4  ( III ) đúng.


 2

a b
ab 
a b
a b c
1 1 1
9
  2 I  ,
   3  II  ,
  
Câu 26. Cho các bất đẳng thức:

    33
1 1 1
  III  đúng.
abc   a  b  c       9    
a b c
a b c abc
a b c
a  b  c  3 3 abc

Câu 27. Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:
I) a  b  c  3 3 abc

1 1 1
II)  a  b  c       9
a b c

Bất đẳng thức nào đúng:
A. Chỉ I) và II) đúng.
C. Chỉ I) đúng.

III)  a  b  b  c  c  a   9 .

B. Chỉ I) và III) đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải

Chọn A.
 a  b  c  3 3 abc   I  đúng;

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất




a  b  2 ab ; b  c  2 bc ; c  a  2 ca   a  b  b  c  c  a   8abc   III  sai.

Câu 28. Cho a, b, c  0 . Xét các bất đẳng thức:
 a  b  c 
2
 2
 2

I)  1    1    1    8 .
II)   b  c    c  a    a  b   64 .
 b  c  a 
a
 b
 c

III) a  b  c  abc . Bất đẳng thức nào đúng?
A. Chỉ I) đúng.
B. Chỉ II) đúng.
C. Chỉ I) và II) đúng.
D. Cả ba đều đúng.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
a
a
b
b
c

a a
a
2
ac 2
ab
 c  a  44 2 ;  a  b  44 2 .
b
b
c
c
2
 2
 2

Suy ra:   b  c    c  a    a  b   64   II  đúng.
a
 b
 c

Tương tự:

Ta có: 3 3 abc  a  b  c  abc 

3

 abc 

2

 3  abc  3 3   III  sai.

x y z x yz


3
 x  y  z  3 xyz
x y z
x y z
   3 3 . .  3   III  đúng.
y z x
y z x
Câu 30. Cho a, b  0 và ab  a  b . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a  b  4 .
B. a  b  4 .
C. a  b  4 .
D. a  b  4 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
2
a  b

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: ab 
.
4
2
a  b  a  b 
2
Do đó: ab  a  b 
 a  b   4  a  b   0   a  b  a  b  4  0
4
 a  b  4  0 (vì a  b  0 )  a  b  4 .


2

Hướng dẫn giải
Chọn C.
mn  m  n   m3  n3  m2 n  m3  mn2  n3  0

 m2  m  n   n 2  m  n   0   m  n   m  n   0 .
2

Câu 33. Bất đẳng thức: a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e  ,  a , b , c, d tương đương với bất
đẳng thức nào sau đây?
2

2

2

2

2

2

2

2

2


a 
a 
a

C.  b     c     d     e    0 .
2 
2 
2 
2

2
2
2
2
D.  a  b    a  c    a  d    a  d   0 .
Hướng dẫn giải
Chọn B.
a 2  b2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e 

 a2
  a2
  a2
  a2

   ab  b 2     ac  c 2     ad  d 2     ae  e 2   0
 4
  4
  4
  4


xy  x  y 2

1 1
4
B.  
.
x y x y





D.  x  y   2 x 2  y 2 .
2

Hướng dẫn giải
Chọn B.
1 1
1 1
4
đẳng thức xảy ra  x  y .
 x  y    4   
x y x y
x y
Câu 35. Cho x 2  y 2  1 , gọi S  x  y . Khi đó ta có
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Trang 7/9



A. .
x

B.

2
.
x 1

2

.

2
2
2
x 1 x
,
,
,
, giá trị biểu thức nào là nhỏ nhất?
x x 1 x 1 2
2
2
x
C.
.
D. .
x 1
2

với x 1 là
2 x 1
5
A. 2 .
B. .
C. 2 2 .
D. 3.
2
Hướng dẫn giải
Chọn B.
x
2
x 1
2
1
x 1 2
1 5


 2
.
  .
Ta có: f  x   
2 x 1
2
x 1 2
2 x 1 2 2
5
Vậy hàm số f  x  có giá trị nhỏ nhất bằng .
2

.
2

Chọn A.
2
x2 1 2 1
1
1 1 1
Ta có f  x   0 và  f  x   2   2   2      0  f  x  
.
x
x x
8
2 2
 x 4 8
1
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
.
2 2
1
Câu 40. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   2 x  với x  0 là
x
1
A. 2 .
B.
.
C. 2 .
D. 2 2 .
2
2

2
3
2
Hướng dẫn giải

Câu 41. Với a, b, c  0 . Biểu thức P 
A. 0  P 

3
.
2

Chọn D.
1
1 
 1
Ta có: P  3   a  b  c  


.
bc ca ab
1 1 1
9
1
1
1
9


