 BÀI02
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT,
PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2
I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
1. Phương trình bậc nhất
Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng
sau
ax + b = 0
( 1)
Hệ số

Kết luận
( 1) có nghiệm duy nhất

a¹ 0

a= 0

x =-

b¹ 0
b= 0

b
a

( 1) vô nghiệm
( 1) nghiệm đúng với mọi x

Khi a¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn.


b
c
,
x1x2 = .
a
a
Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các
nghiệm của phương trình
x1 + x2 = -

x2 - Sx + P = 0.
II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc
bậc hai.
Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó.

1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định
nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt
đối.
Ví dụ 1. Giải phương trình x - 3 = 2x +1. ( 3)
Giải
Cách 1
a) Nếu x ³ 3 thì phương trình ( 3) trở thành x - 3 = 2x +1. Từ đó x = - 4.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại.
2

( 4) Þ 2x - 3 = x2 - 4x + 4
Þ x2 - 6x + 7 = 0.
Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3+ 2 và x = 3- 2. Cả hai giá trị này
đều thỏa mãn điều kiện của phương trình ( 4) , nhưng khi thay vào phương
trình ( 4) thì giá trị x = 3- 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị
x = 3+ 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng 2 +1 ).
Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình ( 4) là x = 3+ 2.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 4) x = 3m+ 6 vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2.
C. m= ±2.
D. m= - 2.
Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m= 0
vô nghiệm.
A. mÎ Æ.
B. m= { 0} .
C. mÎ ¡ +.
D. mÎ ¡ .
m
Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số
để phương trình
2
2
m
5
m
+

y
=
m
+
1
x
+
3
m
x
+
m
y
=
m
(
)
( +1) x2 +12x + 2 . Tìm
Câu 5. Cho hai hàm số
và
tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau.
A. m= 2.
B. m= - 2.
C. m= ±2.
D. m= 1.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( 2m- 4) x = m- 2 có nghiệm duy nhất.
A. m= - 1.
B. m= 2.
C. m¹ - 1.

Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 1) x = m- 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ .
2

A. m= 1.
B. m= ±1.
C. m= - 1.
D. m= 0.
2
Câu 12. Cho phương trình m x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của
tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 2.
B. m¹ - 2.
C. m¹ - 2 và m¹ 2.
D. mÎ ¡ .
2
2
Câu 13. Cho phương trình ( m – 3m+ 2) x + m + 4m+ 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị
thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc
¡.
A. m= - 2.
B. m= - 5.
C. m= 1.
D. Không tồn tại.
2
2
Câu 14. Cho phương trình ( m - 2m) x = m - 3m+ 2. Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm.
A. m= 0.
B. m= 2.

ìï a ¹ 0
.
C. a = b = c = 0.
D. ïí
ïïî D = 0

Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau?
A. x2 + 4x + 2 = 0.
B. 2x2 - 5x - 7 = 0.
C. - 3x2 + 5x - 2 = 0.
D. x3 - 1= 0.
2
Câu 18. Nghiệm của phương trình x - 7x +12 = 0 có thể xem là hoành độ giao
điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y = x2 và y = - 7x +12.
B. y = x2 và y = - 7x - 12.
C. y = x2 và y = 7x +12.

D. y = x2 và y = 7x - 12.

Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 10;10]
để phương trình x2 - x + m= 0 vô nghiệm?
A. 9.
B. 10.
C. 20.
D. 21.
2
Câu 20. Phương trình ( m+1) x - 2mx + m- 2 = 0 vô nghiệm khi:
A. m£ - 2.
B. m
C. m= 0; m= - 1.
D. m= 1.
2
Câu 25. Phương trình ( m+1) x – 6( m+1) x + 2m+ 3 = 0 có nghiệm kép khi:
A. m= 0.

A. m= - 1.

B. m= - 1; m= -

6
6
C. m= - .
7
7

6
D. m= .
7

2
Câu 26. Phương trình 2( x - 1) = x( mx +1) có nghiệm duy nhất khi:

17
17
.
B. m= 2.
C. m= 2; m= .
D. m= - 1.
8


2
để phương trình mx - 2( m+ 2) x + m- 1= 0 có hai nghiệm phân biệt.
A. 5.
B. 6.
C. 9.
D. 10.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2
2
Câu 30. Phương trình ( m + 2) x +( m- 2) x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi:

A. 0 < m< 2.
B. m> 2.
C. mÎ ¡ .
D. m£ 2.
Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc
2
với parabol ( P ) : y = ( m– 1) x + 2mx + 3m– 1.
A. m= 1.
B. m= - 1.
C. m= 0.
D. m= 2.
2
Câu 32. Phương trình x + m= 0 có nghiệm khi:
A. m> 0.
B. m< 0.


5
5
5
5
.
B. m£ - .
C. m= - .
D. m= .
4
4
4
4
Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để
A. m³ -

phương trình mx2 - mx +1= 0 có nghiệm.
A. 17.
B. 18.
C. 20.
D. 21.
2
Câu 37. Biết rằng phương trình x - 4x + m+1= 0 có một nghiệm bằng 3 .
Nghiệm còn lại của phương trình bằng:
A. - 1.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
3x2 - ( m+ 2) x + m- 1= 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại.

B. m¹ 0.

C. m¹

3
.
4

D. m¹ -

3
.
4

Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 41. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
khi và chỉ khi:
ìï D > 0
ìï D ³ 0
ìï D > 0
ìï D > 0
.
.
.
.
A. ïí
B. ïí
C. ïí
D. ïí

ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïì D > 0
ïï
ï
.
.
A. í
B. í P > 0.
C. ïí P > 0.
D. ïí
ïïî P > 0
ïï
ïï
ïïî S > 0
ïïî S > 0
ïïî S < 0
ïì D > 0
.
A. ïí
ïïî P > 0

2
Câu 44. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ
khi:
ìï D > 0
ïì D > 0
.
.
A. ïí

A. mÎ ç
C. mÎ ( 0;2) .
D. mÎ ç
ç
ç
ç
÷
÷
÷.
ç
ç
ç
è 2 ø
è 2 2ø
è 2ø
Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn
[- 2;6] để phương trình x2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng
các phần tử trong S bằng:
A. - 3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
m
Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số
để phương trình
x2 - 2( m+1) x + m2 - 1= 0 có hai nghiệm dương phân biệt là:
æ1
ö
- ;+¥ ÷
÷

C. P = m+ 9.
D. P = - 5m+ 9.
2
Câu 53. Giả sử phương trình 2x - 4ax - 1= 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị
của biểu thức T = x1 - x2 .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


2
2
4a2 + 2
. B. T = 4a2 + 2.
C. T = a + 8 .
D. T = a + 8 .
3
2
4
2
Câu 54. Cho phương trình x + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các
nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng
A. 4q+1.
B. 4q- 1.
C. - 4q+1.
D. q+1.

A. T =

2
2

C. Pmax = .
D. Pmax = .
2
4
4
x1, x2
Câu
58.
Gọi
là
hai
nghiệm
của
phương
trình
2
2
x - 2( m- 1) x + 2m - 3m+1= 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của
biểu thức P = x1 + x2 + x1x2 .
9
9
1
A. Pmax = .
B. Pmax = 1.
C. Pmax = .
D. Pmax = .
8
16
4
Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + m- 1= 0 ( m là

Câu 61. Nếu m¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 thì
tổng m+ n bằng:
1
1
A. - .
B. - 1.
C. .
D. 1.
2
2
Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x2 + px + q = 0 là lập phương các
nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng?
3

A. p+ q = m3.

B. p = m3 + 3mn.

C. p = m3 - 3mn.

æ
mö
p
÷
D. ç
= .
÷
ç
÷
ç

B. S = 0.

C. S =

- 1+ 5
.
2

D. S = 2.

Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI
3
3x
=
là:
x- 1 x- 1
ì 3ü
C. S = ïí ïý.
D. S = ¡ \ {1} .
ïîï 2ïþ
ï

Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2x +
ì 3ü
A. S = ïí 1; ïý.
ïîï 2ïþ
ï

B. S = {1} .

=
Câu 69. Gọi x0 là nghiệm của phương trình 1.
x - 2 x + 3 ( 2- x) ( x + 3)
Mệnh đề nào sau đây đúng?
]
A. x0 Î ( - 5;- 3) . B. x0 Î [- 3;- 1.
C. x0 Î ( - 1;4) .
D. x0 Î [ 4;+¥ ) .
Câu 68. Phương trình

Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình

( m2 +1) x x +1

1

= 1 trong trường hợp

m¹ 0 là:
ïì m+1ïü
.
A. S = í
2 ý
ïï
îïï m þ

B. S = Æ.

C. S = ¡ .


– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 73. Phương trình
A. m¹

2mx - 1
= 3 có nghiệm duy nhất khi:
x +1

3
.
2

B. m¹ 0.

3
1
3
.
D. m¹ và m¹ .
2
2
2
Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 3;5]
C. m¹ 0 và m¹

x- m x- 2
=
có nghiệm. Tổng các phần tử trong tập S bằng:

C. S = {1} .

D. S = { 0} .

Câu 77. Phương trình 2x - 4 - 2x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. Vô số.
2
x
1
=
x
3
Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình
là:
ìï 4ü
ì
ü
4
A. S = í ïý.
B. S = Æ.
C. S = ïí - 2; ïý.
D. S = { - 2} .
ïîï 3ïþ
ï
3ïþ
ï
ï

ïîï 4 2ïþ
ï
ï
ï
ï
îï 2 4þ
îï 4 2þ
x
+
2
=
2
x
2
Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình
bằng:
A.

1
.
2

B.

2
.
3

C. 6.


3
D. .
.
2
2
2
Câu 86. Phương trình ( x +1) - 3 x +1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm?
A. 6.

B.

5
.
2

C.

A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 4.
Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình 4x( x - 1) = 2x - 1 +1 bằng:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. - 2.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất



thuc on [- 5;5]
phng trỡnh mx + 2x - 1 = x - 1 cú ỳng hai nghim phõn bit?
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Cõu 91. Tp nghim S ca phng trỡnh 2x - 3 = x - 3 l:
A. S = { 6;2} .
B. S = { 2} .
C. S = { 6} .
D. S = ặ.
Cõu 92. Tp nghim S ca phng trỡnh
A. S = { 0;2} .

B. S = { 2} .

x2 - 4 = x - 2 l:
C. S = { 0} .
D. S = ặ.

Cõu 93. Tng cỏc nghim ca phng trỡnh ( x - 2) 2x + 7 = x2 - 4 bng:
A. 0.
B. 1.
C. 2.
D. 3.
x2 - 4x - 2
= x - 2 cú tt c bao nhiờu nghim?
Cõu 94. Phng trỡnh
x- 2
A. 1.

ổ 1ử
ỗ
x + 2ữ
- 2mỗ
x+ ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ+1= 0 cú nghim.
ỗ
ỗ
ố
ố
x ứ
xứ
ổ 3 3ử
ộ3
ử
.
.
ữ
ữ
A. mẻ ỗ
B. mẻ ờ ;+Ơ ữ
ỗ- ; ữ
ữ
ữ
ỗ

4
x2 + 2 - 4ỗ
x- ữ
ữ
ỗ
ữ+ m- 1= 0 cú ỳng hai nghim ln hn 1.
ỗ
ố xứ
x
A. m

A. mÎ ( ¥ ;- 3] È [1;+¥ ) .
C. mÎ [1;+¥ ) .

ö
÷
.
÷
÷
ø

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình
( m2 - 4) x = 3m+ 6 vô nghiệm.
A. m= 1.

B. m= 2.

C. m= ±2.
ìï m2 - 4 = 0
Û
Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi ïí
ïïî 3m+ 6 ¹ 0

D. m= - 2.
ïíïì m= ±2 Û m= 2 .
ïîï m¹ - 2

Chọn B.

Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi ïí 2
ïï m - 2m¹ 0
ïï m¹ 0
î
ïï
ïïî m¹ 2
Chọn C.
2

Câu 4. Cho phương trình ( m+1) x +1= ( 7m- 5) x + m . Tìm tất cả các giá trị thực
của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm.
A. m= 1.
B. m= 2; m= 3.
C. m= 2.
D. m= 3.
2
Lời giải. Phương trình viết lại ( m - 5m+ 6) x = m- 1 .

ìï ém= 2
ïê
m= 2
ïíï êm= 3 Û é
ê
.
êm= 3 Chọn B.
ïï ë
ë
ïïî m¹ 1
2
2

Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m- 4 ¹ 0 Û m¹ 2 .
Chọn D.
Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để
2
phương trình ( m - 9) x = 3m( m- 3) có nghiệm duy nhất ?

A. 2.
B. 19.
C. 20.
D. 21.
Lời giải. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2 - 9 ¹ 0 Û m¹ ±3
mÎ - 10;10]
¾¾[m¾
¾® có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.
΢
Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

[- 5;10] để phương trình ( m+1) x = ( 3m2 - 1) x + m- 1 có nghiệm duy nhất. Tổng

các phần tử trong S bằng:
A. 15.
B. 16.

C. 39.
Lời giải. Phương trình viết lại ( 3m - m- 2) x = 1- m .

D. 40.

2


ìï m¹ 0
2
Lời giải. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m + m¹ 0 Û ïí
.
ïïî m¹ - 1
Khi đó, nghiệm của phương trình là x =
Yêu cầu bài toán Û

C. m¹ - 1.

( *)

1
.
m

1
= 1 Û m= 1 (thỏa mãn ( *) ). Chọn D.
m

2
Câu 10. Cho hai hàm số y = ( m+1) x - 2 và y = ( 3m+ 7) x + m . Tìm tất cả các
giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau.
A. m¹ - 2.
B. m¹ - 3.
C. m¹ - 2; m¹ 3.
D. m= - 2; m= 3.
Lời giải. Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
2


C. m= 1.
D. m= - .
3
Lời giải. Đồ thị hai hàm số trùng nhau khi và chỉ khi phương trình
( m+1) x +1= ( 3m2 - 1) x + m có vô số nghiệm

Û ( 3m2 - m- 2) x = 1- m có vô số nghiệm
ìï 3m2 - m- 2 = 0
Û ïí
Û m= 1. Chọn C.
ïïî 1- m= 0
Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 16. Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


ïì a ¹ 0
ïì a = 0
.
B. ïí
hoặc ïí
ïïî D = 0
ïïî b ¹ 0
ïì a ¹ 0
.
C. a = b = c = 0.
D. ïí
ïïî D = 0
Lời giải.  Với a= 0 . Phương trình trở thành bx = - c . Khi đó, phương trình có

đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x2 và
y = 7x - 12 . Chọn D.
Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 10;10]
để phương trình x2 - x + m= 0 vô nghiệm?
A. 9.
B. 10.
C. 20.
Lời giải. Ta có D = 1- 4m .
Phương trình vô nghiệm khi D < 0 Û 1- 4m< 0 Û m>

D. 21.
1
4

ïì mÎ ¢
¾¾
® mÎ {1;2;3;...;10} ¾¾
® Có 10 giá trị thỏa mãn. Chọn B.
Do ïí
ïï mÎ [- 10;10]
î
2
Câu 20. Phương trình ( m+1) x - 2mx + m- 2 = 0 vô nghiệm khi:
A. m£ - 2.
B. m 2.
D. m³ 2.
Lời giải.  Với m+1= 0 Û m= - 1.
3
Khi đó phương trình trở thành 2x - 3 = 0 Û x = .

1
2
. Ta cú D Â= ( - 4) - ( 2k - 1) .6 = - 12k + 22 .
2

11
.
6
Do ú, s nguyờn k nh nht tha món yờu cu bi toỏn l k = 2 . Chn C.
2
Cõu 22. Phng trỡnh ( m 2) x + 2x 1= 0 cú nghim kộp khi:
A. m= 1; m= 2. B. m= 1.
C. m= 2.
D. m= - 1.
Li
gii.
Phng
trỡnh
ó
cho
cú
nghim
kộp
khi
ỡùù m- 2 ạ 0
ỡùù mạ 2
ớ
m= 1 .
ớ
ùợù D Â= m- 1= 0 ùợù m= 1

2
2
Vi mạ 0 . Ta cú D Â= ( - 2) - m( 6- 3m) = 3m2 - 6m+ 4 = 3( m- 1) +1> 0

Khi ú, phng trỡnh ó cho luụn cú hai nghim phõn bit nờn mạ 0 khụng
tha.
Chn B.
2
Cõu 24. Phng trỡnh mx 2( m+1) x + m+1= 0 cú nghim duy nht khi:
A. m= 0.
B. m= - 1.
C. m= 0; m= - 1.
D. m= 1.
1
Li gii. Vi m= 0 . Khi ú, phng trỡnh tr thnh - 2x +1= 0 x = . Do ú,
2
m= 0 l mt giỏ tr cn tỡm.
2

ự
Vi mạ 0 . Ta cú D Â= ộ
ở- ( m+1) ỷ - m( m+1) = m+1.
Khi ú, phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht khi D Â= 0 m+1= 0 m= - 1
.
Chn C.
2
Cõu 25. Phng trỡnh ( m+1) x 6( m+1) x + 2m+ 3 = 0 cú nghim kộp khi:
6
6
6

Cõu 26. Phng trỡnh 2( x - 1) = x( mx +1) cú nghim duy nht khi:

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


A. m=

17
.
8

C. m= 2; m=

B. m= 2.

17
.
8

D. m= - 1.

2
Li gii. Phng trỡnh vit li ( 2- m) x - x - 2 = 0 .
Vi 2- m= 0 m= 2 . Khi ú, phng trỡnh tr thnh - x - 2 = 0 x = - 2 . Do
ú, m= 2 l mt giỏ tr cn tỡm.
2

Vi 2- mạ 0 mạ 2 . Ta cú D = ( - 1) - 4( 2- m) .( - 2) = - 8m+17 .
Khi


khi

tr thc ca tham s m phng
duy nht. Tng ca cỏc phn t

9
.
2
3
Li gii. Vi m= 2 , phng trỡnh tr thnh - 2x - 3 = 0 x = - . Do ú m= 2
2
l mt giỏ tr cn tỡm.
Vi mạ 2 , phng trỡnh ó cho l phng trỡnh bc hai cú D Â= 2m2 - 5m+ 3 .
3
phng trỡnh cú nghim duy nht D Â= 0 m= hoc m= 1.
2
ỡ 3 ỹ
3
9
đ tng cỏc phn t trong S bng 1+ + 2 = . Chn D.
Vy S = ùớ 1; ; 2ùý ắắ
2
2
ùù
ợùù 2 ỵ
2
Cõu 28. Phng trỡnh ( m- 1) x + 6x - 1= 0 cú hai nghim phõn bit khi:
A. m>- 8.
Li gii.
ùỡù m- 1ạ 0

; mạ 1.
4
phõn bit khi

D. m>-

nghim

ùỡ mạ 1
ùớ
. Chn C.
ùùợ m>- 8
Cõu 29. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s thc m thuc on [- 5;5]
2
phng trỡnh mx - 2( m+ 2) x + m- 1= 0 cú hai nghim phõn bit.
A. 5.
B. 6.
C. 9.
D. 10.
ỡùù mạ 0

Li gii. Phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit khi ớ
ùợù D Â> 0

ùớỡù mạ 0
ùợù 5m+ 4 > 0

ỡù mạ 0
ù
ùỡ mẻ Â

vi parabol ( P ) : y = ( m 1) x + 2mx + 3m 1.
A. m= 1.
B. m= - 1.
C. m= 0.
D. m= 2.
2
Li gii. Phng trỡnh honh giao im ( m- 1) x + 2mx + 3m- 1= 2x + m

( m- 1) x2 + 2( m- 1) x + 2m- 1= 0.

( *)

d tip xỳc vi ( P ) khi v ch khi phng trỡnh ( *) cú nghim kộp
ùỡù mạ 1
ù
m= 0 m= 0. Chn C.
ớù ộ
ùù ờ
ờ
ùùợ ởm= 1
2
Cõu 32. Phng trỡnh x + m= 0 cú nghim khi:
A. m> 0.
B. m< 0.
C. mÊ 0.
D. m 0.
2
Li gii. Phng trỡnh tng ng vi x = - m .
Do v trỏi ca phng trỡnh khụng õm nờn phng trỡnh cú nghim khi v
ch khi - m 0 mÊ 0. Chn C.

7
7
7
B. m- .
D. m - .
.
2
2
2
2
Li gii. Phng trỡnh honh giao im - x2 - 2x + 3 = x2 - m
2x2 + 2x - m- 3 = 0 . ( *)
A. m= -

hai th hm s cú im chung khi v ch khi phng trỡnh ( *) cú nghim
7
. Chn D.
2
2
Cõu 35. Phng trỡnh ( m- 1) x + 3x - 1= 0 cú nghim khi:
D / = 1- 2( - m- 3) 0 m -

5
D. m= .
4
1
Li gii. ã Vi m= 1, phng trỡnh tr thnh 3x - 1= 0 x = .
3
Do ú m= 1 tha món.

4

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


Cõu 36. Cú bao nhiờu giỏ tr nguyờn ca tham s m thuc on [- 10;10]
phng trỡnh mx2 - mx +1= 0 cú nghim.
A. 17.
B. 18.
C. 20.
D. 21.
Li gii. Nu m= 0 thỡ phng trỡnh tr thnh 1= 0 : vụ nghim.
m=
/ 0,
Khi
phng trỡnh ó cho cú nghim khi v ch khi
ộmÊ 0
D = m2 - 4m 0 ờ
ờm 4
ở
ộm< 0
/ 0, ta c ờ
Kt hp iu kin m=
ờm 4
ở
mẻ Â , mẻ [- 10;10]
ắắ ắ ắ ắắ
đ mẻ { - 10;- 9;- 8;...;- 1} ẩ { 4;5;6;...;10} .
Vy cú tt c 17 giỏ tr nguyờn m tha món bi toỏn. Chn A.
Cõu 37. Bit rng phng trỡnh x2 - 4x + m+1= 0 cú mt nghim bng 3 .

2
m2 - 8m+16 > 0 ( m- 4) > 0 m=
/ 4. ( *)
m- 1
m+ 2
ùỡù
; x1 + x2 =
ù x1 ìx2 =
3
3
Theo inh lớ Viet, ta cú ớ
ùù
ùợ x1 = 2x2

ỡù
ùù x1 = 2( m+ 2) , x2 = 1( m+ 2)
ù
9
9
ớù
ùù
m- 1
ùù x1 ìx2 =
3
ùợ

ộ
5
ờm=
2

ữ + 4 > 0, " mẻ Ă .
ỗ
ố
2ứ
ỡù
ỡù
ùù x1 = m+1, x2 = m+1
ùù x ìx = 3m- 5; x + x = 2( m+1)
ù
2
6
1
2
ùớ
Theo inh lớ Viet, ta cú ớ 1 2
3
3
ùù
ùù
3m- 5
ùùợ x1 = 3x2
ùù x1 ìx2 =
3
ợù
2
ộm= 3
( m+1)
3m- 5
ắắ
đ

2
Lời giải. Ta có ( x - 1) ( x - 4mx - 4) = 0 Û ê
êg( x) = x2 - 4mx - 4 = 0 ( *) .
ê
ë
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( *) có hai nghiệm
ìï D ¢= 4m2 + 4 > 0
3
Û
Û m=
/ - . Chọn D.
phân biệt khác 1 ïí
ïï g( 1) = 1- 4m- 4 =
4
/
0
î
Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2
Câu 41. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
khi và chỉ khi:
ìï D ³ 0
ïì D > 0
ïì D > 0
ïì D > 0
.
.
.
.
A. ïí

ïïî S < 0

Lời giải. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 .
Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm
ïì x1 + x2 < 0
ïì S < 0
âm nên ïí
hay ïí
. Chọn C.
ïïî x1x2 > 0
ïïî P > 0
2
Câu 43. Phương trình ax + bx + c = 0 ( a ¹ 0) có hai nghiệm dương phân biệt khi
và chỉ khi:
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïìï D > 0
ïì D > 0
ïï
ï
.
.
A. í
B. í P > 0.
C. ïí P > 0.
D. ïí
ïïî P > 0
ïï
ïï
ïïî S > 0

Khi ú, gi hai nghim ca phng trỡnh l x1 v x2 . Do x1 v x2 l hai nghim
trỏi du nờn x1x2 < 0 hay P < 0 .
c
Mt khỏc, P < 0 < 0 ị ac < 0 ị D = b2 - 4ac > 0 . Do ú, phng trỡnh cú hai
a
nghim trỏi du khi v ch khi P < 0 . Chn C.
Cõu 45. Phng trỡnh x2 - mx +1= 0 cú hai nghim õm phõn bit khi:
A. m 2.
C. m - 2.
D. mạ 0.
2
ùỡù D > 0 ùỡù m - 4 > 0
ù
ù
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghim õm phõn bit khi ùớ S < 0 ùớ m< 0
ùù
ù
ùùợ P > 0 ùùùợ 1> 0
ỡù ộm 2 m
ổ1 ử
ổ 1 1ử
ổ 1ử
- ;0ữ
. B. mẻ ỗ
- ; ữ
.
0; ữ
ữ
ữ
ữ
A. mẻ ỗ
C. mẻ ( 0;2) .
D. mẻ ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ỗ
ố 2 ứ
ố 2 2ứ
ố 2ứ
ỡù mạ 0
ùù
ùỡù a ạ 0
ùù 1- 4m2 > 0

[- 2;6] phng trỡnh x2 + 4mx + m2 = 0 cú hai nghim dng phõn bit. Tng
cỏc phn t trong S bng:
A. - 3.
B. 2.
C. 18.
D. 21.
ỡù D Â> 0 ỡù 3m2 > 0
ùù
ùù
Li gii. Phng trỡnh cú hai nghim dng phõn bit khi ùớ S > 0 ùớ - 4m> 0
ùù
ùù
ùùợ P > 0
ùùợ m2 > 0

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht


ùỡ mạ 0
mẻ [- 2;6]
ùớ
m< 0 ắắ
ắắ
đ S = { - 2;- 1} . Do ú, tng cỏc phn t trong S bng
mẻ Â
ùùợ m< 0
- 3.
Chn A.
Cõu 49. Tp hp tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m phng trỡnh
x2 - 2( m+1) x + m2 - 1= 0 cú hai nghim dng phõn bit l:

A. m> 1.
B. m< 1.
C. m 1.
D. mÊ 1.
ỡù m- 1ạ 0
ùỡù a ạ 0 ùù
ớ
Li gii. Phng trỡnh ó cho cú hai nghim trỏi du khi ớ
ùùợ P < 0 ùù - 1 < 0
ợù m- 1
m- 1> 0 m> 1 . Chn A.
Vn 4. BIU THC I XNG GIA CC NGHIM
CA PHNG TRèNH BC HAI
2
2
Cõu 51. Gi s phng trỡnh x - ( 2m+1) x + m + 2 = 0 ( m l tham s) cú hai

nghim l x1, x2 . Tớnh giỏ tr biu thc P = 3x1x2 - 5( x1 + x2 ) theo m.
A. P = 3m2 - 10m+ 6.
C. P = 3m2 - 10m+1.

B. P = 3m2 +10m- 5.
D. P = 3m2 +10m+1.
ỡù x1x2 = m2 + 2
Li gii. Theo nh lý Viet, ta cú ùớ
.
ùù x1 + x2 = 2m+1
ợ

2

x
.
x
(
)
(
)
Li gii. Ta cú
1
2
2
1
1
1
2
2
2 1
2

= x12 + x22 - x1.x2 (x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) - 2x1.x2 - x1.x2 ( x1 + x2 ) .
ùỡ x1 + x2 = 3
.
Theo nh lý Viet, ta cú ùớ
ùùợ x1.x2 = - m
2
Thay vo P , ta c P = 3 - 2(- m) - ( - m) .3 = 5m+ 9. Chn B.

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht




Ta cú T = x1 - x2 T 2 = ( x1 - x2 ) = ( x1 + x2 ) - 4x1x2.

ổ 1ữ
ử
2
2
= 4a2 + 2 ị T = 4a2 + 2 > 0. Chn B.
T ( 1) v ( 2) suy ra T = ( 2a) - 4.ỗ
ỗ- ữ
ữ
ỗ
ố 2ứ
Cõu 54. Cho phng trỡnh x2 + px + q = 0 trong ú p > 0, q > 0. Nu hiu cỏc
nghim ca phng trỡnh bng 1. Khi ú p bng
A. 4q+1.
B. 4q- 1.
C. - 4q+1.
D. q+1.
Li gii. Gi s x1, x2 l hai nghim phõn bit ca phng trỡnh x2 + px + q = 0.
ỡù x1 + x2 = - p < 0
( 1)
Theo h thc Viet, ta cú ùớ
(vỡ p, q> 0 ).
ùùợ x1x2 = q > 0
2
2
T gi thit, ta cú x1 - x2 = 1 ( x1 - x2 ) = 1 ( x1 + x2 ) - 4x1x2 = 1. ( 2)
T ( 1) , ( 2) suy ra p2 - 4q = 1 p2 = 4q+1 p = 4q+1 > 0. Chn A.
2

ùù x1x2 = m2 +1
ợ
x1x2
m2 +1 2m- 1
5
5
=
=
+
ắắ
đ 4P = 2m- 1+
.
Khi ú P =
x1 + x2 2m+1
4
4( 2m+1)
2m+1
3
5
nờn 2m+1 .
4
2
P ẻ Â thỡ ta phi cú ( 2m+1) l c ca 5 , suy ra 2m+1= 5 m= 2 .
Th li vi m= 2 , ta c P = 1: tha món. Chn D.
2
2
Cõu 56. Gi x1, x2 l hai nghim ca phng trỡnh x - 2( m+1) x + m + 2 = 0 (
Do m

m l tham s). Tỡm m biu thc P = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6 t giỏ tr nh nht.


Khi đó P = x1x2 - 2( x1 + x2 ) - 6 = m2 + 2- 2( 2m+ 2) - 6 = ( m- 2) - 12 ³ - 12.
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m= 2 : thỏa ( *) . Chọn C.
Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 ( m là
tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 .
1
A. Pmax = .
2

B. Pmax = 2.

C. Pmax =

2
2
2
Lời giải. Ta có D ' = m - 2( m - 2) = - m + 4 .

25
.
4

9
D. Pmax = .
4

Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi D ' = 4- m2 ³ 0 Û - 2 £ m£ 2.
ìï x1 + x2 = - m
ïï
2

hai
nghiệm
của
phương
trình
2
2
m
x - 2( m- 1) x + 2m - 3m+1= 0 (
là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của
biểu thức P = x1 + x2 + x1x2 .
1
A. Pmax = .
4

B. Pmax = 1.

9
C. Pmax = .
8

D. Pmax =

9
.
16

Lời giải. Ta có D ' = ( m- 1) - ( 2m2 - 3m+1) = - m2 + m= m( 1- m) .
2


æ 1ö
1
1 3
9
9
£ m- £ ¾¾
®ç
m- ÷
£
¾¾
®ç
m- ÷
£ 0.
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è
è
4
4 4
4ø 16
4ø 16
2
2
æ9 æ 1ö2 ö

÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
è
ç16 è
è
÷ 8
4ø 16
4ø ø
4ø 8
è
Vì 0 £ m£ 1¾¾
®-

1
: thỏa mãn ( *) . Chọn C.
4
Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + m- 1= 0 ( m là
2x1x2 + 3
tham số). Tìm m để biểu thức P = 2
đạt giá trị lớn nhất.
x1 + x22 + 2( x1x2 +1)
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m=

1
A. m= .

2

( m- 1)
2m+1
2m+1- m2 - 2
1
=
=£ 0, " mÎ ¡ .
2
2
m +2
m +2
m2 + 2
Suy ra P £ 1, " mÎ ¡ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m= 1. Chọn B.
Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - mx + m- 1= 0 ( m là
2x1x2 + 3
.
tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2
x1 + x22 + 2( x1x2 +1)
Suy ra P - 1=

A. Pmin = - 2.

B. Pmin = -

1
.
2

C. Pmin = 0.

=
+
=
=
³ 0, " mÎ ¡ .
Suy ra
2 m2 + 2 2
2( m2 + 2)
2( m2 + 2)

Suy ra P ³ -

1
, " mÎ ¡ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m= - 2. Chọn B.
2

Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 61. Nếu m¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n = 0 thì
tổng m+ n bằng:
1
1
A. - .
B. - 1.
C. .
D. 1.
2
2
ïì m+ n = - m ïìï n = - 2m
ïì m= 1
Û í


ỡù x1 = x33
2
x1 + x2 = x33 + x43 = ( x3 + x4 ) ộ
. ( *)
( x + x4 ) - 3x3x4 ự
Theo bi ra, ta cú ùớ
ờ
ỳ
ở 3
ỷ
ùù x2 = x43
ợ
ùỡù x1 + x2 = - p
ù
2
Theo h thc Viet, ta cú ùớ x3 + x4 = - m, thay vo ( *) , ta c - p = - m( m - 3n) .
ùù
ùợù x3x4 = n
2
3
Vy p = m( m - 3n) = m - 3mn. Chn C.
Cõu 63. Cho hai phng trỡnh x2 - 2mx +1= 0 v x2 - 2x + m= 0. Cú hai giỏ tr
ca m phng trỡnh ny cú mt nghim l nghch o ca mt nghim ca
phng trỡnh kia. Tớnh tng S ca hai giỏ tr m ú.
5
1
1
A. S = - .
B. S = 1.


ỡù 2
ùớ x0 - 2mx0 +1= 0.
ùù mx02 - 2x0 +1= 0.
ùợ

( 1)
( 2)

ộm= 1
2
2
.
Ly ( 1) - ( 2) , ta c x0 ( 1- m) - 2x0 ( m- 1) = 0 ( m- 1) ( x0 + 2x0 ) = 0 ờ
ờx0 = - 2
ở
5
2
Vi x0 = - 2 thay vo ( 1) , ta c ( - 2) - 2m.( - 2) +1= 0 m= - .
4
5
1
Vy tng tt c giỏ tr ca m cn tỡm l m1 + m2 = 1- = - . Chn C.
4
4
Cõu 64. Cho hai phng trỡnh x2 - mx + 2 = 0 v x2 + 2x - m= 0 . Cú bao nhiờu
giỏ tr ca m mt nghim ca phng trỡnh ny v mt nghim ca
phng trỡnh kia cú tng l 3 ?
A. 0.
B. 1.

2
ở
3 giỏ tr ca m cn tỡm. Chn D.
Cõu 65. Cho a, b, c, d l cỏc s thc khỏc 0 . Bit c v d l hai nghim ca
phng trỡnh x2 + ax + b = 0 v a, b l hai nghim ca phng trỡnh
x2 + cx + d = 0. Tớnh giỏ tr ca biu thc S = a+ b+ c + d.
- 1+ 5
D. S = 2.
.
2
Li gii. Vỡ c, d l hai nghim ca phng trỡnh x2 + ax + b = 0 suy ra
c + d = - a.
Vỡ a, b l hai nghim ca phng trỡnh x2 + cx + d = 0 suy ra a + b = - c.
A. S = - 2.

B. S = 0.

C. S =

Website chuyờn thi ti liu file word mi nht