– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
§8. BA ĐƯỜNG CÔNIC
I. Đường chuẩn của elip và hypebol.
Không chỉ có parabol mới có đường chuẩn, elip và hypebol cũng có đường chuẩn
được định nghĩa tương tự như sau
1. Đường chuẩn của elip.
a. Định nghĩa: Cho (E):

x2 y2
a
+ 2 = 1. Khi đó đường thẳng D 1 : x + = 0 được gọi là
2
e
a
b

đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F1 ( - c;0) ; Đường thẳng D 2 : x -

a
=0
e

được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu điểm F2 ( c;0) .
b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc (E) ta có

MF1
MF2
=
= e( e < 1)
d( M ;D1 )
d ( M ;D 2 )

sao cho tỉ số

MF
bằng một số dương e cho trước được gọi là ba đường cônic
d( M ;D )

Điểm F gọi là tiêu điểm, D được gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường
cônic.
Chú ý: Elip là đường cônic có tâm sai e < 1; parabol là đường cônic có tâm sai e = 1
; hypebol là đường cônic có tâm sai e > 1
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1. Nhận dạng cônic và xác định tiêu điểm, đường chuẩn của các
đường cônic.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1. Phương pháp giải.
• Để nhận dạng đường cônic ta dựa vào tâm sai: đường cônic có tâm sai e < 1 là
elip; đường cônic có tâm sai e = 1 là parabol; đường cônic có tâm sai e > 1 là
hypebol.
• Từ phương trình của đường cônic ta xác định được dạng của nó từ đó xác định
được tiêu điểm và đường chuẩn của nó.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1:

x2 y2
+
= 1.
5
4

b) Xác định tiêu điểm của

(

A. F1 C. F2

(

)

17;0

)

B. F2

(

17;0 , F1 -

7
17

)

17;0

D. F2 ( 2;0) , F1 ( - 2;0)

17;0

A. F ç
ç- ;0÷
÷

æ ö
÷
ç
è2 ø

9
÷
B. F ç
ç ;0÷
÷

÷
ç
è 2 ø

C. F2

(

)

(

17;0 , F1 -

)

ïï b = 4
î
e=

c
1
=
a
5

Vậy ta có tiêu điểm là F1 ( - 1;0) tương ứng có đường chuẩn có phương trình là

x+

5
=0
hay x + 5 = 0 và tiêu điểm là F2 ( 1;0) tương ứng có đường chuẩn có
1
5

phương trình là

x-

5
=0
hay x - 5 = 0 .
1
5



Vậy ta có tiêu điểm là F1 -

x+

7
17
7

=0

hay x +

7
17

chuẩn có phương trình là

17;0 tương ứng có đường chuẩn có phương trình là

= 0 và tiêu điểm là F2

x-

7
17
7

=0


2

Ví dụ 2: Cho cônic có tiêu điểm F ( - 1;1) , đi qua điểm M ( 1;1) và đường chuẩn

D : 3x + 4y - 5 = 0. Cônic này là elip, hypebol hay là parabol?
A.elip

B.hypebol

C.parabol

D.Đường tròn

Lời giải:
Ta có MF = 2, d ( M ; D ) =

Suy ra

3+ 4- 5
32 + 42

=

2
5

MF
= 5 > 1 suy ra đây là elip
d( M ;D )


C. x2 + y2 + xy - 10x + 2y + 3 = 0

D. 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0

c) Tâm sai e = 1
A. 2xy - 4x + 2y + 3 = 0

B. 2xy - 4x + 2y - 2 = 0

C. 2xy + x + 2y = 0

D. 2xy - 4x + 2y = 0
Lời giải:

Gọi M ( x;y ) là điểm thuộc đường cônic cần tìm. Khi đó theo định nghĩa ta có

MF
= e Û MF = ed
. ( M ; D ) (*).
d( M ;D )
Ta có MF =

( 1- x )

a) Tâm sai e =

2

+ y2 , d ( M ; D ) =


+ y2 = .
2
2

Û 4( x2 - 2x + 1 + y2 ) = x2 + y2 + 1 - 2xy + 2x - 2y
Û 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0 .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

c) Tâm sai e = 1 thì ( * ) Û

( 1- x )

2

+ y2 =

x - y +1
2

Û x2 - 2x + 1 + y2 = x2 + y2 + 1 - 2xy + 2x - 2y
Û 2xy - 4x + 2y = 0
Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2xy - 4x + 2y = 0.

(

)


x2 y2
+
=1
6
3

b) Viết phương trình chính tắc đường hypebol có D là một đường chuẩn và D ' là
tiệm cận.
A.

x2 y2
=1
4 36

B.

x2
y2
=1
4 360

C.

x2 y2
=1
40 36

Lời giải:
a) Gọi phương trình chính tắc elip là


= 1.
6
3

x2 y2
= 1,a > 0,b > 0
a2 b2

D.

x2
y2
=1
40 360


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Hypebol có một đường chuẩn là D nên

a
a2
a2
(1)
=2Û
=2Û c =
e
c
2


÷
ç2ø
4
è

Suy ra b2 = 9a2 = 360
Vậy phương trình chính tắc hypebol cần tìm là

x2
y2
= 1.
40 360

 DẠNG 3. Sự tương giao gữa các đường cônic và với các đường khác.
1. Phương pháp giải.
Cho hai đường cong f ( x;y ) = a, g( x;y ) = b khi đó
• Số giao điểm của hai đường cong trên chính là số nghiệm của hệ phương trình

ïìï f ( x;y ) = a
í
ïï g( x;y ) = b
î

ìï f ( x;y ) = a
• Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường cong là nghiệm của hệ ïí

ïï g( x;y ) = b
î

2. Các ví dụ.

c) Viết phương trình đường tròn đi qua các giao điểm của (E) và (H).
A. x2 + y2 =

2
17

B. x2 + y2 =

62
7

C. x2 + y2 =

2
7

D. x2 + y2 =

62
17

Lời giải:

ìï 2x - y + m = 0
ï
Û
a) Xét hệ phương trình ïí x2 y2
ïï
+
=1

(H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu nhau
Vậy D cắt (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (H)

ìï
ïï
ï
c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ: í
ïï
ïï
î
ìï
ïï x = ±
ï
Giải hệ (I) ta được í
ïï
ïï y = ±2
ïî

x2 y2
+
=1
6
3
(I
x2 y2
=1
1
8

)

æ 22
æ 22
10 ö
10 ö
10 ö
10 ö
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷
÷
M1ç
;2
,
M
;2
,
M
;
2
,
M
;
2

ø
è
ø
è
ø
è
ø
trình đường tròn đi qua các điểm đó phương trình là x2 + y2 =

62
17


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Nhận xét: Để viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (E)

x2 y2
+
= 1, (H)
a2 b2

x2
y2
=1
a '2 b'2
ta chọn a, b sao cho

a
b


r

Cách 1: Đường thẳng D đi qua I nhận u ( a;b) làm vectơ chỉ phương có dạng

ìï x = 1 + at
ïí
(với a2 + b2 ¹ 0)
ïï y = 2 + bt
î
A, B Î D suy ra tọa độ A, B có dạng A = (1 + at1;2 + bt1) , B = (1 + at2;2 + bt2) .
ìï 2xI = xA + xB
ïì a ( t1 + t2 ) = 0
Û ïí
Û t1 + t2 = 0
I là trung điểm của AB khi và chỉ khi ïí
ïï 2xI = xA + xB
î

ïï b( t1 + t2 ) = 0
î

(1)
(do a2 + b2 ¹ 0)

A, B Î

(E)

nên t1, t2 là nghiệm của phương trình

ỡù x ' = 2 - x
ùớ
ùớ
ị M '( 2 - x;4 - y )
ùù 2xI = xA + xB
ùù y ' = 4 - y
ợ
ợ
ỡù x2 y2
ùù
+
=1
ù
16
9
M , M ' ẻ (E ) ớ
ùù (2 - x)2 (4 - y)2
+
=1
ùù
ợ 16
9
Suy ra

4 - 4x 16 - 8y
+
= 0 hay 9x + 32y - 73 = 0 (*)
16
9

b > 0) v im
a2 b2

x02 y02
+
< 1 (ngha l im I thuc min trong ca elớp ) . Vit phng
a2 b2

trỡnh ng thng i qua I , bit rng ng thng ú ct elớp ti hai im M , M sao
cho I l trung im ca on thng MM ".
Lm tng t cỏch 2 ta cú phng trỡnh ng thng cn tỡm l

4x02 - 4x0x 4y02 - 4y0y
+
=0
a2
b2
x2 y2
= 1 v hai ng thng
4
9

ữ ỗ
ữ
ỗ
ỗ
ố 2

3ứ ố3 2ứ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æ 3 1ö
æ2 3ö
- ;- ÷
; ÷
÷È ç
÷
C. m Î ç
ç
÷ ç
÷
ç
ç
è 2

æ 3 2ö
æ2 3ö
- ;- ÷
; ÷
÷È ç
÷

÷
a) Từ phương trình D thế x = - my vào phương trình (H) ta được ç
ç
÷y = 1 (*)
ç4
9ø
è

Suy ra D cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm
phân biệt hay

m2 1
4
> 0 Û m2 > Û m Î
4
9
9

æ
2ö æ
2
ç
- ¥ ;- ÷
; +¥
÷È ç
ç
ç
÷
ç
ç

æ 3 3ö
ç
- ; ÷
÷
ç
÷
ç
è 2 2ø

Vậy D và D ' đều cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi

æ 3 2ö
æ2 3ö
mÎ ç
- ;- ÷
Èç
; ÷
÷
÷
ç
ç
÷
÷
ç
ç
è 2 3ø è3 2ø
æ 3 2ö
æ2 3ö
- ;- ÷
Èç

ç
÷ è
÷
ç
ç 9m2 - 4 9m2 - 4 ø
è 9m2 - 4 9m2 - 4 ø
æ - 6
ö æ 6
ö
- 6m ÷
6m
÷
Bç
;
; Dç
;
÷
÷
ç
ç
÷
÷ A đối xứng với C và B đối xứng
ç 9 - 4m2 9 - 4m2 ø è
ç 9 - 4m2 9 - 4m2 ø
è
với D qua gốc toạ độ O. Mặt khác D ^ D ' do đó tứ giác ABCD là hình thoi.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
1


)

=

144
5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 9m2 - 4 = 9 - 4m2 Û m = ±1(thỏa mãn (**))
Vậy m = ±1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y2 = 8x . Đường thẳng D không
trùng với trục Ox đi qua tiêu điểm F của (P) sao cho góc hợp bởi hai tia Fx và Ft là
0
tia của D nằm phía trên trục hoành một góc bằng a ( a ¹ 90 ) . Chứng minh rằng D

Cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N và tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi a
thay đổi.
Lời giải:

(

)

Theo giả thiết ta có F 2; 0 , đường thẳng D có hệ số góc k = tan a

ìï y =( x - 2) tan a
Suy ra D : y =( x - 2) .tan a . Xét hệ phương trình ïí 2
(*)
ïï y = 8x
î

Mặt khác từ (*) ta có yM + yN = ( xM + xN - 4) tan a Þ xI =

xM + xN
4
=
+2
2
tan2 a

2

æyI ö
Suy ra xI = 4.ç
÷
+ 2 hay yI2 = 4xI + 8
ç ÷
÷
÷
ç4ø
è
Vậy tập hợp điểm I là đường cong có phương trình : y2 = px +

p2
.(Cũng gọi là
2

Parapol)

 Dạng 4. Các bài toán định tính về ba đường cônic.
1. Phương pháp giải.

+ Nếu cả hai điểm không trùng với các đỉnh của (E):


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Gọi M ( xM ;yM ) , N ( xN ;yN ) , k ( k ¹ 0) là hệ số góc của đường thẳng OM thì hệ số góc

của ON là -

Do M , N Î

1
(vì OM vuông góc với ON ).
k

(E)

nên

xM2
yM2
x2
y2
(1), N + N = 1 (2)
+
=
1
a2
b2
a2
b2

=
1
Û
x
=
÷
M ç
M
÷
ç
a2
b2
a2k2 + b2
èa2 b2 ø
Þ yM2 = k2xM2 =

k2a2b2
a2k2 + b2

Do đó OM 2 = xM2 + yM2 =

a2b2 ( k2 + 1)
a2k2 + b2

Tương tự thay (4) vào (2) suy ra

1 2
x
æ1
2 N

x
=
N
k2
a2 + k2b2

Do đó ON = x + y =
2

2
N

2
N

a2b2 ( k2 + 1)
a2 + k2b2

( a2 + b2 ) ( k2 + 1) 1 1
1
1
b2 + k2a2
a2 + k2b2
+
= 22 2
+
=
= 2 + 2.
Suy ra
OM 2 ON 2

1
=
+
= 2 + 2 Û OH =
2
2
2
OH
OM
ON
a
b

ab
a2 + b2

Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính

Ví dụ 2. Cho hypebol (H):

ab
a2 + b2

.

x2 y2
= 1 có các tiêu điểm F1, F2 . Lấy M là điểm bất kì
a2 b2

trên (H). Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là hằng


Suy ra d ( M ; D 1 ) d ( M ; D 2 ) =

bxM - ayM
a2 + b2

bxM + ayM
a2 + b2
.

bxM + ayM
a2 + b2

=

b2xM2 - a2yM2
a2 + b2

Mặt khác M thuộc (H) nên :

xM 2 yM 2
- 2 = 1 hay b2xM2 - a2yM2 = a2b2
a2
b

Do đó d ( M ; D 1 ) d ( M ; D 2 ) =

a2.b2
là hằng số
a2 + b2

è
2

D ' = 4( 2a + k2a ) - 4k4a2 = 16a2 ( 1 + k2 ) > 0
Theo định lý Viet có xM .xN =

a2
4

Mặt khác ta có d ( M ;Ox ) = yM ; d ( N ;Ox ) = yN
Suy ra d ( M ;Ox ) .d ( N ;Ox ) = yM .yN =

4a2 xM .xN = a2