CHUYÊN ĐỀ 4 - HÀM SỐ MŨ VÀ LÔGARIT
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Lũy thừa và căn thức:

an 

1
(với a �0 và n ��* )
n
a
m
n

a a  a
r

n

m

(với a  0 và r 

m
, n ��, n ��* )
n

a  lim a rn (với a  0,  ��, rn �� và lim rn   ).
Khi n lẻ, b  n a � b n  a (với mọi a)

b �0
�

a loga b  b với a  0, b  0, a �1 .
- Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:

log a  b.c   log a b  log a c
log a

b
�1 �
 log a b  log a c,log a � �  log a c
c
�c �

log a b   log a b (với mọi  ), log a n b 

1
log a b ( n ��* )
n

- Đổi cơ số trong điều kiện xác định:
Trang 1


log b x 

log a x
hay log a b.log b x  log a x
log a b

log b a 



 x  0 ,  n u 
n 1

/



u'
n u n 1
n

, với u  u  x   0 .

Hàm số y  x đồng biến trên  0; � khi   0 ; nghịch biến trên  0; � khi   0 .
Hàm số mũ:
Liên tục trên tập xác định �, nhận mọi giá trị thuộc  0; � .

�
khi a  1
khi a  1
�
�0
lim a x  �
; lim a x  �
x �
khi 0  a  1 x��
� khi 0  a  1
�0
�

x ��
� khi 0  a  1 x�0
� khi 0  a  1
�
�
Đạo hàm  log a x  ' 

 log a u  ' 

1
1
1
;  ln a  '  ;  ln x  ' 
x ln a
x
x

u'
u'
u'
;  ln u  '  ;  ln u  ' 
với u  u  x  .
u ln a
u
u

Hàm số y  log a x đồng biến trên  0; � nếu a  1 , nghịch biến trên  0; � nếu 0  a  1 .
Giới hạn:

ln  1  x 


3
5

1
2
1

1
2
2
�1 � �1 �
3
3
 � �  � � ; B  0,001   2  .64  8 3   90 
125 � �32 �
�

Hướng dẫn giải
3

 

A   3

  3
B   10

3


1

5

3

1
80
�1 � �1 � 1
� � � � 
58 
3  
27
27
�5 � �2 � 27

1
3  3



 2 . 2
2

2
6 3

4
3 3





1
3

5
3

a a
a a
a a
.a  1; Q  1
 2
4
1

a 1
a3  a 3 a 3  a 3
1
4

4

Hướng dẫn giải


P



4

a  1  a 1 1  a

  a  1  a    1  a    1  a   2a


a



1
3

2

 a  1

Bài toán 4.3: Trục căn ở mẫu
a)

1
233

b)

1
6

5  13  48


3 1

2

 42 3 



32



2

Trang 3


1

nên



5  13  48

6

3



3

Hướng dẫn giải



a) Ta có 3 2 �2 3



2

 18  12 �12 6  30 �12 6

15  6 6  15  6 6 

nên

3 2 2 3 3 2 2 3

6
2
2

15  6 6  15  6 6  x; x  0 .

Cách khác: Đặt

Ta có x 2  30  2 225  216  36 nên chọn x  6 .



x3  7  5 2  7  5 2  3
 10 2  3



3



3









�
7  5 2  3 7  5 2 .�
�3 7  5 2 7  5 2 �
�
�



7  5 2  3 7  5 2  10 2  3x .

4

52 6

2

Trang 4



Tương tự:
Suy ra

4

4



3 2



4

 3 2
3 2)

49  20 6  3  2 (do





5 1

2

2

� 5 1�
� M  N  5  2 � M  N  2MN  5  3  �
�
� 2 �
2

Vậy

4

2

2

2

2 5 2 2 5  4 2 5 2 2 5  M  N 

5 1
.
2

k 1  k  1
99  101
Hướng dẫn giải

a) Đặt a 

3

23  513
23  513
,b  3
4
4

� a 3  b3 

23
, ab  1 và 3 x  1  a  b
2

Vì  3 x  1  27 x 3  27 x 2  9 x  1
3

 27  x3  x 2  1  3  3 x  1  29 nên

 3x  1
A

3


 k 1 

� k 1 2 
�
�

 k  1

3



 k  1

2



 k  1  k  1 �

�

k 1



k 1  k 1
�
k 1  k 1



a x  a x
a x  a x
a x  a x
với a  0, a �1 . Chứng minh
; ch  x  
; th  x   x
2
2
a  a x

ch 2  x   sh 2  x   1 , th  2 x  

2th  x 
.
1  th 2  x 
Hướng dẫn giải
2

2

�a x  a  x � �a x  a  x �
Ta có ch  x   sh  x   �
� �
�
� 2
� � 2
�
2



2  a x  ax   a x  a x 

2

2  a x  a  x   a 2 x  a 2 x 



a 2 x  a 2 x
 th  2 x  .
a 2 x  a 2 x

Bài toán 4.8: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh:
a) Nếu

1 1 1
1
1
1 1
1
  
thì n  n  n  n
a b c abc
a
b
c
a  bn  c n
Trang 6



 n ax n �   � n ax n  x n a  y n b  z n c
x
y
z
�x y z �

�1 1 1 �
� VT �   � n a  n b  n c � đpcm.
�x y z �
Bài toán 4.9: Tính:
5

a) 3log3 18  18;35 log 3 2  3log 3 2  25  32
log 5

2
3
1
�1 �
3 log 5
3 log 2 5
 2  2  2log 2 5  53 
�� 2 
125
�8 �

log 1 25

log 0,5 2


b

log b a

Hướng dẫn giải
a) A  log 3 2.log 4 3.log 5 4.log 6 5.log 7 6.log 8 7



log log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 2
1
1
.
.
.
.
.

 log 8 2  log 2 2 
log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log8 log8
3
3

b) Đặt x  log a b � log a b  x 2 � b  a x
Mặt khác log b a 

2

1

log 2 2.3
1  log 2 3
log 2 22.3 2  log 2 3
Suy ra log 2 3 

2 y 1
x  1  2 y  xy
;log 2 5 
2 y
2 y

log 2 23.3
5 y

Do đó log 25 24 
.
2
log 2 5
2  x  1  2 y  xy 





2
b) log140 63  log140 3 .7  2log140 3  log140 7



2


log 7 3 log 7 2.log 2 3 ca
2

log140 63 

2
1
b
a
ca



1
2ac  1

2c  cab  1 abc  2c  1

Bài toán 4.12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn:

a log3 7  27, b log7 11  49, c log11 25  11
Tính T  a  log3 7   b log7 11  c  log11 25
2

2

2

Hướng dẫn giải


log 3 7

 49

log 7 11





11



log11 25

1
2

 7  11  25  469 .
3

2

Bài toán 4.13: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) a logc b  b logc a
b)

n  n  1


n  n  1
1

log a b 2log a b

Bài toán 4.14: Trong điều kiện có nghĩa, chứng minh:
a) Nếu a 2  c 2  b 2 thì log b c a  log b c a  2logb c a.logb c a .
b) Nếu a, b, c lập cấp số nhân thì

log a d  log b d log a d

log b d  log c d log c d
Hướng dẫn giải

2
a) Theo giả thiết: a   b  c   b  c  . Xét a  1 : đúng.

Xét a �1 thì log a  b  c   log a  b  c   2 �

1
1

2
logb c a log b  c a

nên log b c a  log b c a  2log b  c a.log b c a

�c �
log d � �

log a d  log b d log d c log a d


logb d  log c d log d a log c d
Trang 9


Bài toán 4.15: Cho x, y, z, a là các số thực dương đôi một khác nhau và khác 1. Chứng minh:
a) Nếu log a x  1  log a x.log a z , log a y  1  log a y.log a x thì:

a
A  log x.log a y.log a z.log x a.log y a.log z a  1 .
x
y
z
b) Nếu

x y  z  x y  z  x  y z  x  y  z


thì x y . y x  y z .z y  z x .x z
log x
log y
log z
Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết, ta có: log a x  1  log a x.log a z

� log a x 


. Do đó

��
�
��
�
A�
log a x.log y a �
.�
log a y.log z a �
.�
log a z.log x a � 1
�
�� z
�
� x
�� y
�
b) Nếu một trong các số x  y  z , y  z  x, z  x  y bằng 0 thì cả ba số đều bằng 0 và dẫn đến

x  y  z  0 , mâu thuẫn.
Do đó x  y  z , y  z  x, z  x  y khác 0.

�x  log y  .  y  z  x   y  log x  .  z  x  y 
�
Từ giả thiết thì: �y  log z  .  z  x  y   z  log y  .  x  y  z 
�
�z  log x  .  x  y  z   x  log z  .  y  z  x 
Ta có: x  log y  . y  z  x   y  log x   z  x  y 


zxy

� y  log x  .  z  x  y   x  log y   y  z  x  : đúng
Chứng minh tương tự: y z .z y  z x .x z .
Bài

toán

4.16:

Cho

các

số

thực

a,

b,

c

thỏa

mãn

1  a  b  c . Chứng minh rằng:


� 23 �
Tk 1  C �x �
� �
k
13

 x x

a) Hệ số của x13 ứng với

k

 C .x
k
13

13 k 52
6

13k  52
 13 � k  10 là:
16

T11  C1310  286 .
Trang 11


4
b) Số hạng không chứa x ứng với 13k  52  0 � k  4 là T5  C13  715 .
6

6
2 lg x 1
k 2 lg x 1
lg x 1
12
12
12
�x
 x � �x
 x � �C6 x
.x
� k 0
�
� �
�
�
� �

Số hạng thứ 4 ứng với k  3 , theo giả thiết bằng 200 nên:
3
6

C x

3
1

2 lg x 1 4

 200 � x

x
x
ln a

a) lim

x

n
1  ax  1 a
� a� a
b) lim �
1  � e ;lim

x ��
x �0
x
n
� x�

Hướng dẫn giải
x

ax 1
eln a  1
e x ln a  1
a) lim
 lim
 lim
.ln a  ln a

b) lim �
1  � lim �
1 �  e
�
x ��
x �
� x � x���
�
��
�
a
�
��
�
n

lim
x �0

1  ax  1
 lim
x �0
x
x



1  ax  1
n



�e2 x  1 e5 x  1 �
e 2 x  e5 x
 lim �

a) lim
� 2  5  3
x �0
x �0
x
x �
� x
2 x  1 5x  1

2 5 2
x
x  ln 2  ln 5  ln10
 lim x
b) lim x
x
x
x �0 3  5  2
x�0 3  1
5  1 ln 3  ln 5 ln15

x
x
x

x

2 x�0 � 3 x 2
�

2
�sin x �� 3
:�
��
2
� x ��
�

�6 x  1 3x  1 ��ln  1  6 x  ln  1  3 x  �
6 x  3x
 lim �


�
�: �
x �0 ln  1  6 x   ln  1  3 x 
x �0
x �� x
x
� x
�

b) lim

1
  ln 6  ln 3 :  6  3  ln 2 .
3

x 3 x 3
�
1 �
� 1 � �
1
1
�
� xlim
�
� � e e
�

�
x 3�
� x 3� �
�
x

Trang 13


x 1
2

x

b) lim �x  3 � lim �
1
�
� x���

�
� �
�
�
2
� �
�
x

Bài toán 4.23: Tìm các giới hạn sau:
1

2

e 2 x  3 1  x 2
lim
a) x �0
ln  1  x 2 

x x
�x
�
b) lim �a  b � với 0  a, b �1 .
x �0
� 2 �

Hướng dẫn giải
2
�e 2 x2  1 3 1  x 2  1 �ln  1  x 2 
e 2 x  3 1  x 2

�ln  1  x 
:


2
�
x
3
 3 1  x2  1 �
�
1

3

1 x 

2 2

a x b x
1
2
x

1
�
�
x
x
x
a

x

x �0

 lim e

a x 1 b x 1

2x
2x

x �0

e

ln a  ln b
2

 e ln

ab

 ab

1
x

�
�
Vậy lim �a  b �  ab

ln x  x  1
�1

� lim
x
�
1
 x  1 ln x
�x  1 ln x �

a) lim
�
x �1

Trang 14


1
1
ln x  x  1 '

x
 lim
 lim
x �1  x  1 ln x '

 x�1 ln x  x  1
x
1 x
 1  x  '  lim 1   1

x �0
x
�
0
tan x
 tan x  ' x�0 tan x  1

cot x ln  1 x 

x �0

lim  cot x ln  1 x  

 e x �0

e

Bài toán 4.25: Tìm các giới hạn sau:
1

5

a) lim  cos x  2 x 2

b) lim  cos 3 x  x

x �0

x �0


2 x2

x �0

e

lim

ln  cos x 

x �0

2 x2

e



1
4

15sin 3 x

5ln
cos3
x
'
5ln
cos3
x

5 ln  cos 3 x  
x

x �0

 e0  1

Bài toán 4.26: Tính giới hạn sau:

�

1
ln x

�
�
2
�x  x  1 �

a) lim �
x ��

1

b) lim
x �

ln   x  
x 


ln x

x ��

1

  lim

x2  1  1
1
x

x ��

1

ln x
� 1
�
Vậy: lim �
 e1  e
�
2
x ��
�x  x  1 �

b) lim
x �

1

2 x  2 x

c) y  x 5  5 x  x x
Hướng dẫn giải

a) y '  2 x e

b)

2
y' 
2


x

x

4x

1 

2 x 2e 4 x
e4 x  1



2x �
 x  1 e4 x  1�
�

 2 x 

2

c) Ta có y  x 5  5 x  x x  x 5  5 x  e x ln x nên

y '  5 x 4  5 x ln 5  e x ln x  ln x  1  5 x 4  5 x ln 5  x x  ln x  1
Bài toán 4.28: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:



2
2
a) y  ln x  x  a

b) y  log

3

 x

2



 5x  6

c) y  cos x.e 2 tan x
Hướng dẫn giải
Trang 16

�2
�
.e 2 tan x  e 2 tan x �
 sin x �
cos x
�cos x
�

Bài toán 4.29: Chứng minh:
a) Nếu y  e 4 x  2e  x thì: y ''' 13 y ' 12 y  0

x2 1
b) Nếu y 
 x x 2  1  ln x  x 2  1 thì: 2 y  xy ' ln y '
2 2
Hướng dẫn giải
a) y '  4e 4 x  2e  x , y ''  16e 4 x  2e  x , y '''  64e 4 x  2e  x nên:

y ''' 13 y ' 12 y   64e 4 x  2e  x   13  4e 4 x  2e  x   12  e 4 x  2e  x   0
b) y '  x  1 x 2  1 

2

 x

2x2  1
2 x 1
2



2
Do đó, ta có: 2 y  x  x x  1  ln x  x  1





2
xy '  x 2  x x 2  1 và ln y '  ln x  x  1



� 2 y  xy ' ln y ' : đpcm.
Bài toán 4.30: Tìm đạo hàm cấp n của hàm số





2
b) y  ln 6 x  x  1

a) y  5kx

Hướng dẫn giải
a) y '   k ln 5  .5kx ; y ''   k ln 5  .5 kx
2

n
n


m

Suy ra y

 n

1  n  1 !2n1  1  n  1 !3n1



n
n
 2 x  1
 3x  1
n 1

n 1

Bài toán 4.31: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị hàm số:

ex
a) y 
x

b) y  x 2 .e  x
Hướng dẫn giải

a) D  �\  0 , y ' 



�

�

e

Vậy hàm số nghịch biến trong các khoảng  �;0  và  0;1 đồng biến trên khoảng  1; � , đạt CT  1;e 





2
x
b) D  �, y '  2 x  x e , y '  0 � x  0 hoặc x  2 .

BBT

x

�

y'
y

0
−

0


b) y  x  ln  1  x 

2
a) y  ln x  1

Hướng dẫn giải
a) D   �; 1 � 1; � , y ' 

2x
x 1
2

Khi x  1 thì y '  0 nên hàm số nghịch biến trên  �; 1
Khi x  1 thì y '  0 nên hàm số đồng biến trên  1; �
Hàm số không có cực trị.
b) D   1; � , y '  1 

1
y

, y'  0 � x  0
1 x 1 x

y '  0, x � 0; � nên hàm số đồng biến trên  0; �
y '  0, x � 1;0  nên hàm số nghịch biến trên  1;0 
Ta có y '' 

1


�
�
 bx  cx 



a xb x  ln a  ln b   a x c x  ln a  ln c 

b

x

 cx 

2

/
�a xb x ln a  ln b  a x c x ln a  ln c
� ax �




 �
Do đó f '  x   �� x
2
x � �
b  c � sym �
sym �
 bx  cx 


x

x

x

x

x

x

sym

x

x 2

x

x 2

Bài toán 4.34: So sánh các số:
Trang 19


a)

13 và


Bài toán 4.35: So sánh các số:
4 5

600

a) 3

và 5

�1 �
b) � � và 33
�3�

400

2

Hướng dẫn giải

 

a) Ta có: 3600  33

5400   52 

200

200



2 5

3 2

� 18  20 : đúng
4 5

1
�1 �
�1 � �1 �
Vì cơ số 0   1 nên � �  � � � � �  33
3
�3 � �3 �
�3�

2

.

Bài toán 4.36: Hãy so sánh các số:
a) log 3 4 và log 4

1
3

b) 3log6 11 và 7 log6 0,99
Hướng dẫn giải

a) Ta có log 3 4  1 và log 4

Hướng dẫn giải
22

a) Ta thấy rằng 222

24

16

 22  22

Mà 210  1024  1000, 26  64
2

2
� 216  210.26  64000 nên 222  264000

Mặt khác: 12  22  33  ...  10001000  1000.10001000  10001001

  210 
Từ đó suy ra 222

22

1001

 210010  264000

 12  22  33  ...  10001000



Bài toán 4.39: Chứng minh:
a) log n  n  1  log n 1  n  2  với mọi số nguyên n  1
b) a m  b m  c m , nếu m  1 , a  b  c với a  0, b  0
Hướng dẫn giải

� 1�
� 1�
1 �
� 1  log n �
� n�
� n�

1
a) A  log n  n  1  log n n �

� 1 �
� 1 �
B  log n1  n  2   log n 1  n  1 �
1
1
� 1  log n1 �
�
� n 1�
� n 1�
Ta có 1 

1
1
� 1�

� n�
� n 1�
m

m

�a � �b �
b) Ta có a  b  c � � �  � �  1
�c � �c �
m

m

m

Mà a  b  c, a  0, b  0 nên 0 
m

a
b
 1,0   1
c
c

1

m

1


a) Giả sử a  max  a; b; c .
- Xét a �b �c : BĐT ۳ a a b .bb c

c a c

Vì a �b �c  0 nên a a b .bb c �c a b .bb c  c a c
- Xét a �c �b : BĐT ۳ a a b

b cb .c a c

Vì a �c �b  0 nên b c b .c a c �a c b .a a c  a a b
b) Không mất tính tổng quát, ta giả sử a là cạnh lớn nhất trong các cạnh của tam giác. Khi đó, ta có
2

2

2

a 2  b 2  c 2 , a 3  b 3  c 3 nên:
2
2
2
2
2
2
�2
� �2
� 2
�2
� �2

�
��
�
��
�
�
��
�
�
��
�

Do a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác nhọn nên b 2  c 2  a 2
1
3

1
3

1
3

3
3
3
x  a ; y  b ; z  c thì y  z  x

Trang 22




b) Cho 4 số x, y, z , t �� ;1�
. Chứng minh:

� 1�
� 1�
� 1�
� 1�
log x �y  � log y �z  � log z �
t  � logt �x  ��8 .
� 4�
� 4�
� 4�
� 4�
Hướng dẫn giải
a) BĐT ۣ log  abc 

a b c
3

log  a a .bb .c c 

�  a  b  c  log  abc  �3  log a a  log bb  log c c 
�  a  b  c   log a  log b  log c  �3  a log a  b log b  c log c 

�  a  b   log a  log b    b  c   log b  log c    c  a   log c  log a  �0
BĐT này đúng vì cơ số 10  1 nên x �y  0

 log x


Bài toán 4.42: Chứng minh:
a) n n 1   n  1 , n ��, n  3
n

b)

n

x n  y n �n 1 x n 1  y n 1 với n nguyên, n �2 và x, y �0 .
Hướng dẫn giải

a) Với n ��, n  3 , bất đẳng thức tương đương
Trang 23


 n  1 ln n  n ln  n  1 �
Xét f  x  

n 1
n

ln  n  1 ln n

x
ln x  1
 0.
trên  3; � thì f '  x  
ln x
ln 2 x



n 1

với t � 0; � .

; f ' t   0 � t  1 .

BBT

x

0

f ' t 

0

�

1
+

0

−

f  t
1

1

Theo câu a) thì f '  x   0 nên f đồng biến trên  0; � .

x  0 � f  x   f  0   0 : đpcm.
Trang 24


x2
c) BĐT: ln  1  x   x 
 0, x  0
2
Xét f  x   ln  1  x   x 

x2
x2
, x �0, f '  x  
�0
2
1 x

và f liên tục trên  0;� nên f đồng biến trên  0; �
Do đó: x  0 � f  x   f  0   0 : đpcm.
Bài toán 4.44: Chứng minh:

��
�
� 2�

sin x
tan x
 23 x  2 , x ��

� �
�: x  0 � f  x   f  0   0 : đpcm.
� 2�

0;
nên f đồng biến trên �

b) Nếu x �0 thì BĐT đúng. Nếu x  0 , vì x 2  2 x  2  0, x nên
2
BĐT � x  2 x  2 

x
2
. Xét f  x   x  2 x  2, x  0
x
e

f '  x   2 x  2, f '  x   0 � x  1 . Lập BBT thì min f  x   f  1  1
Xét g  x  

x
e x  xe x 1  x
,
x

0,
g
'
x
