www.violet.vn/toan_cap3 (Thụng tin Toỏn hc - gii trớ a chiu)
A. đặt vấn đề
I. Lời nói đầu:
Với t tởng dạy học sinh không chỉ dạy kiến thức cho các em, mà cần dạy cả
phơng pháp suy luận, khả năng vận dụng, khả năng kết nối các môn khoa học, h-
ớng t duy khái quát và cả sự phát minh khoa học.
Ngời thầy phải thực hiện điều đó và hớng dẫn hoc sinh thực hiên ngay trong mỗi
tiết học .
Tất nhiên để làm đợc chính ngời thầy phải có những khả năng trên, cùng với
sự yêu nghề và đam mê khoa học, đồng thời phải có phơng pháp tạo ra tình huống
có vấn đề cho hoc sinh, và từ đó đa t tởng phát minh vào trong tiết học,
với những xuất phát điểm phải từ trong SGK. Sau đây là mội ví dụ:
Khi dạy bài 1a tiết 2-Hệ phơng trình bậc hai SGK 10 .
II. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu
+ ở các kì thi toán quốc tế, học sinh phổ thông Việt Nam đạt kết quả rất cao.
Đó là một điều đáng tự hào cho dân tộc, nhng hãy khoan, ta hãy suy nghĩ lại xem,
đến bây giờ đã bao nhiêu ngời trong số đó đã trở thành các nhà phát minh khoa
học.
+ Đơn giản hơn ở bậc đại học, đã có không ít học sinh thi vào đại học đạt kết
quả rất cao, nhng khi học tập thì có kết quả yếu, thậm chí không thể học tiếp, lí do
tại sao? phải chăng họ không chú ý học?. Đó không phải là lí do chính, quan trọng
là ở chổ họ chỉ là những thợ giải toán sơ cấp mà khả năng t duy trừu tợng, khái
quát, củng nh khả năng t duy theo hớng xây dựng lý thuyết là rất yếu.
+ Vậy vấn đề đổi mới đặt ra cho nền giáo dục :
Cần giúp học sinh phái triển t duy trừu tợng và t duy sáng tạo .
Biết cách nhìn nhận vấn đề dới nhiều góc độ .
Giúp học sinh có khả năng tổng quát hoá các vấn đề (lối t duy xây
dựng ).
Nhìn lại kết quả hoc tập của học sinh trờng Lê Lai thông qua các kì thi đại học
và học sinh giỏi, kết quả còn rất khiêm tốn vì vây việc đổi mới lại càng cấp thiết
hơn , không những đổi mới về phơng pháp mà còn phải đổi mới về cả nội dung

84
22
yx
yx

)2(
)1(

GV: Gọi học sinh lên bảng làm bài, sau đó gọi một em khác lên kiểm tra bài cũ
với câu hỏi:
nêu cách giải hệ phơng trình gồm một phơng trình bậc hai và một phơng trình
bậc nhất hai ẩn
Khi học sinh hoàn thành lời giải trên bảng ta bắt đầu sửa lời giải :
Từ (2) rút ra x =4-2y (3) thế vào (1)
(GV: Nên rút x vì khi đó biểu thức sau khi rút sẽ gọn hơn)
Ta đợc :
012844161684)24(
22222
=+=++=+
yyyyyyy
(*)

1
21
==
yy
thay vào biểu thức (3) ta có : x=2
Vây hệ có nghiệm duy nhất :



4
8
22
tx
tx
(Đây là hệ đối xứng với hai ẩn x và t )
Hệ



=+
=+
4
8
22
tx
tx




=
=+




=+
=+


Để rèn luyện t duy cho học sinh GV đặt câu hỏi : Nếu ta thay 8 bằng 0 ai trả lời
nhanh nghiệm của phơng trình :



=+
=+
42
04
22
yx
yx
?
TL: Ta thấy
0;0
22

yx
. Suy ra
0
22
+
yx
vậy PT trên có nghiệm x=y=0
nhng khi đó :
42
+
yx
nên hệ VN
GV:Từ PT(*) ở cách 1và(**) ở cách 2 ta thấy chúng đều có nghiệm kép hay hai

( )
( )
( )
2
22
2
2222
2421.21.11 yxyxyxyx
+++++
(4)
Vậy theo (2) ta có :
( )
84442
22222
++
yxyx

Để có (1) cần có
yx
yx
2
1
2
1
==
, thay vào (2) ta đợc : y=1 ; x=2.
GV: Vẫn với phân tích để tìm ra cách 3 , ta còn thấy một phép toán hình học
có liên quan đến mối liên hệ giữa 2 cặp số (a,b) và
( )
22

+=
=+=


Mặt khác :

cos...


=
vuvu













=

vu,


vuvu

o
;180

cùng phơng hay tồn tại

Rk

để :



===
=
=
=

.1;22
1.2
1.
. yxyx
ky
kx
vku
GV: Ta để ý bất đẳng thức (4)ở cánh 3 và bất đẳng thức (5) ở cách 4 là giống
nhau mặc dù hai cách dẫn đến là khác nhau.
Vì vậy mà gợi cho ta nghĩ đến việcđặt vấn đề ng ợc lại, tìm cách chứng minh bài
tập 8.a - Trang 77 bằng cách sử dụng tích vô h ớng của hai véc tơ .
Nếu bắt trớc cách làm 4 của bài 1.a ta có cách chứng minh bài 8.a nh sau:
Xét
( ) ( )

0
.





==
==



=
=





=
=


d
b
c
a
haybbda
db
dkc

)1800(
oo
<

(SGK hình học 10)
Nhng vấn đề vế trái của công thức là 1 , đế đợc điều đó ta chia hai vế của phơng
trình (1) cho 8 khi đó:
(1)
1
222
22
=






+







yx
.
Vậy nếu có góc để
22

2




<
<







y
x
y
x
.
Nếu có một trong hai số x hoặc 2y nhỏ hơn không thì từ PT(2):x+2y=4 dẩn đến
số còn lại phải lớn hơn 4, điều này mâu thuẩn với (*). Vậy ta đợc
1
22
0

x
;
1
2
0








=








y
x
y
Ta đợc
;cos222
sin22


=
=
y
x
thay vào phơng trình (2) ta đợc :
2cossin

minh BĐT Bunhiacoxki ta thử tìm cách giải phơng trình 1.a .
Ta đã biết BĐT Bunhiacoxki có một cách chứng minh dựa vào viêc xét phơng
trình bậc hai rất đặc biệt .
Ta thử bắt trớc cách đó để làm BT1.a.
Cách 7:
Gọi (x
o
,y
o
) là nghiệm của hệ phơng trình, tức



=+
=+
42
84
00
2
0
2
0
yx
yx
Ta xét phơng trình bậc hai ẩn :
( ) ( )
02
2
0
2



=+
=+
4
8
22
tx
tx
thì phơng trình
8
22
=+
tx
là phơng trình đờng tròn tâm O(0,0) và bán kính
R =
22
(ở lớp 10 đăc biệt là các lớp mũi nhọn ta nên giới thiệu cho hoc sinh biết phơng
trình đờng tròn tâm O(0,0) và bán kính a có dạng
222
atx
=+
. Thông qua các
bài toán nh :CMR điểm M(x
0
;y
0
) thoả mản :
222
ayx


+






và bằng bán kính của đờng
tròn có phơng trình
8
22
=+
tx
, vậy đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn tại điểm H,
hay nghiệm của hệ



=+
=+
4
8
22
tx
tx
là toạ độ điểm H . Mặt khác OAB là tam giác
vuông cân tại O nên



H
GV: Tinh tế hơn ta còn thấy một cách giải khác.
Cách 9:
Nhân phơng trình (2) với -4 sau đó cộng vế với vế vào phơng trình (1) ta đợc:

( ) ( )



=
=
=+=+
1
2
014281644
22
22
y
x
yxyyxx
thế vào hệ (1.2) thấy thoả mãn, vậy hệ có nghiệm duy nhất x=2 ,y=1.
GV:Ta ch a dừng lại ở đây , nếu ta tham số hoá hệ ph ơng trình ta sẽ có những
bài toán mới .
Chẳng hạn: ta thay 8 bởi m ( tham số)
ta đợc hệ



=+
=+

2
=+
m
yy
(7

)
ta để ý :với mỗi nghiệm y
0
của phơng trình (7

) ta đợc một nghiệm (x
o
,y
o
)
Vậy để hệ (6, 7) có nghiệm khi và chỉ khi phơng trình (7

) có nghiệm tức là
6
www.violet.vn/toan_cap3 (Thụng tin Toỏn hc - gii trớ a chiu)

80


m

Cách 2:
GV: Nếu ta phân tích cách giải 2 ở bài 1a với phép đặt 2y= t ta đa hệ về dạng


22

m
m
PS
GV: yêu cầu học sinh phân tích cách 8 của bài 1a để tìm cách giải 3
Bài toán 2 : Tìm m để hệ (6.7) có nghiệm duy nhất
Bài làm:
Cách 1:
Với việc phân tích bài toán 1 ta thấy để hệ có nghiệm duy nhất cần và đủ là


=0
8
=
m
GV:để rèn luyện thói quen kiểm tra kết quả sau khi giải toán và khả năng t duy
biện chứng cho hoc sinh, ở đây giáo viên có thể đặt câu hỏi cho học sinh nh :
GV:Ta thấy đáp số là đáng tin cậy .Vì sao?
TL: vì m= 8 ta trở lại bài toán 1a .
GV: còn nếu học sinh làm ra đáp số không phải là 8 GV khẳng định ngay kết quả
là sai mặc dù cha cần kiểm tra các bớc tính toán .
GV:yêu cầu học sinh phân tích cách 2 và cách 8 của BT1a để tìm cách 2và3 của
bài này.
GV: với phép đặt :2y = t ta đã đa hệ về dạng hệ đối xứng



=+
=+

0
=t
o
8
4
2
2
=





=
=

m
x
m
x
o
o
ĐK đủ : Thay m =8 vào hệ ta thấy thoả mãn
Vậy m=8 là kết quả cần tìm
GV: Đây là một phơng pháp rất quan trọng để giải bài toán nghiệm duy nhất của
hệ đối xứng .Đối với các bài toán sau ta sẽ thấy tầm quan trọng của phơng pháp
này :
Bài toán a: Tìm a để hệ sau có nghiệm duy nhất :



+=+
=++
2
200582822323
22)(
.
aayxxy
ayxyx
GV: yêu cầu học sinh về nhà làm .
GV:tiếp tục ta mở rộng bài toán với sự rằng buộc của nghiệm.
Bài toán 3: Tìm m đê hệ (6.7) có hai nghiệm (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) sao cho
21
0 yy <<
Bài làm :
Cách 1:
Để hệ có 2 nghiệm (x
1
,y
1
) và (x
2
,y

=




=+
=+
4
2
8.
4
22
tx
m
tx
tx
mtx
Vây để hệ ban đầu có hai nghiệm thoả mãn điều kiện
21
0 yy <<
thì hệ này phải có hai nghiệm thoả mãn
21
0 tt
<<
Vì vậy phơng trình :
0
2
84
2
=+

) sao cho
22
,0 yy
<
Vẫn sử dụng đợc cả 3 cách ở bài toán 3. Đáp số:
168
<
m
GV: Ta lại thay đổi yêu cầu bài toán từ ràng buộc của y thay bằng ràng buộc
của x tức là:
Bài toán 5 : Tìm m để hệ phơng trình (6.7) có 2 nghiệm (x
1
,y
1
) và (x
2
,y
2
) sao cho :
0 < x
1
, x
2
.
GV : Đây là vấn đề đặt lên cho học sinh vớng mắc.
Vấn đề ở đây là ta đa về phơng trình ẩn y trong đó yêu cầu là ràng buộc của x.
Vì vậy ta có hai hớng giải quyết :
- Chuyển ràng buộc của x thành ràng buộc của y.
- Chuyển thành phơng trình của x.
Ta thấy cách 2 khả thi hơn.

, x
2








>
>

0
0
0
'
P
S



168
<
m
(GV:Tất nhiên bài toán này có thể giải dựa theo cách 2 và cách 3 của bài toán 3)
Tiếp tục ta mở rộng cho sự ràng buộc của x và y.
Bài toán 6 : Tìm m để hệ phơng trình (6.7) có 2 nghiệm (x
1
,y

,x
2
> 0 và y
1
,y
2
> 0.
Vậy những giá trị của m thoả mãn cả hai bài toán 4 và 5 thì thoả mãn bài toán 6,
đồng thời thoả mãn bài toán 6 thì thoả mãn cả hai bài toán 4 và 5.
Vậy giá trị cần tìm của m là giao hai tập giá trị của m ở hai bài toán 4 và 5.
Tức là :
[
)
[
)
[
)
16;816;816;8
=
GV : (Tất nhiên bài toán này có thể giải theo cách 2 và cách 3 của bài toán 3)
Ta có thể chứng minh điều kiện : m
[
)
16;8

cũng là điều kiện để hệ có ít nhất 1
nghiệm (x,y) thoả mãn điều kiện :




=
=
4
1
y
x
đều không phải là nghiệm của hệ)
Vậy nếu với (x,y)

(1,-4) thì hệ tơng đơng với hệ








=
+
+

=
+
+

4
4
2
1

22
YX
mYX
Khi đó yêu cầu bài toán

Tìm m để hệ



=+
=+
42
4
22
YX
mYX
có nghiệm (X,Y) thoả mãn
điều kiện



>
>
0
0
Y
X
điều này tơng đơng với m[ 8,16).
GV: Từ bài tập 6 với nhận xét: y = 2-4x nếu x> 0


2
,y
2
) thoả mãn điều kiện sau:



<
<
21
21
,0
,0
yy
xx

Đây chính là bài toán 6 vậy ta suy ra kết quả m[ 8,16)
GV: Ta lại phân tích bài toán 8
Ta thấy bài toán 8 tơng đơng với bài toán : Tìm m để phơng trình bậc 2 :
y
2
- 2 + 2 -
8
m
= 0 có 2 nghiệm y
1
,y
2
thoã mãn điều kiện 0 < y
1