XUẤT PHÁT TỪ MỘT BÀI TOÁN
Kính cận A13
Bài toán 1. (Tổng quát bài 4 SGK Đại số 10 trang
79, và bài 1 SBT Đại số 10 trang 106) Chứng minh
m n m n m n n m
1) a b a b a b , a,b , n,m *,
 
      
 
và m, n cùng tính chẵn lẻ.
m n m n m n n m
2) a b a b a b , a,b 0, n,m *.
 
      

x y x y x y y x
3) a b a b a b , a,b 0, x,y .
 
      


Từ bài toán này tôi xây dựng một số bài tập sau đây.

Bài toán 2. Chứng minh
m n m n m n m n m n m n
m n m n m n m n m n m n
n n n n n n
a b b c c a
a b b c c a
a b b c c a (1), a,b,c 0, m,n .
     

b c c a
b c , c a .
b c c a
   
   
 
 
 
Cộng
ba bất đẳng thức này, vế với vế, ta được bất đẳng
thức cần chứng minh.

Bây giờ, với
x, y,z 0, n *
   

thì luôn có
n n n
n
x y z x y z
( ) ,
3 3
   

do đó từ (1) ta có bất
đẳng thức hệ quả
m n m n m n m n m n m n
m n m n m n m n m n m n
n
a b b c c a

     
  
  
  


Cho m, n các giá trị cụ thể, ta thu được một số bài
toán thú vị.

Bài toán 3. Chứng minh rằng với a, b, c dương thì
7 7 7 7 7 7
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
abc(a b c) (4).
a b b c c a
  
    
  Bài toán 4. Chứng minh rằng với a, b, c dương thì
4 4 4 4 4 4
2 2 2 2 2 2
a b b c c a
ab bc ca (5).
a b b c c a
  
    
  


b a a b
 
 

    
Tương tự
m m m m
m n m n m n m n
n n n n
m m m m m m
m n m n m n
n n n n n n
b c c a
b c , c a
c b a c
a b c b c a
2(a b c ) (7).
b c a a b c
   
  
      
       

Bài toán 6. Chứng minh rằng với a, b, c dương thì
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c b c a
1) 2(a b c) (8).
b c a a b c
a b c b c a 18