DAYHOCTOAN.VN

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
GIÁO VIÊN: NGUYỄN ĐẮC TUẤN – SƢU TẦM VÀ BIÊN SOẠN
PHẦN I. BÀI TẬP TỰ LUẬN:
DẠNG I. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA:

y  ax3  bx2  cx  d  a  0  .
Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
1
a) y  x3  x 2 ; b) y  x3  3x 2  4; (D- 2008); c) y  x3  6 x 2  9 x; d) y   x3  3x 2 .
3
Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y  x3  3x 2 ;
b) y   x3  3x 2  2;
c) y  x3  3x 2  2; (B - 03, D – 2006, CĐ - 2009);
d) y  2 x3  3x 2  1.
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
a) y  x3  3x 2  1;
b) y  x3  3x 2 ;
1
c) y  x3  2 x 2  3x (B- 2004);
3
d) y  x3  6 x 2  9 x  1 (D – 2004);
e) y  2 x3  3x 2  1; (TN 2008)
f) y  2 x3  6 x 2  5; (Dự bị B - 2007);
g) y  x3  2 x 2  1 (A- 2010).
Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:
1
1
a) y  x3  x 2  (D – 2005);

DAYHOCTOAN.VN
DẠNG III. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC DẠNG:
ax  b
y
 c  0; ad  bc  0 .
cx  d
Bài 7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
2x 1
a) y 
; (B – 2010 & D - 2011);
x 1
3x  4
x 1
3x  2
b) y 
; c) y 
; d) y 
;
2x  3
x2
x 1
2x 1
e) y 
; (Dự bị B – 2003);
x 1
Bài 8. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
3x  1
2x
a) y 
(D – 2007);


điểm phân biệt M, N.
b) Xác định m sao cho độ dài MN là nhỏ nhất.
c) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kỳ của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại P và Q. Chứng minh rằng S là trung
điểm của PQ.
2x 1
Bài 10. a) Chứng minh rằng (d):  d  : y   x  m luôn cắt (C): y 
tại 2 điểm phân biệt với mọi m.
x 1
b) Giả sử (d) cắt (C) tại A, B. Tìm m để AB ngắn nhất. ĐS: m = 1.
x 2  mx  m2  2
Bài 11. Cho hàm số y 
 C  và  d  : y  m. Xác định m sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm
x 1
phân biệt A và B sao cho OA  OB.
Bài 12. (Dự bị A – 2002) Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 1 . Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt Ox
tại bốn điểm phân biệt.
ĐS: m  1 & m  2.
Bài 13. (D – 2008) Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1; 2) với hệ số góc k ( k> -3) đều cắt
(C): y  x3  3x 2  4 tại 3 điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của AB.
DAYHOCTOAN.VN


DAYHOCTOAN.VN
Bài 14. (A – 2003) Tìm m để đồ thị hàm số y 

mx 2  x  m
cắt Ox tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có
x 1


1
ĐS:   m  1 & m  0.
3
Bài 19. (A – 2010) Tìm m để đồ thị hàm số y  x3  2 x 2  1  m  x  m cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có
hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa x12  x22  x32  4.
1
ĐS:   m  1 & m  0.
4
Bài 20. (CĐ - D, 2008) Tìm m để đường thẳng d: y   x  m cắt đồ thị (C): y 

x
tại hai điểm phân
x 1

biệt.

x 1
tại
2x 1
hai điểm phân biệt A và B. Gọi k1 , k2 lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để

Bài 21. (A – 2011) Chứng minh với mọi m đường thẳng  d  : y  x  m luôn cắt đồ thị (C): y 
tổng k1  k2 đạt giá trị lớn nhất.
ĐS: m = - 1.
Bài 22. (D – 2011) Tìm k để đường thẳng y  kx  2k  1 cắt đồ thị (C) của hàm số y 

2x 1
tại hai điểm
x 1


Bài 28. Cho (Cm): y  x3  m( x  1)  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -3.
b) Biện luận số nghiệm của phương trình x 3  3x  m.
c) Tìm m để hàm số (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y  x  1.
Bài 29. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C): y  x 3  3x  1 .
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 .
c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình x 3  3x | m | 2  0 có ba nghiệm phân biệt.
Bài 30. a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số: y  2 x 3  6 x  1 .
b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm phân biệt của phương trình 2 x 3  6 x  1  m  0.
Bài 31. Cho hàm số y  x 3  m  1x 2  m  2x  1
(1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.
x
b) Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng y  và tiếp xúc với đồ thị (C).
3
c) Chứng minh rằng hàm số (1) luôn luôn có một cực đại và một cực tiểu.
d) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C).
e) Biện luận theo k số nghiệm của phương trình x 3  3x  k.
Bài 32. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y   x 4  2 x 2  2.
b) Chứng minh rằng với mọi m  2, phương trình  x 4  2 x 2  2  m  0 có hai nghiệm.
c) Từ đồ thị (C) của hàm số đã cho suy ra cách vẽ đồ thị hàm số y  |  x 4  2 x 2  2 | .
Bài 33. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y  2 x3  6 x  1  C  .
b) Xác định k để phương trình: 2 x3  6 x  1  k  0 có 6 nghiệm phân biệt.

ĐS: -3 < k < 0.

Bài 34. (B – 2009) Cho hàm số y  2 x 4  4 x 2 (1)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
b) Với giá trị nào của m, phương trình x 2 | x 2  2 |  m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt. ĐS: 0 < m < 1.
Bài 35. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: f ( x)  x 4  x 2 .

Bài 40. (D - 2007). Tìm tọa độ điểm M thuộc (C): y 
, biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox,
x 1
Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 1 / 4.
(m  1) x  2m  1
Bài 41 Cho hàm số y 
(m là tham số) có đồ thị (G).
x 1
a) Xác định m để đồ thị (G) đi qua điểm (0; -1).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m tìm được.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trên tại giao điểm của nó với trục tung.
Bài 42. Cho (C): y  x 3  3x 2  2.
a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(x0; f(x0)), với x0 là nghiệm của phương trình f ' ' ( x)  0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 3).
1
3
Bài 43. Cho hàm số (C): y  x 4  3x 2  .
2
2
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số tại các điểm có hoành độ là nghiệm của phương
trình f ' ' ( x)  0.
3
b) Tìm các tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; ).
2
x2
Bài 44. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y 
(C )
x2
b) Tìm trên đồ thị (C) tất cả các điểm mà cách đều hai trục tọa độ.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua A(-6; 5).


2x  3
, biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x +
x2

2.

x 1
biết tiếp tuyến đi qua P(3; 1).
x 1
b) M là một điểm bất kỳ thuộc (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị
(C) theo thứ tự tại A và B. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Chứng minh diện tích tam giác IAB
không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
x2
Bài 51. (A-2009) Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
, biết tiếp tuyến đó
2x  3
cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
Bài 52. Cho hàm số y  x 3  3mx 2  m  1
(1), (m là tham số thực). Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến
của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ x = -1 đi qua A(1; 2).
1
Bài 53. (B – 2004) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) : y  x3  2 x 2  2 x tại điểm có hoành độ là
3
nghiệm của phương trình f ' ' ( x)  0 và chứng minh rằng d là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

Bài 50. a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y 

PHẦN II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Câu 1. Cho hàm số y  x3  3x 2  9 x  5 có đồ thị (C ). Tiếp tuyến của đồ thị (C ) tại điểm cực đại là đường

2

2x 1
cắt trục tung tại điểm có tọa độ là:
x 1
 1
C.  0; 
D.  1;0 
 2

x 1
(C). Đồ thị (C) đi qua điể m nào?
x 1
B. (5;2)

7
2

C. (4; )

D. (3;4)

Câu 5. Số giao điể m của đồ thị hàm số y  ( x  3)( x2  x  4) với tru ̣c hoành là
A. 1
B. 3
C.0
D.2
Câu 6. Đồ thị của hàm số nào có hình dạng như hình dưới?

DAYHOCTOAN.VN

2x  3
3x  1

Câu 8. Đường cong trong hình bên dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt

kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ?
y
- 2
0

1

1

A. y  2 x 2  x 4

2

x

B. y  2 x 2  x 4

C. y  2 x 2  x 4  1

D. y  2 x 2  x 4  1

Câu 9: Đồ thị hàm số y  x3  3x  2 là hình nào trong 4 hình dưới đây?
y

y


x


DAYHOCTOAN.VN
y

y
3

-1

O

x

1

1
-1

x

O
1
-1

-2

-4


B. Hình 2.

y

y

1

2
x

O
1

x
O

C. Hình 3.

1

D. Hình 4.

Câu 11.
Đường cong trong hình bên d ư ớ i là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

DAYHOCTOAN.VN


3

Câu 14. Cho hàm số y  x  6 x  9 x  1 có đồ thị (C). Đường thẳng y = 3 cắt (C) tại mấy điểm?
A. 2
B. 3
C. 1
D. 0
-X^4+2*X^2
4
2
Câu 15. Cho hàm số y  x  2 x có đồ thị (C ). Đường cong nào trong các đường cong sau đây là đồ thị
X^4-2*X^2
(C )?
3

2

1
1

1
1

-X^4-2*X^2

A.

B.
1
X^4+2*X^2

25

D. 

6
25


DAYHOCTOAN.VN
Câu 17. Đường cong dưới đây là đồ thị của một trong bốn hàm số được cho ở các phương án A, B,
y
C, D. Hỏi đó là hàm số nào ?
A. y  x3  3x  1
C. y   x3  3x  1

B. y  x3  3x  1
D. y  x 4  3x 2  1

1
x

O

Câu 18. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y 
A. -2

B. 0

D. Đáp số khác



1 3
x  x  1 tại điểm có hoành độ x0 =3 là:
3

C. y  8x  31

D. y  8x  17

x 2  3x  1
tại giao điểm của đồ thị với trục tung có phương trình
2x 1
C. y   x  1

D. y   x  1

Câu 22. Số giao điểm của đồ thị hàm số: y =  x  2 x  1 với trục Ox bằng:
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4
3
Câu 23. Số giao điểm của đồ thị hàm số: y = x  4 x với trục Ox bằng:
A. 3
B. 4
C. 1
D. 2
3
2
Câu 24. Số giao điểm của đường cong: y  x  2 x  2 x  1 và đường thẳng y   x  1 bằng:

4
4
2
2mx  3m  1
Câu 27. Tất cả giá trị m để đồ thị hàm số y 
cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng -4 là:
2 x  m2
1
1
1
A. m  1 hoặc m 
B. m  1
C. m 
D. m 
4
4
5
Câu 28: Đồ thị sau là của hàm số nào:
4

DAYHOCTOAN.VN

2


DAYHOCTOAN.VN
y

-1 0


A. y 

x  2
x 1

B. y  x  2 x  1
4

2

C. y  x  3x  4
3

2

D. y 

x2
2x  1

Câu 31. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3  3x2  2  m có ba nghiệm phân biệt:
A. m = 2 hoặc m  2
C. m > 2
Câu 32. Cho hàm số y 

B. m  2
D. 2  m  2

x 1
có đồ thị (H), phương trình tiếp tuyến của (H) tại giao điểm của (H) với trục

2x  3
Câu 36. Cho hàm số y 
có đồ thị (C ) .Tiếp tuyến với (C ) tại giao điểm của (C) với trục tung là :
x 1
A. y  5x  3
B. y  5x  3
C. y  5x  3
D. y  5x  3
xm
Câu 37. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ bằng 0 và song song với đường thẳng
x 1
d: y  3x  2 khi
A. m  2
B. m  1
C. m  2
D. m  3

A. y  3x

B. y  3x  3

Câu 38. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y 
DAYHOCTOAN.VN

C. y  x  3

D. y 

1 3

D. m  4
3

2

Câu 42. Gọi M, N là giao điểm của đồ thị hàm số y  x  1 và y 

2x  4
. Khi đó hoành độ trung điểm của
x 1

đoạn thẳng MN bằng:
A. 1
B. 2
C. 1
D. 2
3
Câu 43. Hàm số y  x  x  2 có đồ thị ( C). Tiếp tuyến của ( C) vuông góc với đường thẳng
1
y   x  2016 có phương trình là:
4
A. y  4( x 1), y  4( x  1)  4
B. y  4( x  1), y  4( x  1)  4
C. y  4( x  1), y  4( x  1)  4
D. y  4( x  1), y  4( x  1)  4
Câu 44. Tất cả giá trị của tham số m để phương trình x4  2 x2  1  m  2 có 2 nghiệm là :
A. m  4, m  3
B. m  4
C. m  3
D. m  3

2

B. 6  m  2

C. 

3
1
m
2
2

D. 2  m  6

Câu 48
Với giá trị nào của tham số m, phương trình : x3  3x  2  m  0 có hai nghiệm?
A. m  0, m  4
B. 2  m  6
C. m  2, m  6
D. m  4
Câu 49
Phương trình x4  4 x2  1  2m  0 có 3 nghiệm khi tham số m thỏa giá trị nào sau đây?
A. m 

1
2

Câu 50
Cho hàm số y 


 m  1
D. 
m  3


DAYHOCTOAN.VN
Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y  2 x3   2  m  x  m cắt trục hoành tại 3
điểm phân biệt . Kết quả nào đúng?
1
1
1
1
A. m   , m  4
B. m 
C. m  
B. m 
2
2
2
2
Câu 52: Xác định a, b để hàm số y 

ax  1
có đồ thị như hình vẽ bên. Chọn đáp án đúng?
xb
y

1
-1



1

x

B. a  2, b  1, c  1.
D. a  2, b  1, c  1.

ax  1
có tiệm cận đứng x  1 , tiệm cận ngang y  2 và đi qua điểm A  2; 3 .
cx  d

ax  1
là hàm số nào trong bốn hàm số sau:
cx  d
3 2 x  1
2x 1
2 x  1
.
.
A. y  .
B. y 
.
C. y 
5 x 1
1 x
x 1

Lúc đó hàm số y 


.
x 1

B. y 

2x  3
.
x 1

2

C. y 

x 1
.
2x 1

D. y 

2x  5
.
x 1

Câu 56: Cho đồ thị hàm số y  f  x  hình bên. Khẳng định nào đúng?
y

1
-2

-1



0



1

0

Khẳng định nào sau đây và khẳng định đúng?
A. Đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận.
B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ;0  và  0;   .
C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận.
D. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 1 và giá trị nhỏ nhất bằng 0.
Câu 58: Đồ thị của hàm số y  x 4  2 x 2  1 là đồ thị nào trong các đồ thị sau

DAYHOCTOAN.VN


DAYHOCTOAN.VN

A.

B.

C.

D.