BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

KIỀU THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ TOÁN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO
CỦA SỢI DÂY

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA - 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

KIỀU THỊ NGỌC ÁNH

PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH
VẬT LÝ TOÁN PHẦN DAO ĐỘNG TỰ DO
CỦA SỢI DÂY

CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn: TS. Khổng Cát Cương

SƠN LA - 2013



Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC................................................................................4
1.1. Phương trình vi phân tuyến tính.......................................................................4
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất......................................4
1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai.......................................................4
1.1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi. 4
1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có hệ số
không đổi..................................................................................................................5
1.2. Chuỗi Fourier....................................................................................................6
1.2.1. Khái niệm chuỗi Fourier................................................................................6
1.2.2. Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier..................................................7
1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ.......................................................................................9
1.2.4. Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier.........................................................10
1.2.4.1. Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác..................................................10
1.2.4.2. Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ...............................................................13
1.3. Phương trình sóng một chiều..........................................................................13
1.3.1. Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý
................................................................................................................................. 13
1.3.2. Phân loại phương trình toán lý....................................................................15
1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic...........................................................................15


1.3.2.2. Phương trình Parabolic.............................................................................16
1.3.2.3. Phương trình Eliptic..................................................................................17
BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ....................................................19
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY...........................................................19
Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH DAO
ĐỘNG TỰ DO CỦA SỢI DÂY...............................................................................20
2.1. Thiết lập phương trình dao động của sợi dây.................................................20
2.1.1. Lập phương trình..........................................................................................20
2.1.2. Các điều kiện ban đầu và điều kiện biên......................................................23

Giữa vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ hết sức mật thiết. Vật lý học
sử dụng công cụ toán học và luôn luôn đặt ra những yêu cầu mới, làm nảy sinh
nhiều ngành toán học mới. Ngược lại sự phát triển của vật lý học phụ thuộc đáng kể
vào sự phát triển của toán học vì toán đã trở thành một công cụ hết sức mạnh mẽ
của việc nghiên cứu vật lý lý thuyết.
Trong bộ môn phương trình Vật lý- Toán có sự giao thoa giữa toán và vật lý,
do đó nó đã và đang được giảng dạy trong các trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
khoa Vật lý của các trường Sư phạm, nhằm trang bị cho sinh viên những kiến thức
toán cần thiết và các kỹ năng sử dụng toán như một công cụ để học cũng như để
nghiên cứu vật lý.
Thực tế, khi nghiên cứu và tiếp thu các kiến thức của các học phần thuộc lĩnh
vực vật lý lý thuyết của sinh viên nói chung gặp rất nhiều khó khăn. Với kiến thức
về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và
nghiên cứu các môn học như: Cơ học lượng tử, Điện động lực học, Nhiệt động lực
học, Vật lý thống kê… Vì vậy yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên là phải nắm vững
kiến thức đại số và giải tích toán học cùng kiến thức cần thiết của phương trình Vật
lý- Toán mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này. Việc giải một bài tập đòi
hỏi sinh viên phải biết kết hợp kiến thức vật lý và toán học, điều này thể hiện rất rõ
ở phần bài toán dao động tự do của sợi dây.
Là sinh viên Sư phạm Vật lý tôi nhận thấy bộ môn phương trình Vật lý - Toán
là môn học tương đối khó, trong đó có các bài toán về dao động tự do của sợi dây.
Trong khi đó, ở thời điểm hiện tại, các tài liệu tham khảo về các dạng bài tập này
còn hạn chế, các phương pháp còn mang nặng tính khái quát, thiếu cụ thể.

1


Với lí do như trên, tôi đã chọn đề tài có tên “ Phương pháp giải bài tập
phương trình vật lý toán phần dao động tự do của sợi dây” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu

chi tiết.
- Từ tháng 11/2012 đến tháng 1/2013: Nghiên cứu lý thuyết, phân loại các bài
tập, xây dựng phương án giải bài tập phần dao động tự do của sợi dây.
- Từ tháng 2/2013 đến giữa tháng 3/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham
khảo.
- Từ giữa tháng 3/2013 đến hết tháng 4/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa
luận.
- Tháng 5/2013: Bảo vệ khóa luận.

3


PHẦN HAI: NỘI DUNG
Chương I: CƠ SỞ TOÁN HỌC

1.1. Phương trình vi phân tuyến tính
1.1.1. Phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất
+ p(x)y = C(x)
Phương trình dạng: y�

(1.1)

Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số
+ p(x)y = 0
 Bước 1: Giải phương trình thuần nhất: y�

Nếu y �0 khi đó phương trình (1.2) trở thành

(1.2)



p  x  dx
�
dx

1.1.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
1.1.2.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai thuần nhất có hệ số không đổi
�
+ py�
+ qy = 0
Phương trình dạng: y�

(1.3)

 Bước 1: Giải phương trình đặc trưng k 2 + pk + q=0

4

(1.4)


Trong tập số phức C phương trình này có nghiệm là k1 , k 2
 Bước 2: Xác định nghiệm tổng quát
+ Nếu k 1 và k 2 là các nghiệm thực khác nhau, khi đó 2 nghiệm riêng của
kx
k x
phương trình là: y1 = e , y 2 = e .
1

2


y1 + y 2
y - y2
= eαx cosβx , y = 1
= eαx sinβx
2
2i

cũng là 2 nghiệm riêng độc lập tuyến tính. Thay vào (1.3) ta có nghiệm tổng quát
αx
của (1.3) có dạng: y = e  C1cosβx + C2sinβx  .

1.1.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không thuần nhất có hệ số
không đổi
�
+ py�
+ q = f(x)
Phương trình dạng: y�

Nghiệm tổng quát của phương trình có dạng y = y + y* ,trong đó:

5

(1.5)




y là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng



Thay y* vào phương trình (1.5) và đồng nhất ta hai vế ta được (n+1) phương
trình bậc nhất của (n+1) ẩn là hệ số của Q n (x) từ đó xác định được Q n (x) .
 Trường hợp 2: f(x) = eαx  Pm (x)cosβx + Pn (x)sinβx 
Trong đó Pm (x) và Pn (x) là các đa thức bậc m, n; α, β là hằng số thực.
+ Nếu α ± iβ không là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một
*αx
nghiệm riêng của phương trình có dạng: y = e

 Q1 (x)cosβx + R1 (x)sinβx  .

(1.10)

+ Nếu α ± iβ là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.4) thì một nghiệm riêng
*αx
của phương trình có dạng: y = xe

 Q1 (x)cosβx + R1 (x)sinβx  .

Trong đó: Q1 (x), R 1 (x) là các đa thức bậc l = max  m,n  .

6

(1.11)


Để xác định Q1(x), R1(x) thay y* vào phương trình rồi cân bằng hệ số của
sinβx , cosβx .

1.2. Chuỗi Fourier

L �

(1.12)

(1.12) được gọi là chuỗi lượng giác Fourier biểu diễn hàm f(x) trong khoảng (-L,L)
Các hằng số a 0 , a n và b n được gọi là các hệ số Fourier của chuỗi, trong đó:
a0 =

 f,l 
l

2

L

1

f(x)dx .
2L -L�

nπx �
�
f,cos
�
� L
nπx
L � 1
�
an =
 �

7


- Hàm f(x) có một số hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các
điểm gián đoạn trong khoảng (-L,L).
 Giả sử khoảng (-L,L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x). Chuỗi Fourier xác
định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển
tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ.
 Dấu bằng (=) trong biểu thức (1.12) có thể được trình bày bằng dấu gần bằng
(), có nghĩa là "tương đương với ", bởi vì chuỗi bên phải không phải hội tụ thành
hàm f(x) đối với mọi giá trị của x. Chuỗi Fourier chỉ biểu diễn hàm f(x) trong
khoảng Fourier đầy đủ.
% là sự mở rộng của hàm
Một cách chọn khác, người ta có thể xác định hàm f(x)
% là mở rộng tuần hoàn của
f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ. Như vậy, hàm f(x)
%
% , ngược lại hàm f(x) đối với mọi x
= f(x)
hàm f(x), -L  x  L có tính chất f(x+2L)

không phải là hàm tuần hoàn.
 Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi các hệ số a o, an và bn được
tính cụ thể. Do đó, có một số hàm không có biểu diễn chuỗi Fourier, ví dụ như các
hàm:

1 1
,
không có biểu diễn chuỗi lượng giác Fourier trong khoảng (-L,L). Chú
x x2

�là giá trị trung bình của giới hạn trái và phải
2

của bước nhảy gián đoạn.


N
nπx
nπx �
�
S
x
=
a
+
a n cos
+ bn sin
Hàm N  
0 �
�
�được gọi tổng riêng thứ N, nó biểu
L
L �
n = 1�

diễn tổng của N số hạng đầu tiên. Người ta thường vẽ xấp xỉ hàm SN  x  khi biểu
diễn chuỗi Fourier bằng đồ thị. Hàm f(x) bất kỳ có một điểm bước nhảy gián đoạn
thì hàm SN  x  có đồ thị tại lân cận bước nhảy gián đoạn là dạng hàm dao động.
Hiệu ứng này gọi là hiệu ứng Gibb. Hiệu ứng Gibb luôn có mặt khi người ta dùng
một chuỗi hàm liên tục để biểu diễn một hàm gián đoạn, hiệu ứng này vẫn tồn tại

n

n=1

�
+ n �
�
�a �
�b n �

Trong đó: C n = a n2 +b n2 được gọi là biên độ; φ n = arctg � n �được gọi là pha; số
�nπx
�
+φ n �được gọi là dao động điều hòa thứ n. Dao động điều
�L
�

hạng thứ n: C n sin �

hòa thứ nhất (n = 1) được gọi là dao động điều hòa cơ bản.
1.2.3. Hàm chẵn và hàm lẻ
Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn của x nếu f(-x) = f(x) với mọi giá trị của x,
hàm chẵn đối xứng dọc theo trục y. Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ của x nếu

9


f(-x) = -f(x) với mọi giá trị của x. Các tính chất sau của hàm chẵn và hàm lẻ cho

phép đơn giản biểu diễn Fourier.


0

0

0

0

fξ dξ
ξ dξ
ξ dξ
ξ dξ
 = f�ξ dξ
 + f�ξ dξ = f�
 + f�
 = 2 f�

�
L

f  x  dx = 0
 Nếu f(x) là hàm lẻ của x, tức là f(-x) = - f(x) thì �
-L

L

0

L


�

�b sin
n

n=1

nπx
,0

�

�

a cos
��
�
n

n=1

nπx
nπx �
+ b n sin
�, -L < x < L
L
L �

Với các hệ số:
a0 =

 f,l 
l

2

L

=

 �
f(x)sin
dx .
2
L -L
L
nπx
sin
L

Đôi khi người ta còn biểu diễn dưới dạng đối xứng sau:
f  x =

A0
+
2

�

nπx
nπx �
+ Bn sin
�, -L < x < L
L
L �

�

A cos
��


�

�

a cos
��
�
n

n=1

nπx
nπx �
+ b n sin
�
L
L �

Với các hệ số được xác định theo công thức:

11


a0 =

1
2L

α+2L

 Trường hợp 2: Hàm f(x) xác định trong khoảng   ,  
Hàm f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:
f(x) = a 0 +

�

�(a cosnx + b sinnx)
n

n

n=1

Các hệ số được xác định như sau:
π

1
a0 =
f(x)dx .
2π -π�
π

an =

1
f(x)cosnxdx .
π -π�
π

1

2π -�
�

�

�1 �
�
f(x) = �
f(ξ)(cosαξcosαx + sinαξsinαx)dξ �
dx =
� �
2π
- �� - �
�

�

�1 �
�
f(ξ)cosα(x
ξ)dξ
dx
�
�
�2π �
- �� - �
�

Dạng phức của chuỗi Fourier được xác định bằng đồng nhất thức Euller:
e


inπx
L

-e
2i

-

inπx
L

(1.13)

1.2.4.2. Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ
Từ (1.13) ta có khai triển chuỗi Fourier dạng mũ
f  x =

=

�
An
�
�
n = 1 �2
�

A0
+
2

1 �
1 �
+ � A n - iBn  e L + � A n + iBn  e L .
2
2 n=1
2 n=1

Các hằng số được xác định như sau:
L

C0 =

A0
1
=
f  x  dx .
2
2L -L�

L

Cn =

L

-inπx
1
1 �
nπx
nπx �

L

inπx
1
1 �
nπx
nπx �
1
C- n =  A n + iBn  =
f  x  cos
+ if  x  sin
dx =
f  x  e L dx .
�
�
�
2
2L -L�
L
L
2L
�
�
-L

Như vậy: f  x  = C0 +

�

�C e


�Cn e

inπx
L

n=1

Biểu thức này là dạng phức của chuỗi Fourier: f  x  =

�

+

�C- n e

inπx
L

.

n = -1

�

�Cn e

inπx
L


, 2,
,..., k1
x1
�
xn �
x1 �
x1�
x2
�
x1 ...�
xn kn
� �

�
� 0 .
�

trong đó:
 F là hàm nhiều biến.
 x = (x1 , x 2 ,..., x n ) là vectơ trong không gian Euclide n chiều Rn.
+ u  x  là hàm chưa biết k1 + k 2 +...+ k n = m .
Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cao cấp nhất trong phương trình.
Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với
hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng.
Phương trình vật lý toán là các phương trình mô tả sự biến thiên của trường
theo thời gian có dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng. Các phương trình vật lý
toán cơ bản thường gặp đó là các phương trình dao động sóng, phương trình truyền
nhiệt, phương trình Laplace.
Trong các bài toán vật lý, phương trình thường gặp là các phương trình vi
phân đạo hàm riêng cấp hai (m = 2). Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai

x y
�
y
�
x
�
y

(1.14)

trong đó A, B, C, D, E, F, G là các hàm chỉ phụ thuộc vào x, y.
Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào x, y thì nó là phương trình
tuyến tính với hệ số hằng. Phương trình gọi là tuyến tính thuần nhất khi G  x,y  =0 .

1.3.2. Phân loại phương trình toán lý
Nhờ phép biến đổi thích hợp ta có thể đưa phương trình (1.14) về một trong ba
dạng sau.
1.3.2.1. Phương trình Hyperbolic
Nếu AC - B2 < 0 trong một miền nào đó thì phương trình (1.14) có thể viết
được dưới dạng:

�2 u �2 u
�
u
�
u
- 2 + D1
+ E1
+ F1u = G1 (ξ,η)
2



Trong đó: a là hằng số tốc độ.
- Nếu g  x,t  = 0 dao động là dao động tự do.
- Nếu g  x,t  �0 dao động là dao động cưỡng bức.
Để tìm nghiệm dưới dạng tường minh, cần phải có các điều kiện biên cho
phương trình dao động. Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động của dây
thường có dạng sau:
a. Điều kiện Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng
B(u)

x=0

= u(0,t) = g1 (t)

B(u)

x=l

= u(l,t) = g 2 (t)

b. Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng
B(u)

x=0

B(u)

x=l


= � + hu � = g 5  t 
n
��
�x = 0
u
��
�
= � + hu � = g 6  t 
n
��
�x = l

r
r
�
u
= gradu.n ; n là vectơ pháp tuyến đơn vị.
�
n





Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận
tốc ban đầu: u(x,0) = f(x) ;

�
u  x,0 
= F x

2
�
u
1
2 �u
-a
=
g(x,t)
phương trình truyền nhiệt:
2
�
t
�
x
cρ

nghĩa là D 2 = F2 �0 , trong đó a =

(1.18)

k
gọi là hệ số khuếch tán.
cρ

1.3.2.3. Phương trình Eliptic
Nếu AC - B2 > 0 trong một miền nào đó thì phương trình (1.14) có thể viết
dưới dạng:

�2 u
�2 u

�
x2

nghĩa là D3 = E 3 = F3 = G 3 �0 .

17


 Chú ý: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường có vô số nghiệm, vì vậy
ta phải đặt thêm các điều kiện phụ sau để xác định nghiệm của chúng.
+ Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t = 0 .
+ Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của không gian.
Từ đây hình thành ba bài toán đối với các phương trình vật lý toán.
+ Bài toán hỗn hợp là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều
kiện ban đầu và điều kiện biên.
+ Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều
kiện ban đầu.
+ Bài toán dừng là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện biên.
Trong các bài toán trên, ta phải đặt ra các điều kiện phụ sao cho nghiệm của
bài toán đó tồn tại duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện này, nghĩa là sai
số nhỏ của các điều kiện phụ (do sai số của các phép đo trong thực tế) chỉ kéo theo
sai số nhỏ của nghiệm.
Dưới đây là bảng phân loại các dạng bài tập về phương trình dao động của
sợi dây.

18


BẢNG PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY

Cho giá trị trên biên
của u �
x
Cho giá trị trên biên của
αu �
x +βu

-�< x
x=l

= ψ(t)

u�
x (x,t)

x=0

=0,

u�
x (x,t)

x=l

=0

u�
x (x,t)

x=0

= α,

u�
x (x,t)

x=l