19 bài tập - Khoảng cách giữa hai đường thẳng (Dạng 2) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = 2a , hình chiếu vuông
góc của đỉnh S lên mặt phẳng ( ABC ) trùng với trung điểm H của cạnh AB. Biết SH = a , khoảng cách
giữa 2 đường thẳng SA và BC là:
A.

2a
3

B.

4a
3

C.

a 3
2

D.

a 3
3

Câu 2. Cho hình lăng trụ ABC.A' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh a, gọi M là trung điểm của AB, tam

a3 3
giác ( A ' CM ) cân tại A ' và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết thể tích lăng trụ bằng
.
4
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB và CC ' .

2a 13
3

C.

2a 51
13

D.

2a 38
17

Câu 4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a 3 , BC = 2a .
Gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM , B ' C biết AA ' = a 2 .
A.

a 10
10

B. a 2

C.

a 30
10

D. 2a

Câu 5. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A' B ' C ' có AC = a, BC = 2a, ACB = 120 và đường thẳng A ' C tạo


6a
11

C.

a
11

D.

3a
11


a 21
.
7
Góc tạo bởi mặt bên với mặt phẳng đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, SC. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, MN.
Câu 7. Cho hình chóp đều S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy ( ABC ) bằng

A.

9a 3
42

B.

3a 3

D. a 2

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 2a , SA ⊥ ( ABCD ) . Gọi
M là trung điểm của AD. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng CM và SA là:
A.

6a
13

B.

3a
10

C.

2a
5

D.

6a
10

Câu 10. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , đáy ABC tam giác vuông tại B có

AB = a , BC = a 3 . Biết SA =
A.

a 39

15

C.

2a 39
13

D.

2a 145
29

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AD, các đường thẳng SA, AC
và CD đôi một vuông góc với nhau; SA = AC = CD = a 2 và AD = 2BC . Tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB và CD.
A.

a 5
2

B.

a 5
5

C.

a 10
5


trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SI và AB là?
A.

a 17
4

B.

a 57
19

C.

a 23
7

D.

a 17
7

Câu 15. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Có CA = a , CB = b , cạnh SA = h vuông
góc với đáy. Gọi D là trung điểm cạnh AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD là?
ah

A.

a 2 + h2

B.


a 3
2

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) .

AB = AC = SA = 2a . Gọi I là trung điểm của BC. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SI, AC.
A.

2a 10
5

B.

2a 5
5

C.

a 10
5

D.

a 5
5

Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng ( SAB ) và ( SAD ) cùng
vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABCD ) bằng 60°. Tính theo a khoảng cách giữa hai
đường thẳng SB, AD.

C.

a 10
10

D.

a 10
5


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án A
+) Dựng Ax / / BC  d ( SA, BC ) = d ( B; SAx )
+) Dựng HK ⊥ Ax  ( SHK ) ⊥ Ax
+) Dựng HE ⊥ SK  d ( B, SAx ) = 2d ( H , SAx )
Ta có: HK = AH sin HAK = a sin 56 =
d ( H , SAx ) = HE =

SH .HK
SH 2 + HK 2

+) Do đó d ( SA, BC ) =

=

a
2

a


Hoặc các em có thể tính như sau:
d ( C ', ( A ' AB ) ) = 2d ( H , ( A ' AB ) ) =

2. A ' H .MH
A ' H 2 + MH 2

Câu 3. Chọn đáp án A
+) Dựng HK ⊥ CD  CD ⊥ ( SHK )
do vậy ( SCD, ABCD ) = SKH = 45 .
Ta có: HKD vuông cân tại K do vậy
HK = KD =

3a
3a
 SH = HK tan 45 =
.
2
2

+) Dựng Ax / / BD ta có:


d ( SA, BD ) = d ( BD, ( SAx ) ) = d ( H , ( SAx ) )

Dựng HE ⊥ Ax  HE = OA = a 2
Dựng HF ⊥ SE  HF ⊥ ( SAx )
Ta có: HF =

SH .HE


BC
1
a
.
= a, AB = a 3, BN = BB ' =
2
2
2

1
1
1
= 2+
d ( B, ( AMN ) ) a
a 3

(

2

 d ( B, ( AMN ) ) =

)

2

+

1

= AC.BC.sin ACB =
.
2
2

AB2 = AC 2 + BC 2 − 2 AC.BC.cos BCA = 7a 2  AB = a 7


 CH =

2.SABC a 21
a 21
=
 d ( A ' B, CC ') =
AB
7
7


Câu 6. Chọn đáp án A
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

 AO ⊥ BD  BD ⊥ ( SAO ) .
Do đó

( ( SBD ) , ( ABCD ) ) = SOA = 60  SA = a 2 6 .

Qua C vẽ đường thẳng song song với BM cắt AD tại E.
Khi đó BM / / ( SCE )  d ( BM , SC ) = d ( M , ( SCE ) )
Mà ME =

2 3a
2a
=
3 11
11

Câu 7. Chọn đáp án A
Gọi H là tâm của tam giác ABC, I là trung điểm của BC.
Suy ra

(( SBC ) , ( ABC )) = ( SI , AI ) = SIA = 60 .

Đặt AB = x  HI =



1
x 3
x
AI =
 SH = tan 60.HI =
3
6
2

x a 21
2a 21
3a 2 3
=
x=

Do đó d ( A, ( MNP ) ) =

9a 3
9a 3
 d ( SA, MN ) =
42
42


Câu 8. Chọn đáp án C
Lấy H là hình chiếu của A lên SB.

AB ⊥ BC ⊥ SA  BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AH
AH ⊥ SB  AH ⊥ ( SBC )  d ( A, ( SBC ) ) = AH

Ta có: Vì AD / / ( SBC ) chứa SM
 d ( AD, SM ) = d ( AD, ( SAB ) ) = d ( A, ( SAB ) ) = AH

Tính:

AM = BA2 + BM 2 =

a 5
 SA = SM 2 − AM 2 = a
2

1
1
1
a

Dựng BH ⊥ AC dễ thấy AE = BH =
Ta có: AF =

AE.SA
SA2 + AE 2

=

a 30
10

a 3
2


Câu 11. Chọn đáp án D
Dựng DN / / BM  N là trung điểm của AB.
Khi đó d ( SD, BM ) = d ( BM , ( SDN ) )
= d ( B, ( SDN ) ) = d ( A, ( SDN ) )

Dựng AE ⊥ DN  DN ⊥ ( SAE ) , dựng AF ⊥ SE
 AF ⊥ SE
 AF ⊥ ( SDN )
khi đó 
AF
⊥
DN


Do vậy d ( B, ( SDN ) ) = d ( A, ( SDN ) )

Do đó ABCI là hình vuông suy ra AB ⊥ AD .
Có CD / / BI  CD / / ( SBI )  d ( SB, CD ) = d ( C , ( SBI ) )
Gọi H = AC  BI và AK ⊥ SH tại K.
Ta có AK ⊥ ( SBI )  d ( C , ( SBI ) ) = d ( A, ( SBI ) ) = AK .
Nên
1
1
1
a 10
a 10
= 2+
 AK =
 d ( C , ( SBI ) ) =
.
2
2
AK
SA
AH
5
5
Câu 13. Chọn đáp án C
Do AD / / BC
 d ( AD, SC ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )

Kẻ AH ⊥ SB
 BC ⊥ AB
 BC ⊥ ( SAB )  BC ⊥ AH
Ta có 
BC

Ta có AD =
Ta có

1
a 3
MC =
2
4

1
1
1
19
a 57
=
+
= 2  AH =
2
2
2
AH
AS
AD
3a
19

 d ( SI , AB ) =

a 57
19

+) Gọi H là trung điểm của cạnh BC

 A ' H ⊥ ( ABC )  A ' H ⊥ HC  HC ⊥ HA ' .
 HC ⊥ HA
+) ABC cân tại A  AH ⊥ HC  
 HC ⊥ HA '

 HC ⊥ ( A ' AH )  BC ⊥ ( A ' AH )

b
2


+) Kẻ HP ⊥ A ' A( P  A ' A)  BC ⊥ HP

 HP là đường vuông góc chung của A ' A và BC

 d ( A ' A, BC ) = HP .
+) A ' BC vuông cân tại A '  A ' H =

BC
= a 3.
2

+) Cạnh HA = AB 2 − BH 2 = 4a 2 − 3a 2 = a
Câu 17. Chọn đáp án B
+) Gọi E là trung điểm của cạnh

AB  AC / / IE  AC / / ( SEI )
 d ( AC , SI ) = d ( AC , ( SEI ) ) = d ( A, ( SEI ) )


d
AC
,
SI
=
(
)
AP 2 SA2 AE 2 4a 2 a 2 4a 2
5
5
Câu 18. Chọn đáp án B

( SAB )  ( SAD ) = SA

+) ( SAB ) ⊥ ( ABCD )  SA ⊥ ( ABCD )

( SAD ) ⊥ ( ABCD )

 ( SB, ( ABCD ) ) = SBA = 60
+) AD / / BC  AD / / ( SBC )
 d ( AD, SB ) = d ( AD, ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) )

+) Ta có AB ⊥ BC , kẻ AP ⊥ SB ( P  SB )
 d ( A, ( SBC ) ) = AP  d ( AD, SB ) = AP .

Câu 19. Chọn đáp án D


Lấy M là trung điểm BC, H là hình chiếu của A lên SM.