SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI BẬC THPT
CHU KỲ 2011 – 2015

Đề thi chính thức

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài 180 phút ( Không kể thời gian giao đề)

Câu 1.(4,0 điểm)
a. Hãy trình bày các con đường dạy học định lí toán học. Nêu các hoạt động củng cố định lý toán học.
b. Trong SGK lớp 12 (NXB Giáo dục) có định lí: “ Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K.
Nếu f '(x)  0 , x  K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. Nếu f '(x)  0 , x  K thì hàm số f(x)
nghịch biến trên K ”.
Hãy nêu bốn ứng dụng của định lí trên (không cần ví dụ) để giải một số dạng bài tập toán .
Câu 2. (4,0 điểm)
a. Hãy nói rõ chức năng của bài tập toán trong dạy học toán bậc THPT.
b. Hãy nêu hai quy trình giải bài toán: “ Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường
thẳng chéo nhau trong không gian tọa độ Oxyz khi biết phương trình tham số của hai đường thẳng đó
”.
Câu 3. (5,0 điểm)

 xy + x + 1 = 7y

a. Cho hệ phương trình: 

2 2
2
 x y + xy + 1 = 13y


a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = x

( 5 − x )3

trên đoạn 0;5 .

b. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a  b  c và a 2 + b2 + c2 = 5 . Chứng minh rằng:

(a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca)  − 4
---Hết---Họ và tên thí sinh……………………………………….SBD……………………………

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

HƯỚNG DẪN CHẤM HỘI THI GIÁO VIÊN DẠY GIỎI
BẬC THPT CHU KỲ 2011 – 2015
Đáp án: MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang)

Câu

Ý

Nội dung

1

0,25

Nêu bốn ứng dụng của định lí đã cho
- Xét sự biến thiên của hàm số.

0,5

- Chứng minh hàm số đồng biến,nghịch biến

0,5

- Chứng minh bất đẳng thức

0,5

- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

0,5

- Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

..

- Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất
- Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình, hệ pt có nghiệm.
( Thí sinh nêu đủ bốn ý thì cho điểm tối đa )
2

a



 AB.u1 = 0

+ Điều kiện để AB là đoạn vuông góc chung của d1, d2 là: 

 AB.u 2 = 0

(*)

0,25

0,25

+ Giải hệ (*) tìm t, k từ đó tìm A, B

0,25

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua A, B

0,25

Quy trình 2:
+ Tìm các vtcp u1 u 2 của d1, d2. và chọn vtcp của đường vuông góc chung của
0,25

đường vuông góc chung d là u =  u1 ;u 2 








) (*)

Giải cách 1: Xét y = 0, từ (2) suy ra 1 = 0 (vô lí).

1 x

x
+
+ =7

y
y
1
x

Xét y  0: (*)   2
. Đặt u = x + , v =
y
y
 x + 1 + x = 13
2
2
 y
y
y

0,5


1

x+ =4
y = 1

y
u = 4

2
 3y − 4y + 1 = 0  
+ Nếu 
ta có hệ 
y = 1
v = 3
x = 3
3

 y

0,5

 1
 3

Khi đó hệ có nghiệm: ( 3;1) ; 1; 

 u = −5
, giải tương tự ta có hệ vô nghiệm
v

0,25
0,25
0,25


2

e x (cosx +sinx)
I= x
dx . Đặt ex sinx = t  dt = e x ( sinx +cosx ) dx .
x
 e sinx.(e sinx +1)
0,5

6

Đổi cận x =



1 

 t = e6 ; x =  t = e2
6
2
2



e2

e6

0,5



= ln

t
t +1

e2


0,5

1 6
e
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

5


 6

 e +2
= ln 



Cách 2: Sử dụng véctơ

0,25

+ Chuyển từ bình phương độ dài về bình phương vô hướng

0,25

+ Do ABCD là hình bình hành nên có AB = DC;AD = BC

0,25

+ Biến đổi tương đương (*)

0,25

Cách 3: sử dụng định lý cosin

...

+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC
+ Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABD
+ Do tính chất hình bình hành nên cosA +cosD = 0, công các đẳng thức lại, từ đó
suy ra (*)
( Thí sinh nêu đủ hai cách thì cho điểm tối đa )
b
Mệnh đề đảo: Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm M, N, P theo thứ tự trên các tia
1,0
SA, SB, SC sao cho SA = aSM, SB = bSN, SC = cSP (a, b, c là các số thực) .

SM + SN + SP (1) .
3
3
3

Từ giả thiết ta có :

Từ (1) , (2) suy ra SG = (1 −

 SG − SM =

0,25

a b c
a
b c
+ + = 1  = 1 − + (2)
3 3 3
3
3 3
b c
b
c
− )SM + SN + SP
3 3
3
3

b
b


0,5

Vậy Max f(x) = f(2) = 6 3 , Min f(x) = f(0) = 0

0,5

x[0;5]

x[0;5]

b

(a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca)  − 4
 (a − b)(b − c)(a − c)(ab + bc + ca)  4 (*). Đặt vế trái của (*) là P
0,25

Nếu ab + bc + ca < 0 thì P  0 suy ra BĐT được chứng minh
Nếu ab + bc + ca  0 , đặt ab + bc + ca = x  0

 a − b + b − c  (a − c)
(a-b)(b-c)  
 =
2
4


2

2

4

Từ (1) , (2) suy ra P  x.  (5 − x)  =
x (5 − x)3 (3)
4
9
3

Theo câu a ta có: f(x) = x (5 − x)3  6 3 với x thuộc đoạn [0; 5]
nên suy ra P 

2 3
.6 3  P  4 . Vậy (*) được chứng minh.
9

0,25

Dấu bằng xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

8