Bài 3. PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ
I – TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa: Cho số k  0 và vectơ a  0 . Tích của vectơ a với số k là một vectơ, kí hiệu k a .
+) k  0 thì k a cùng hướng với a
+) k  0 thì k a ngược hướng với a
2. Tính chất:
Cho a , b bất kì và hai số h, k ta có:
 k (a + b) = ka + kb

 (h + k )a = ha + k a

 h(ka) = (hk )a



1.a = a, (−1)a = −a

 Nếu I là trung điểm của AB thì với mọi điểm M ta có: MA + MB = 2MI
 Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M ta có: MA + MB + MC = 3MG
3. Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
+) a và b  0 cùng phương  k : a = kb
+) Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k  0 để AB = k AC
II – CÁC DẠNG TOÁN:
3.1 Xác định và tính độ dài tích của một số với một vectơ
Bài 1. Cho hai điểm phân biệt A, B . Xác định điểm M biết 2MA − 3MB = 0
Lời giải

Ta có: 2MA − 3MB = 0  2MA − 3( MA + AB) = 0  − MA − 3 AB = 0  AM = 3 AB  AM , AB cùng
hướng và AM = 3AB .
Bài 2. Cho tam giác ABC .
a) Tìm điểm K sao cho KA + 2KB = CB

Lời giải

Ta có: BC = AB tan A = a tan 300 =

AB
a
2a 3
a 3
=
=
, AC =
0
cos A cos 30
3
3

a) BA + BC = 2 BI = 2 BI = 2 BI = 2.

AC
2a 3
= AC =
.
2
3
2

a 3
a 39
b) AB + AC = 2 AM = 2 AM = 2 AM = 2 AB + BM = 2 a + 
.


Lời giải
Chọn A.

MN = −3MP  MN ngược hướng với MP và MN = 3 MP .
Câu 3. [0H1-1] Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Nếu AB = −3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?
A. BC = −4 AC

B. BC = −2 AC

C. BC = 2 AC

D.

BC = 4 AC
Lời giải
Chọn D.

Câu 4. [0H1-1] Cho ba điểm A, B, C phân biệt. Điều kiện cần và đủ để ba điểm thẳng hàng là:
A. AB = AC

B. k  0 : AB = k.AC

C. AC − AB = BC

D.

MA + MB = 3MC ,  điểm M

Lời giải

5
1
=− .
15
3

Câu 6. [0H1-2] Cho ABC . Đặt a = BC , b = AC . Các cặp vectơ nào sau đây cùng phương ?
A. 2a + b , a + 2b

C. 5a + b , −10a − 2b D. a + b , a − b

B. a − 2b , 2a − b
Lời giải

Chọn C.
Ta có: −10a − 2b = −2.(5a + b )  5a + b và −10a − 2b cùng phương.
Câu 7. [0H1-2] Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng a . Độ dài của AB + AC bằng:
A. 2a

B. a

C. a 3

D.

a 3
2

Lời giải
Chọn C.

 x = −7
3
−2

Câu 9. [0H1-2] Cho tam giác ABC . Gọi I là trung điểm của AB . Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức

MA + MB + 2MC = 0 .
A. M là trung điểm của BC

B. M là trung điểm của IC

C. M là trung điểm của IA

D. M là điểm trên cạnh IC sao cho IM = 2MC

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải
Chọn B.

MA + MB + 2MC = 0  2MI + 2MC = 0  MI + MC = 0  M là trung điểm của IC .
Câu 10. [0H1-2] Cho hình bình hành ABCD , điểm M thõa mãn 4AM = AB + AD + AC . Khi đó
điểm M là:
A. Trung diểm của AC

B. Điểm C

C. Trung điểm của AB



B. Tam giác ABC cân tại C

C. Tam giác ABC vuông tại C

D. Tam giác ABC cân tại B

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải
Chọn C.

Gọi I là trung điểm của AB . Ta có:

OA + OB − 2OC = OA − OB  OA − OC + OB − OC = BA  CA + CB = AB
 2.CI = AB  2CI = AB  CI =

1
AB  Tam giác ABC vuông tại C .
2

Câu 13. [0H1-3] Cho tam giác ABC , có bao nhiêu điểm M thoả mãn: MA + MB + MC = 1
A. 0

B. 1

D. vô số

C. 2

Ta có: v = MA + MB − 2MC = MA − MC + MB − MC = CA + CB = 2CI (Với I là trung điểm của AB )
Vậy vectơ v không phụ thuộc vào vị trú điểm M . Khi đó: CD = v = 2CI  I là trung điểm của CD

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Vậy D D là điểm thứ tư của hình bình hành ACBD .
Câu 15. [0H1-3] Cho tam giác ABC . Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm AM . Đường
thẳng BN cắt AC tại P . Khi đó AC = xCP thì giá trị của x là:
A. −

4
3

B. −

2
3

C. −

3
2

D. −

5
3

Lời giải


AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra MN / / AC .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 17. [0H1-4] Cho tam giác OAB vuông cân tạ O với OA = OB = a . Độ dài của véc tơ
u=

21
5
OA − OB là:
4
2

A.

a 140
4

B.

a 321
4

C.

a 520
4

OA + OB + 2OC = 0 . Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ v = MA + MB + 2MC có độ dài
nhỏ nhất.
A. Điểm M là hình chiếu vuông góc của O trên d
B. Điểm M là hình chiếu vuông góc của A trên d
C. Điểm M là hình chiếu vuông góc của B trên d
D. Điểm M là giao điểm của AB và d
Lời giải
Chọn A.

Gọi I là trung điểm của AB .
Khi đó: OA + OB + 2OC = 0  2OI + 2OC = 0  OI + OC = 0  O là trung điểm của IC
Ta có: v = MA + MB + 2MC = OA − OM + OB − OM + 2(OC − OM ) = OA + OB + 2OC − 4OM = −4OM

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Do đó v = 4OM . Độ dài vectơ v nhỏ nhất khi và chỉ khi 4OM nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuong
góc của O trên d .
Câu 19. [0H1-4] Cho ngũ giác ABCDE . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh
AB, BC , CD, DE . Gọi I và J lần lượt là trung điểm các đoạn MP và NQ . Khẳng định nào sau đây

đúng ?
A. IJ =

1
AE
2

B. IJ =


 MQ = MB + BD + DQ

(

Suy ra: 2 IJ =

(

)

)

1
1
1
1
AE + BD − BD = AE  IJ = AE .
2
2
2
4

Câu 20. [0H1-4] Cho tam giác ABC . Go ̣i M là trung điể m của AB và N thuô ̣c ca ̣nh AC sao cho

NC = 2NA . Hãy xác định điểm K thỏa mãn: 3AB + 2 AC −12 AK = 0 và điểm D thỏa mãn:
3AB + 4 AC −12KD = 0 .
A. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của BC
B. K là trung điểm của BC và D là trung điểm của MN
C. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AB
D. K là trung điểm của MN và D là trung điểm của AC

1
AB + AC
2

)

Suy ra D là trung điểm của BC .
3.2 Chứng minh đẳng thức vectơ
Bài 1. Cho tứ giác ABCD . Gọi E , F lần lượt là trung điểm của AB và CD .
a) Chứng minh rằng: AC + BD = AD + BC = 2EF
b) Gọi G là trung điểm của EF . Chứng minh rằng GA + GB + GC + GD = 0
Lời giải

a)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (


VT = AB + 2 AC + AD = AB + AD + 2 AC = AC + 2 AC = 3 AC = VP .
Bài 3. Cho tam giác ABC . Gọi M là một điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC . Chứng minh
rằng: AM =

1
2
AB + AC .
3
3

Lời giải

1
1
1
2
Ta có: AM = AC + CM = AC − BC = AC − ( AC − AB ) = AB + AC (đpcm)
3
3
3
3

Bài 4. Cho tứ giác ABCD . Gọi I , J lần lượt là trung điểm của AC và BD . Chứng minh rằng:

AB + CD = 2IJ .
Lời giải

Ta có:


Câu 22. [0H1-1] Cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Với mọi điểm M , ta luôn có:
A. MA + MB + MC = MG
C. MA + MB + MC = 3MG

B. MA + MB + MC = 2MG
D. MA + MB + MC = 4MG

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Lời giải
Chọn C.
Áp dụng tính chất trọng tâm của tam giác: Với mọi điểm M , ta luôn có MA + MB + MC = 3MG .
Câu 23. [0H1-1] Cho ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm BC . Đẳng thức nào đúng ?
A. GA = 2GI

1
B. IG = − IA
3

C. GB + GC = 2GI

D. GB + GC = GA

Lời giải

Áp dụng tính chất trung điểm của đoạn thẳng, ta có: GB + GC = 2GI .
Câu 24. [0H1-1] Cho tam giác ABC . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Trong các
mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai ?
A. AB = 2 AM

4

C. MB = −4MA

4
MB = − AB
5

Lời giải
Chọn D.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

D.


4
Ta thấy MB và AB cùng hướng nên MB = − AB là sai.
5

Câu 26. [0H1-2] Cho hình bình hành ABCD . Đẳng thức nào đúng ?
A. AC + BD = 2BC

B. AC + BC = AB

C. AC − BD = 2CD

D. AC − AD = CD

Lời giải

2

D. AC + DB = 4 AB

Lời giải
Chọn D.

AC + DB = AB + BC + DC + CB = AB + DC = 2 AB .

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


Câu 29. [0H1-2] Cho ba điểm phân biệt A, B, C . Nếu AB = −3AC thì đẳng thức nào dưới đây đúng ?
B. BC = −2 AC

A. BC = −4 AC

C. BC = 2 AC

D.

BC = 4 AC
Lời giải
Chọn D.

Từ đẳng thức: AB = −3AC suy ra ba điểm A, B, C thẳng hàng; AB và AC ngược hướng; AB = 3AC
nên BC = 4 AC .
Câu 30. [0H1-2] Cho G và G ' lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và A ' B ' C ' . Khi đó tổng

AA ' + BB ' + CC ' bằng:

3

C. AG =

3
3
AE + AF
2
2

2
2
AE + AF
3
3

Lời giải
Chọn D.

Ta có: AG =

(

) (

)

2
2 1
1

MB = 3MC . Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng ?
1
3
A. AM = − AB + AC
2
2

B. AM = 2 AB + AC

C. AM = AB − AC

1
D. AM = ( AB + AC )
2

Lời giải
Chọn A.

Gọi I là trung điểm của BC . Khi đó C là trung điểm của MI . Ta có:
1
1
3
AM + AI = 2 AC  AM = − AI + 2 AC = − ( AB + AC ) + 2 AC = − AB + AC .
2
2
2

Câu 34. [0H1-3] Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó

AC + BD bằng:

Lời giải
Chọn D.

Ta có: MA + MB + MC + MD = ( MA + MC ) + ( MB + MD) = 2MO + 2MO = 4MO
Câu 36. [0H1-4] Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . Gọi H là trực tâm của tam
giác. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. OH = 4OG

B. OH = 3OG

C. OH = 2OG

D.

3OH = OG
Lời giải
Chọn B.

Gọi D là điểm đối xứng với A qua O . Ta có: HA + HD = 2 HO (1)
Vì HBDC là hình bình hành nên HD = HB + HC (2)
Từ (1), (2) suy ra: HA + HB + HC = 2 HO  ( HO + OA) + ( HO + OB) + ( HO + OC ) = 2 HO
 3HO + (OA + OB + OC ) = 2 HO  OA + OB + OC = − HO  3OG = OH .

Câu 37. [0H1-4] Cho tứ giác ABCD . Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD , I là điểm trên GC sao
cho IC = 3IG . Với mọi điểm M ta luôn có MA + MB + MC + MD bằng:
A. 2MI

C. 4MI

B. 3MI


B. 4

C. 6

D. 7

Lời giải
Chọn A.

Qua điểm I dựng các đoạn MQ / / AB, PS / / BC , NR / / CA . Vì ABC là tam giác đều nên các tam giác
IMN , IPQ, IRS cũng là tam giác đều. Suy ra D, E , F lần lượt là trung điểm của MN , PQ, RS .

Khi đó:
ID + IE + IF =

1
1
1
1
1
( IM + IN ) + ( IP + IQ) + ( IR + IS ) = ( IQ + IR) + ( IM + IS ) + ( IN + IP)  = ( IA + IB + IC )
2
2
2
2
2

1
3

D. MN =  −  AC − AB
2
9 2

Lời giải
Chọn D.

Ta có: MN = AN − AM =

x
1
1
 x 1
AC − ( AB + AC ) =  −  AC − AB .
9
2
2
9 2

Câu 40. [0H1-4] Cho tam giác ABC . Gọi G là trọng tâm và H là điểm đối xứng với B qua G .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?
A. AH =

2
1
AC − AB
3
3

C. AH =


(

(

)

2
2 1
AM = AC  AH + . AB + AC = AC
3
3 2

)

1
2
1
AB + AC  AH = AC − AB .
3
3
3

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất