Giải tích cơ bản
***
by Linh Nguyen
Ngày 19 tháng 7 năm 2018

1

Phép tính giới hạn

• Ta nói hàm số f (t) có giới hạn là

khi t tiến đến t0 và viết

lim f (t) =

t→t0

nếu f (t) có thể gần một cách tùy ý với mọi t đủ gần t0 (nhưng khác t0 ). Nói
cách khác, lim f (t) = nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi t thỏa
t→t0

mãn 0 < |t − t0 | < δ, ta có |f (t) − | < ε.
Chú ý rằng ta không đòi hỏi f (t) xác định tại t0 (nhưng phải xác định trong
một lân cận của t0 ), hơn nữa nếu cả hai giá trị f (t0 ) và lim f (t) là xác định thì
t→t0

chúng không nhất thiết bằng nhau. Nếu chúng bằng nhau, ta nói f (t) là liên
tục tại t0 .
• Ta nói hàm số f (t) có giới hạn dương vô cùng khi t tiến đến t0 và viết
lim f (t) = +∞



f (t)
a
= nếu b = 0.
g(t)
b

4. Nếu f (t) ≤ g(t) trong lân cận của t0 thì a ≤ b.

Số e
• Nếu r = m/n là một số hữu tỉ và a > 0 thì ta có thể định nghĩa
√
ar = n am .
Nếu r là một số thực thì tồn tại một dãy số hữu tỉ (rn )n≥1 hội tụ về r. Khi
đó dãy (arn )n≥1 hội tụ và giới hạn này không phụ thuộc vào cách chọn dãy
(rn )n≥1 . Ta định nghĩa bởi ar giới hạn này.
• Giới hạn sau đây tồn tại và được gọi là số e,
e = lim

t→+∞

1+

t

1
t

= 2.718281828...


lim ln x = +∞.

x→+∞

4. lim ln x = −∞.
x→0+

ln(1 + x)
= 1.
x→0
x

5. lim

2


Các hàm hyperbolic
• Ta định nghĩa các hàm hyperbolic sau đây.
sinh x =

ex − e−x
,
2

coth x =

cosh x
,
sinh x

ln
,
2 1−x

cosh−1 x = ± ln(x +
coth−1 x =

x2 − 1),

1 x+1
ln
.
2 x−1

Phép tính vi phân

• Cho hàm số f (t) xác định trong lân cận của t0 . Đạo hàm của f (t) tại điểm
t = t0 được định nghĩa là
f (t0 + h) − f (t0 )
h→0
h

f (t0 ) = lim

nếu giới hạn này tồn tại (và hữu hạn). Lúc này, ta cũng nói f (t) là khả vi tại t0 .
• Ý nghĩa vậy lý: Giả sử ta có một chất điểm chuyển động trên đường thẳng
sao cho vị trí của chất điểm tại thời điểm t là f (t), khi đó f (t0 ) là vận tốc tức
thời của chất điểm tại thời điểm t = t0 (dấu âm thể hiện chất điểm đang chuyển
động ngược chiều dương của trục.
• Ý nghĩa hình học: f (t0 ) là độ dốc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f (t)


f g − fg
,
g2

d

f
g

=

gdf − f dg
tại những điểm t mà g(t) = 0.
g2

5. Nếu f (t) ≥ 0 với mọi t ∈ [a, b], f là hàm tăng trên [a, b].
6. (Bổ đề Fermat) Nếu f tại cực trị địa phương tại t = t0 (nghĩa là f (t0 )
là giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) trong một lân cận nhỏ của t0 ) thì
f (t0 ) = 0. Chú ý: Đây là điều kiện cần của cực trị chứ không đủ.
7. Nếu f (t0 ) = 0 và f (t0 ) < 0 (tương ứng, f (t0 ) > 0) thì f đạt cực đại
(tương ứng, cực tiểu) địa phương tại t = t0 . Chú ý: Đây là điều kiện đủ
của cực trị chứ không cần.
• Nếu f là một hàm theo biến x và x là một hàm theo biến t, khi đó f (x(t)) là
một hàm theo biến t và đạo hàm của nó được cho bởi
d
f (x(t)) = f (x(t)) · x (t),
dt

hay


(at ) = at ln a.

1
.
t

5. (sinh t) = cosh t,

(cosh t) = sinh t,

(tanh t) = sech2 t = 1 − tanh2 t.

Ví dụ về tính đạo hàm của hàm hợp:
1
t
( t2 + 1) = √
· (t2 + 1) = √
2
2
2 t +1
t +1
(ta đã dùng các công thức

d √
1
d
x = √ và t2 = 2t).
dx
dt

b

f (t) dt là độ dời của chất

vận tốc tức thời f (t) tại mỗi thời điểm t. Khi đó
a

điểm giữa hai thời điểm t = a và t = b.
b

• Ý nghĩa hình học: Nếu f (t) > 0 thì

f (t) dt là diện tích của phần mặt phẳng
a

bị giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = f (t), đường thẳng y = 0, đường thẳng t = a
và đường thẳng t = b.

Nguyên hàm
• Cho hàm số f (t). Nếu có hàm số F (t) sao cho F (t) = f (t), ta nói F (t) là một
nguyên hàm của f (t). Chẳng hạn, một nguyên hàm của 2t là t2 .
• Nếu hàm số f (t) có một nguyên hàm F (t) thì nó có vô số các nguyên hàm
được cho bởi F (t) + C, với C là hằng số tùy ý.
• Định lý cơ bản của giải tích (công thức Newton-Leibniz): Nếu F (t) là một
nguyên hàm của f (t) thì
b

f (t) dt = F (b) − F (a).
a


f (t) dt.
a

t

d
dt

f (τ ) dτ = f (t).
a
b

b

b

a

a

a

g(t) dt.

f (t) dt + β

(αf (t) + βg(t)) dt = α

3.


b

b

f (t)g (t) dt = f (b)g(b) − f (a)g(a) =
a

f (t)g(t) dt,
a

hay ở dạng nguyên hàm,
f dg = f g −

g df.

Nguyên hàm của các hàm số cơ bản
ta+1
+ C với a = −1.
a+1

1.

ta dt =

2.

sin t dt = − cos t + C,

3.


1
2

2

et dt2 =

1 t2
e + C.
2

Ví dụ về nguyên hàm từng phần:
tet dt =

t det = tet −

et dt = tet − et + C.

Đa số các nguyên hàm không thể biểu diễn dưới dạng các hàm sơ cấp, ví dụ
2
dt
√
(tích phân elliptic), e−t dt (hàm lỗi - erf)...
2
1 − 2t

7