Câu 1 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau?
A. Số phức z = a + bi được biểu diễn bởi M ( a; b ) trong mặt phẳng phức Oxy
B. Số phức z = a + bi có mô đun

a 2 + b2

a = 0
C. Số phức z = a + bi = 0  
b = 0

D. Số phức z = a + bi có số phức đối là z = a − bi
Đáp án D
Câu 2 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z = a + a 2 i với a 

. Khi đó điểm biểu

diễn của số phức liên hợp nằm trên.
A. Đường thẳng d : y = 2x

B. Đường thẳng: y = − x + 1

C. Parabol y = x 2

D. Parabol y = − x 2

Đáp án D

x = a
Ta có: z = a − a 2 i nên 
 y = −x 2
2

phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z.
Câu 4 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm số phức z thỏa mãn 2 z − i = z − z + 2i và
z + i = 2i100

A. z = 2 + i; z = 2 − i

B. z = −2 + i; z = 2 + i

C. z = −2 + i; z = 1 + 2i

D. z = −2 + i; z = 2 + i; −3 + 2 3i; −3 − 2 3i

Đáp án B


Đặt z = a + bi, a, b 

Từ

a 2 + ( b − 1)2 = ( b + 1)2
( b + 1)2 = 4 (1)


2
2
2
2
a + ( b − 1) = 4
a + ( b − 1) = 4 ( 2 )



với

a 2 = −12

(loại)
Số phức z = 2 + i hoặc z = −2 + i
Câu 5 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Xác định số phức thỏa mãn điều kiện sau
z + 1 + 2i = z + 1 và có mô đun nhỏ nhất.

D. −1 + i

C. 1 − i

B. –i

A. i
Đáp án B

Gọi z = a + bi, a, b 

a + bi + 1 + 2i = a − bi + 1 

( a + 1)

2

+ ( b + 2) =
2


x, với x  0
5

C. y =
Đáp án B

Đặt z = x + yi; ( x, y 

) ; w = u + vi; ( u, v  ) . Ta có

u = x 2 − y 2
2
w = z 2  u + vi = ( x + yi )  u + vi = x 2 − y2 + 2xyi  
v = 2xy
Mà M thuộc đường thẳng d : y = 3x , nên tọa độ của P thỏa mãn
u = −8x 2  0
u = x 2 − 9x 2
u = −8x 2  0




3u
2
 v = 6x
 v = 2x ( 3x )
v = −

4
−3

Em có: 4 = z + 2 + i = z − 1 − 2i + 3 + 3i  z − 1 − 2i − 3 + 3i
 4  z − 1− 2i − 3 2

 z − 1 − 2i − 3 2  4

 z − 1 − 2i − 3 2  −4

 z − 1 − 2i  4 + 3 2

 z − 1 − 2i  −4 + 3 2

M = 4 + 3 2

m = −4 + 3 2

M +m=6 2.
Câu 9 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn z + 2i + 3 = z − i . Tìm giá trị
nhỏ nhất của z .
A.

3 10
5

B.

3
5

C.



2

2

2

9  18

= 10a + 36a + 36 = 10  a +  +
5
5

2

18 3 10
=
5
5
Câu 10 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thay đổi hoàn toàn thỏa mãn:
z

z − i = z − 1+ 2i . Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức w thỏa mãn:

w = ( 2 − i ) z + 1 là một đường thẳng. Viết phương trình

đường thẳng đó.
A. −x + 7y + 9 = 0.

B. x + 7y − 9 = 0.

2

Em có: z − i = z − 1+ 2i
 x + yi − i = x + yi − 1+ 2i

2

 −2y + 1 = −2x + 1+ 4y + 4

 x = 3y + 2 .
Em có: w = ( 2 − i ) z + 1 = ( 2 − i )( x + yi ) + 1 = 2x + 2yi − xi + y + 1 = ( 2x + y + 1) + ( −x + 2y ) i .
x ' = 7y + 5
 x '+ 7y '+ 9 = 0 .
Mà x = 3y + 2 nên w = ( 7y + 5) + ( −y − 2) i  
y ' = −y − 2
Vậy số phức w được biểu diễn bởi đoạn thẳng: x + 7y + 9 = 0 .


Câu 11 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Số phức nào dưới đây

có điểm

biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên?
A. z 4 = 2 + i.

B. z 2 = 1 + 2i.

C. z3 = −2 + i. D. z1 = 1 − 2i.
Đáp án C
Từ hình vẽ ta thấy M có tọa độ M ( −2;1)

−1 − 2 + m = 0

Vậy giá trị cần tìm là m = −2 và m = 3.
Câu 13 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( z + 2 )(1 + 2i ) = 5z.
Tìm phần ảo của số phức w = ( z + 2i )
A. 21009.

2019

B. 0.

C. −21009.

Đáp án A
Đặt z = x + yi với x, y  . Ta có:

( z + 2 )(1 + 2i ) = 5z  ( x + 2 ) + yi  (1 + 2i ) = 5x − 5yi
 ( x + 2 ) − 2y  +  2 ( x + 2 ) + y  i = 5x − 5yi

D. 2019.


 x + 2 − 2y = 5x
x = 1


 z = 1− i
2x + 4 + y = −5y
 y = −1



5 +1

Đáp án B
Gọi: z = a + bi (a,b  )  z = a − bi
Ta có:

z − 1 − i = a + bi − 1 − i = a − 1 + ( b − 1) i =

( a − 1) + ( b − 1)

z − 1 + i = a − bi − 1 + i = a − 1 + (1 − b ) i =

( a − 1) + (1 − b )

2

2

2

2

 z −1 + i = z −1 − i
 z − 1 + i = z − 3 − 2i + 2 + i  z − 3 − 2i − 2 + i
 z −1 + i  1 − 5 = 5 −1

 Giá trị nhỏ nhất của z − 1 + i là

5 −1

z =

1
25

( 3x + 4y − 4 ) + ( −4x + 3y − 3)
2

 ( 3x + 4y − 4 ) + ( −4x + 3y − 3) = 1002
2

2

2

=4


 ( 3x + 4y ) + ( −4x + 3y ) − 8 ( 3x + 4y ) + 16 − 6 ( −4x + 3y ) + 9 = 10000
2

2

 25 ( x 2 + y 2 ) − 50y = 9975

 x 2 + y2 − 2y = 399
 x 2 + ( y − 1) = 400.
2

Vậy số phức w được biểu diễn bởi đường tròn tâm I (0;1), bán kính R = 20 và có


A. P = 0.

C. P = 1 + i.

D. P = 2i.

Đáp án C
Em thấy trong biểu thức P gồm bao nhiêu số hạng và các số hạng có quan hệ gì?
✓ P có 2018 số hạng. Nếu em tính riêng mỗi số hạng ik với k = 1, 2,3..., 2016, 2017 thì
việc cộng các kết quả đó cũng không đơn giản chút nào.
✓ Kể từ số hạng thứ hai, số hạng sau gấp số hạng đứng ngay trước nó là i. Vậy nên P là
tổng của 2018 số hạng đầu của một cấp số nhân, với số hạng đầu là u1 = 1 và công bội

q = i . Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng dầu

u1 và công bội q:
S = u1.

1 − qn
;q  1
1− q


1 − i 2018 1 − ( i )
= 1.
=
1− i
1− i



Đáp án D
 Kiểm tra từ đáp án đơn giản đến phức tạp em thấy:
Đặt z = a + bi, ( a, b 

)  z = a − bi

nên z + z = ( a + bi ) + ( a − bi ) = 2a.

Câu 19 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Cho số phức z thỏa mãn điều kiện: z −1 = z + 3 − 2i .
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là
A. Đường thẳng.

B. Đường tròn.

C. Một điểm xác định. D. Elip.

Đáp án A
Em hãy thực hiện Câu nay theo cả 2 cách nhé!
Cách 1: Đặt z = x + yi, ( x, y  )
z −1 = z + 3 − 2i  x + yi −1 = x + yi + 3 − 2i

 ( x − 1) + yi = ( x + 3) + ( y − 2 ) i 

( x −1)

2

+ y2 =


 z = −3
4

2

❖ T = z1 + z 2 + z3 + z 4 = −2 + 2 + − 3i + 3i = 2 + 2 + 3 + 3 = 4 + 2 3.


Câu 21 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm phần thực phần ảo của số phức z thỏa mãn điều
kiện sau: ( 2 + 3i ) z = z − 1
A. Phần thực a = −

3
1
phần ảo b =
10
10

B. Phần thực a =

−1
3
phần ảo b =
10
10

C. Phần thực a = −

3
1

3
A. x = ; y = 0 .
2

B. x =

−3
; y = 0.
2

1
C. x = 3; y = .
3

D. x = 0; y =

−3
2

Đáp án B.


−3
2 x + 3 = 0
x =

Ta có z = z  
2
3y − 1 = y − 1  y = 0



)

Câu 24 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Trong mặt phẳng phức cho điểm M
các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. Điểm M biểu diễn cho số phức có môđun bằng 3 2 .
B. Điểm M biểu diễn cho số phức có phần thực bằng 4.
C. Điểm M biểu diễn cho số phức u = 2 + 4i .
D. Điểm M biểu diễn cho số phức có phần thực bằng

2.

(

)

2; 4 . Trong


Đáp án B.
Ta có M

(

)

2; 4  u = 2 + 4i  u = 3 2 nên A, C đúng; số phức có phần thực bằng

2.


1010

2
= (1− i ) 


1010

2
= (1+ i ) 



= ( 2i )

2 − 2i
2 + 2i
= 1− i và z2 =
= 1+ i .
2
2

= ( −2i )

1010

1010

= ( −2)


Câu 27 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Tìm z biết z = 1 + 2i + (1 − i ) .
3

A. z = 0.

B. z = 1.

C. z = −1.

D. z = 2.

Đáp án B
Em có: z = 1 + 2i + (1 − i ) = 1 + 2i + (1 − 3i + 3i 2 − i3 ) = 1 + 2i + (−2 − 2i) = −1.
3

 z = 1.


Câu 28: (GV Nguyễn Thi Lanh 2018) Phương trình: ( z + 3 − i ) − 6 ( z + 3 − i ) + 13 = 0 có 2
2

nghiệm phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Trong 2 nghiệm có một nghiệm bằng 0.
B. Cả 2 nghiệm đều là số thực.
C. Cả 2 nghiệm đều là số thuần ảo.
D. Trong 2 nghiệm có 1 nghiệm là số thực, 1 nghiệm là số thuần ảo.
Đáp án C
Em có:
 z + 3 − i = 3 − 2i
 z = −i


D. 7 2.

Đáp án C
Đặt z = x + yi, (x; y  ). Số phức z được biểu diễn bởi điểm N ( x; y ) .
Số phức z1 = −2 + i được biểu diễn bởi điểm A ( −2;1) .
Số phức z 2 = 5 − 6i được biểu diễn bởi điểm B ( 5; −6 ) .
Ta có: z + 2 − i + z − 5 + 6i = 7 2  NA + NB = 7 2. Mà AB = 7 2 nên N thuộc đoạn
thẳng AB.

qua A ( −2;1)
 phương trình đường thẳng AB là: x + y +1 = 0.
Đường thẳng AB : 
qua
B
5;
−
6
(
)

Vì N ( x; y ) thuộc đoạn thẳng AB nên x + y +1 = 0, x  −2;5.
Ta có: P = z − 1 + 2i = ( x − 1) + ( y + 2 ) i =

( x −1) + ( y + 2 )
2

2

 P 2 = ( x − 1) + ( y + 2 ) = ( x − 1) + ( − x − 1 + 2 ) = 2 ( x − 1) .


(GV Nguyễn Thi Lanh 2018)Biết các số

phức z có tập hợp điểm trên mặt phẳng tọa độ là hình
tròn tô đậm như hình vẽ. Modul lớn nhất của số phức z
là:
A. z
C. z

max

max

= 2.

= 1.

B. z

= 3.

D. z max = 3.

max

Đáp án C
Giả sử A là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng
toạn độ, B ( 3; 0) .

Tam giác OAB có góc OAB là góc tù nên

A. 22019.

B. 21010.

C. 1.

Đáp án D
Cách 1: Em có z = 1 không là nghiệm của phương trình trên.

(

)

 z2 + z + 1 = 0  ( z − 1) z2 + z + 1 = 0  z3 − 1 = 0  z3 = 1 với z  1.

D. −1


3

2
z1 = 1
3.672+ 2
2.672+ 2
2
2
 3
 z12018 + z2018
=
z

−1 + 3i
z1 =
2
Cách 2: Em có z2 + z + 1 = 0  

−1 − 3i
z2 =

2
z

2018
1

+z

2018
2

 −1+ 3i 
=



2



2





3.672+ 2

2

 −1 + 3i   −1 − 3i 
1
3i 1
3i
=
− +
= −1
 +
 =− −

 

2
2
2
2
2
2

 


Câu 33 (GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho số phức z thỏa mãn: z − 1 + i = 2 . Tập hợp các

( x − 1) + ( y + 1) = 2  ( x − 1) + ( y + 1) = 4
Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I (1; −1) , bán kính R = 2 và có phương trình:
( x − 1) + ( y + 1) = 4 .
2

Câu 34

2

2

2

2

2

(GV Nguyễn Thi Lanh 2018): Cho 2 số phức z1 và z2 thỏa mãn:

z1 − 5 − i = 3, z2 + 5 − 2i = iz2 − 3 . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = z1 − z2 là:

A. −3 − 3 2.

B. 3 + 3 2.

C. 3 − 3 2.

D. −3 + 3 2.



2

2

2

 x2 − y2 + 2 = 0 .

Vậy điểm N thuộc đường thẳng d : x − y + 2 = 0 .
Dễ thấy đường thẳng d và đường tròn C không cắt nhau.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm I, M, N em có:

MN  IM − IN = IN − R  d ( I;d ) − R =

5 − 1+ 2

− 3 = −3 + 3 2
2
Dấu “=” bằng xảy ra khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng và N là hình chiếu của I trên đường
thẳng d.
Vậy z1 − z2 min = −3 + 3 2 .