Câu 1 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong hình
vẽ bên, điểm A biểu diễn số phức z - 1 + i.
Tìm điểm biểu diễn số phức z .
A. Điểm B.
B. Điểm C .
C. Điểm D.
D. Điểm E.
Lời giải. Dựa vào hình vẽ, có A(1;3) ¾ ¾® z - 1+ i = 1+ 3i Û z = 2 + 2i.
Vậy điểm biểu diễn số phức z là điểm E (2;2). Chọn D.
Câu 2
(Gv Huỳnh Đức Khánh)Gọi z = a + bi (a, b Î ¡ ) là số phức thỏa mãn
(1- i )z - 1 + 5i = 0 . Khi đó S = a + b bằng
A. - 5.
B. - 1.
C. 1.
D. 5.
Lời giải. Ta có (1 - i )z - 1 + 5i = 0 ¾ ¾® z =

1 - 5i
= 3 - 2i Þ
1- i

Câu 3 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Tính P = 1 + 3i
A. P = 2.

2018

Vậy P = 1 + 3i

2018


2018

B. P = 4.

ìï z = 1 +
Lời giải. Gọi ïí 1
ïï z = 1 ïî 2

ìïï a = 3
¾¾
® S = a + b = 1.
í
ïïî b = - 2

C.

P = 22019.

.

= 22018 + 22018 = 22019. Chọn D.

(Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 + z 2 = 8 + 6i và
z1 - z 2 = 2. Giá trị lớn nhất của z1 + z 2 bằng
A. 4 6.
B. 2 26.
C. 5 + 3 5.
D. 32 + 3 2.

Câu 4


26. Chọn B.

Cách 2. Gọi A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức z1 , z 2 trên mặt phẳng phức và D là
điểm thứ tư của hình bình hành AOBD , suy ra
 D là điểm biểu diễn số phức (z1 + z2 ) ¾ ¾® OD = z1 + z2 = 10.
 z1 - z2 chính là độ dài đoạn AB.
ìï AB 2 = OA 2 + OB 2 - 2OA.OB.cos AOB
·
= 4
Xét D OAB có ïí 2
2
2

ïï OD = OA + OB + 2OA.OB.cos AOB
·
= 100
ïî
2

¾¾
® 104 = 2 (OA2 + OB 2 )³ (OA + OB )

Vậy (OA + OB )max = 104 = 2 26 hay ( z1 + z 2 )max = 2 26.


(Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 - 1- i = 1 và
z 2 + 1 + 3i = z 2 - 3 - i . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = z1 - z 2 .

Câu 5


2 - 1. Chọn B.

Cách 2. [Phương pháp hình học]
Dễ thấy tập hợp các số phức z1 là đường tròn tâm I (1;1) ,
bán kính R = 1; tập hợp các số phức z 2 thuộc đường thẳng

I
A

D : x + y = 0.

Ta thấy P = z1 - z 2 là khoảng cách của hai số phức z1 , z 2 .
Dựa vào hình vẽ ta thấy P = z1 - z 2 nhỏ nhất là đoạn AH
¾¾
® Pmin = AH = d (I , D )- R =

2.

H

2 - 1.

Câu 6 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z thỏa mãn (2 + i )z +

2 (1 + 2i )

= 7 + 8i . Kí hiệu
1+ i
a, b lần lượt là phần thực và phần ảo của số phức w = z + 1 + i . Tính P = a2 + b 2 .


ìï
ïï z = 1 + 3i
ï 1
2
¾¾
® P = z1 + z 2 = 2. Chọn C.
Phương trình có hai nghiệm phức ïí
ïï
1 - 3i
ïï z 2 =
ïî
2
Câu 8 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với

a 2
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SB hợp với đáy góc 600 . Tính khoảng cách d
2
giữa hai đường thẳng AD và SC .
AC =

a 2
a
.
C. d = .
2
2
Lời giải. Ta có d [AD, SC ]= d éëAD,(SBC )ùû= d éëA,(SBC )ùû.

A. d =

C. z 3 = - 2 + i.
D. z1 = 1- 2i.

y
1
x
O

ìï x = - 2
Lời giải. Ta thấy điểm M có ïí M
nên là điểm biểu diễn của số phức z = - 2 + i. Chọn C.
ïïî y M = 1

Câu 10 (Gv Huỳnh Đức Khánh). Xét các số phức z = a + bi (a, b Î ¡ ) thỏa mãn z = 2 .
Tính P = a + b khi z - 4 + 2 z + 1 + 4i đạt giá trị nhỏ nhất.
A. P = - 2.
B. P = 2.
C. P = 2 5.
D. P = 4 5.

Lời giải. Vì z = 2 nên tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường tròn (C ) có tâm là gốc tọa
độ O , bán kính 2 . Với z = a + bi có điểm biểu diễn là điểm M Î (C ) , ta có
T = z - 4 + 2 z + 1 + 4i =

2

2

2


® M (0;- 2) ¾ ¾
® z = 0 - 2i ¾ ¾
® P = - 2. Chọn A.

¬ ¾®

Câu 11 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Xét các số phức z thỏa mãn z - 2i + 1 = 4 . Biết rằng tập
hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (12 - 5i )z + 3i là một đường tròn tâm I , bán kính r .
Khẳng định nào sau đây đúng?
A. I (- 32;- 2), r = 2 13.
B. I (32;2), r = 52.
C. I (- 22;- 16), r = 52.
D. I (- 22;- 16), r = 2 13.
Lời giải. Dễ thấy rằng với z = a + bi
2
2
ìï
ïï z - 2i + 1 = (a + 1)+ (b - 2)i = (a + 1) + (b - 2)
¾¾
®í
¾¾
® z + 2i + 1 = z - 2i + 1 = 4.
ïï
2
2
ïïî z + 2i + 1 = (a + 1)+ (- b + 2)i = (a + 1) + (- b + 2)

Ta có w = (12 - 5i )z + 3i ¬ ¾® w = (12 - 5i )(z + 2i + 1)- 22 - 16i
¬ ¾® w + 22 + 16i = (12 - 5i )(z + 2i + 1).
Lấy môđun hai vế, ta được ¬ ¾® w + 22 + 16i = 12 - 5i z + 2i + 1 = 13.4 = 52.

® z1 + 2 z 2 = 12 - 2i . Chọn A.
í
ïïî z max = z 2 = 6 + 0i
Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức z1 - z 2 £ z1 - z 2 £ z1 + z 2

.

ìï 3 £ z - i £ z + i
ìï 2 £ z
(1)
(2)
Ta có ïí
¾¾
® ïí
¬ ¾® 2 £ z £ 6.

Dấu

ïï z - 1 £ z - 1 £ 5
ïï z £ 6
î
î
'' = '' thứ nhất xảy ra khi

z1 - i = 3 ,

kết hợp với

z- 1 £ 5


ïî
2

2

C.

1.

D.

(1)

(2)

ìïï a = - 1
¾¾
® a + b = - 1.
í
ïïî b = 0

Chọn A.

2.


Cõu 15 (Gv Hunh c Khỏnh)Qu tớch im biu
din ca s phc z = a + bi (a, b ẻ Ă ) l phn khụng tụ
mu nm gia ng nột t v phn tụ mu (khụng
k biờn) nh hỡnh bờn. Khng nh no di õy l

Cõu 17 (Gv Hunh c Khỏnh)Cho s
) tha món z - 4 - 3i = 5.
Tớnh a + b khi z + 1- 3i + z - 1+ i t giỏ tr ln nht.
A. a + b = 4.
B. a + b = 6.
C. a + b = 8.
D. a + b = 10.
Li gii. Vỡ z - 4 - 3i = 5 nờn tp hp im M biu din s phc z nm trờn ng trũn
tõm I (4;3) , bỏn kớnh R = 5.
Ta cú T = z + 1 - 3i + z - 1 + i = (a + 1)2 + (b - 3)2 + (a - 1)2 + (b + 1)2 = MA + MB , vi A(- 1;3) ,
B (1;- 1).

Da vo hỡnh v ta thy Tmax ơ ắđ M , N , I thng hng ( N l trung
im ca AB ) vi I nm gia N , M ắ ắđ M (6;4) ắ ắđ a + b = 10. Chn
D.
Nhn xột. Tmin ơ ắđ M , N , I thng hng ( N l trung im ca AB
) vi M nm gia N , I ắ ắđ M (2;2).
Bi toỏn ri vo trng hp c bit l ng trung trc ca on
AB i qua tõm ca ng trũn, nu khụng ri vo trng hp c bit
thỡ tr thnh bi toỏn vụ cựng khú (cng cú cỏch gii quyt nhng rt phc tp v cng
khụng nờn õm u vo dng y)
(Gv Hunh c Khỏnh)Kớ hiu z1 , z 2 l hai nghim phc ca phng trỡnh
z + 4 = 0. Gi M , N l cỏc im biu din ca s phc z1 , z 2 . Tớnh T = OM + ON vi O l
gc ta .
A. T = 2.
B. T = 2 2.
C. T = 4.
D. T = 8.
ộz = - 2i ắ ắ
đ M (0; - 2)

A. M thuộc tia Ox .
B. M thuộc tia Oy.
C. M thuộc tia đối của tia Ox .
D. M thuộc tia đối của tia Oy.
2
Lời giải. Ta có z = a + bi Þ z = a - bi ¾ ¾® (z - z ) = (2bi )2 = - 4b 2 < 0
Suy ra M (0;- 4b 2 ) ¾ ¾® M thuộc tia đối của tia Oy. Chọn D.
(Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn z1 + 3 + 2i = 1 và
z2 + 2 - i = 1. Số phức z có phần thực bằng a , phần ảo bằng b thỏa mãn 2a - b = 0. Tính
P = a + b khi z - z1 + z - 2 z 2 đạt giá trị nhỏ nhất.
A. P = 1.
B. P = 3.
C. P = 4.
D. P = 7.
Lời giải. Ta có z - z1 + z - 2 z 2 = (z + 3 + 2i )- (z1 + 3 + 2i ) + (z + 4 - 2i )- 2 (z 2 + 2 - i )
Câu 21

³ z + 3 + 2i - z1 + 3 + 2i + z + 4 - 2i - 2 z 2 + 2 - i
= z + 3 + 2i + z + 4 - 2i - 3
2

2

2

2

=

(a + 3) + (b + 2) + (a + 4 ) + (b - 2) - 3

T = z - z1 + z - 2z 2 = z - z1 + z - z3 = AB + AC.

Gọi H là điểm đối xứng của E qua đường thẳng d , khi đó ta tìm được H (4;- 2).


Phương trình đường thẳng DH : y = - 2.
Biểu thức T đạt GTNN khi A là giao điểm của hai đường thẳng DH và d , B là giao điểm
của DA và đường tròn tâm D , C là giao điểm của EA và đường tròn tâm E.
ìï y = 2 x
ìï a = - 1
¾¾
® A (- 1; - 2) Þ ïí
¾¾
® P = a + b = 3.
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ ïí
ïïî y = - 2

ïïî b = - 2

Chọn B.
Câu 22 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Cho các số phức z1 , z 2 , z3 có ba điểm biểu diễn tương ứng
trên mặt phẳng tọa độ là ba đỉnh của tam giác đều nằm trên đường tròn
2
2
(x + 2018) + (y - 2016) = 1. Tổng phần thực và phần ảo của số phức w = z1 + z 2 + z3 bằng
A. - 6.
B. - 3.
C. 3.
D. 6.
2

ïïî b = 1

Chọn B.
Câu 24 (Gv Huỳnh Đức Khánh)Trong mặt phẳng với
hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành OABC có tọa độ điểm
A(3;1), C (- 1;2) (tham khảo hình vẽ bên). Số phức nào
sau đây có điểm biểu diễn là điểm B ?
A. z1 = - 2 + 3i.
B. z 2 = 2 + 3i.
C. z3 = 4 - i.
D. z 4 = - 4 + i.
uur

uur

ìï x A - 0 = x B - xC
ìï x = 2
Þ ïí B
.
ïïî y A - 0 = yB - yC
îïï yB = 3

Lời giải. Vì OABC là hình bình hành suy ra OA = CB ¾ ¾® ïí

Suy ra số phức z 2 = 2 + 3i có điểm biểu diễn là B.
Chọn B.
Câu 25. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z = a + bi (a, b Î ¡ ) thỏa mãn z - 3 - 3i = 6.
Khi P = 2 z + 6 - 3i + 3 z + 1 + 5i đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức a + b bằng
A. 2 - 2 5.
B. 4 - 2 5.

5 . Vậy a + b = 2 - 2 5. Chọn A.

)

Nhận xét: Những bài cực trị số phức dạng dùng Hình học để giải này tác giả sẽ viết
riêng một chuyên đề và có phân tích kỹ.
Câu 26. (Gv Huỳnh Đức Khánh) Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số
phức z1 = 2, z 2 = 4i, z3 = 2 + 4i trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Diện tích tam giác ABC bằng
A. 2.
B. 4.
C. 6.
D. 8.
Lời giải. Từ đề ta suy ra tọa độ các điểm các điểm biểu diễn các số phức
z1 , z 2 , z 3 lần lượt là: A(2;0), B (0;4) và C (2;4) (như hình bên).
Ta thấy tam giác ABC vuông tại C nên SD ABC =

1
1
AC .BC = .4.2 = 4.
2
2

Chọn B.

Câu 27 (Gv Huỳnh Đức Khánh) Cho số phức z thỏa mãn z (1 + i )= 3 - 5i .
Tính môđun của z .
A. z = 4.
B. z = 16.
C. z = 17.
D. z = 17.