CHƯƠNG 01:
BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO CHUYÊN ĐỀ
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
CHỦ ĐỀ 1. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ GIẢI
Đầu tiên xin nhắc lại các kiến thức về đạo hàm, đây là phần kiến thức trong chương trình toán THPT
lớp 11 học kì II.
1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm
Cho hàm số
lim

x � x0

y  f  x

a; b 
x � a; b 
xác định trên khoảng 
và điểm 0 
nếu tồn tại giới hạn

f ( x)  f ( x0 )
y  f  x
x  x0
hữu hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số
tại x0 .
f ( x )  f ( x0 )
y '  x0   lim
x � x0
f '  x0 
x  x0



BẢNG CÔNG THỨC ĐẠO HÀM THƯỜNG GẶP
Hàm số cơ bản
Hàm số hợp

 C  '  0 (C là hằng số)
 x '  1

 x  �  .x

 u  �  .u

� 1
�1 �
� �  2
�x � x với x �0
� 1
x 
2 x với x>0

 sin x  � cos x

� u�
�1 �
� �  2
�u � u với u �0
� u�
u 
2 u với u>0
.cos u

 tanu  �

u�

u �  k
2
cos u với
2


1
x với x  0
1
 log a x  �
x ln a với x  0

u
sin 2 u với u �k
u�
 ln u  �
u với u  0
u�
 log a u  �
u ln a với u  0

 e  � e
 a  � a .ln a

.e
 e  � u�

y  f  x
Cho hàm số
xác định trong khoảng K (đoạn, khoảng, nửa khoảng)
f x �f  x0  , x �K
f x
+ Nếu có x0 �K sao cho  
thì  0  được gọi là giá trị lớn hất của hàm số
trên khoảng K. Kí hiệu:

max y  f  x0 
K

f x �f  x0  , x �K
f x
+ Nếu có x0 �K sao cho  
thì  0  được gọi là giá trị nhỏ hất của hàm số
min y  f  x0 
trên khoảng K. Kí hiệu: K
.
4. Phương pháp tìm GTLN, GTNN.
Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng K:
Phương pháp: Lập bảng biến thiên trên khoảng K, rồi nhìn trên đó để kết luận max, min.
a; b :
y  f  x
Bài toán 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số
trên đoạn 
Phương pháp 1: Lập bảng biến thiên trên khoảng đó và kết luận.
Phương pháp 2: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] thì ta có các bước làm sau:
y  f  x
1. Tính đạo hàm của hàm số

�max f  x   f  b 
3. Tính đạo hàm y ' . Nếu
�
�min f  x   f  b 
y ' �0, x � a; b  � �
�max f  x   f  a 
4. Tính đạo hàm y ' . Nếu
Ngoài ra cần trang bị thêm một số kiến thức về bất đẳng thức cơ bản để giải quyết các bài này nhanh
hơn:
5. Bất đẳng thức Cauchy cho 2 và 3 số:
Hai số: Với A, B �0 ta luôn có A  B �2 AB , dấu bằng xảy ra khi A  B
3
Ba số: Với A, B, C �0 ta luôn có A  B  C �3 ABC , dấu bằng xảy ra khi A  B  C
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Dạng 1.
Một số bài toán ứng dụng về kinh doanh, sản suất trong cuộc sống.
Ý tưởng giải là cố gắng thiết lập một hàm số một biến sau đó ứng dụng đạo hàm để tìm GTLN,
GTNN.
Bài 1:
Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá
2.000.000 đồng mỗi tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn
hộ 100.000 đồng mỗi tháng thì có thêm 2 căn hộ bị bỏ trống. Muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó
phải cho thuê với giá mỗi căn hộ là bao nhiêu?
A. 2.250.000
B. 2.350.000
C. 2.450.000
D. 2.550.000
Lời giải:
Gọi x là giá thuê thực tế của mỗi căn hộ, ( x : đồng ; x �2000.000 đồng)
Ta có thể lập luận như sau:

( bằng số căn hộ cho thuê nhân với giá
cho thuê mỗi căn hộ).
1
F  x  
x 2  90 x
50.000
Bài toán trở thành tìm GTLN của
, ĐK: x �2.000.000
1
x  90
25.000
1
F ' x   0 � 
x  90  0 � x  2.250.000
25.000
F ' x   

Bảng biến thiên:
X
2.000.000
F’(x)
F(x)

+

2.250.000
0
Fmax

�

Giảm giá 5.000 đồng thì bán được thêm 50 quả.
Giảm giá 50.000 – x thì bán được thêm bao nhiêu quả?
Theo quy tắc tam xuất số quả bán thêm được là:
50
1

 50000  x  .
 50000  x 
5000 100
.
Do đó Số quả bưởi bán được tương ứng với giá bán x:
1
1
40 
 50000  x    x  540
100
100
Gọi F ( x) là hàm lợi nhuận thu được ( F ( x) : đồng).

1 2
� 1
�
F ( x)  �

x  540 �
.  x  30.000   
x  840 x  16.200.000
100
100
�

30 
�
�
2 � đồng. Tính
�
chuyến chở được m hành khách thì giá tiền cho mỗi hành khách được tính là
số hành khách trên mỗi chuyến xe để nhà xe thu được lợi nhuận mỗi chuyến xe là lớn nhất.?
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
Lời giải:
Gọi x là số hành khách trên mỗi chuyến xe để số tiền thu được là lớn nhất, (0  x �60)


Gọi F(x) là hàm lợi nhuận thu được (F(x): đồng)
Số tiền thu được :
2

5x �
25 3
�
F  x  �
300  �.x  90.000 x  1500 x 2 
x
2 �
4
�
Bài toán trở thành tìm x để F(x) đạt giá trị lớn nhất.
75

mỗi chiếc. Hỏi chiếc thùng phải có kích thước như thế nào để sản suất ít tốn vật liệu
nhất?
R  2 m , h  4  m
R  4 m , h  2  m
A.
B.
R  3 m , h  4  m 
R  4 m , h  4  m
C.
D.
Lời giải:
Do thùng phi có dạng hình trụ nên:
16
Vtru   R 2 h  16 � h  2 ,  1
R
Diện tích toàn phần của thùng phi là:
STp  2 R 2  2 Rh  2 R  h  R  ,  2 
Thay (1) vào (2) ta được:
16
�16
�
�
�
STp  2 R � 2  R � 2 �  R 2 �
�R
�
�R
�

� 16

Gia đình ông Thanh nuôi tôm với diện tích ao nuôi là 100m . Vụ tôm vừa qua ông nuôi với mật độ

là

1 kg / m 2 

tôm giống và sản lượng tôm khi thu hoạch được khoảng 2 tấn tôm. Với kinh nghiệm

 200 g / m2  tôm giống thì sản lượng tôm thu
nuôi tôm nhiều năm, ông cho biết cứ thả giảm đi
hoạch được 2,2 tấn tôm. Vậy vụ tới ông phải thả bao nhiêu kg tôm giống để đạt sản lượng tôm cho
thu hoạch là lớn nhất? (Giả sử không có dịch bệnh, hao hụt khi nuôi tôm giống).
230
kg
A. 3
B. 70kg
C. 72kg
D. 69kg
Giải:
Số Kg tôm giống mà ông Thanh thả vụ vừa qua: 100.1= 100(kg).
Gọi x (0
0

F’(x
)
F(x)

70
3
0

+

100
−

Fmax

Vậy vụ tới ông Thanh phải thả số kg tôm giống là:
70 230
100 

�76,67  kg 
3
3
Chọn A.
Nhận xét:
3
Làm sao ta có thể tìm được hàm F(x) và tìm được hệ số 8
Ta có thể hiểu đơn giản như sau: nếu ta không giảm số lượng tôm giống thì sản lượng tôm thu
100.20  2000  kg 

B. 30mg
C. 40mg
D. 20mg
Giải:
3
1 3
G  x   0, 25 x 2  30  x   x 2 
x
4
40
Ta có:
G ' x  

3
3 2
x
x
2
40

x  0(loai)
�
3
3
x  x2 � �
x  20(t/ m)
2
40
�
Bảng biến thiên:

B. 30
C. 20
D. 15
Giải:
Ta có:
G '  t   90t  3t 2

G ''  t   90  6t

G ''  t   0 � 90  6t  0 � t  15
Bảng biến thiên:
T
G’’(t)
G(t)

0
+

�

15
0
675

−

Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất sẽ vào ngày thứ 15.
Chọn D.
Bài 8:
Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. độ sâu







� t  �
sin �  � 0 � t  2  6k , k �Z   
2
�6 3 �
ở đây ta chỉ cần xét một số giá trị
k
1
2
3
4
t
4
10
16
22
Bảng biến thiên:
Ta suy ra được h đạt GTLN khi t =10 (h)
Lưu ý: Ngoài cách trên ta có thể làm như sau
� t  �
� t  �
�1cos
��
�
� 1 9 3cos �

V  S .h   12  2 x  .x  4 x3  48 x  144 x
2

với 0  x �6

Bài toán trở thành tìm x để V lớn nhất.
Ta có:
V '  12 x 2  96 x  144
x2
�
V '  0 � 12 x 2  96 x  144  0 � �
x6
�
Bảng biến thiên:
x
0

2

6


V’(x)
V(x)

+

0
128


�
S   x  6  �  4 � 408  4 x 
x
�x
�
Diện tích trang giấy:

Bài toán trở thành tìm x để S đạt giá trị nhỏ nhất.
2304
S ' x  4  2
x
Ta có:

S'0 � 4

x  24(t/ m)
�
2304

0
�
�
x  24(loai)
x2
�

Bảng biến thiên
x
0
S’(x


2
D. 30cm

x cm
8  x  cm
Gọi độ dài hình chữ nhật đó là:   . Chiều rộng của hình chữ nhật đó là: 
Suy ra 4 �x �8
S  x  8  x   8x  x 2
Diện tích hình chữ nhật đó là:
Bài toán trở thành tìm x để S đạt GTLN.
Ta có: S '  8  2 x; S '  0 � 8  2 x  0 � x  4
S 4  16; S  8   0
Vì hàm S(x) liên tục trên 4 �x �8 , ta có:  

2
Kết luận: hình chữ nhật có diện tích lớn nhất bằng 16cm
Lưu ý: Bìa này ta còn có thể sử dụng lí thuyết của lớp 10. Tìm GTLN của parapol với hệ số

S max  


� b �
 S�
 � 16
4a
� 2a �

a
5,76  x 2

 3, 24  x   10, 24  x 
2

2


Vì

�
BOC

góc

F  x 

là

góc

nhọn

nên

bài

toán

trở

t

Suy ra

Ta tìm t để F (t ) nhận giá trị nhỏ nhất.
�
� 2t  7
�
25 t  t  7    25t  63 �
�
�2 t  t  7 
� 25t  63 �
�
1
�
� �
F ' t   �
�25 t  t  7  � 25 �
t  t  7
�
�
�
�
�
2
1 �50  t  7t    25t  63  2t  7 
 �
25 �
2t  t  7  t  t  7 
�

�
�
�

�

+

Fmin

 3, 24  x   9 � x
2

2



144
� x  2, 4m
25

Thay vào đặt ta có:
Vậy để nhìn rõ nhất thì AO =2,4 m.
Chọn A.
Bài 13:
Một công trình nghệ thuật kiến trúc trong công viên thành phố Việt Trì có dạng là một tòa nhà hình
chóp tứ giác đều nội tiếp một mặt cầu có bán kính 5(m). Toàn bộ tòa nhà đó được trang trí các hình
ảnh lịch sử và tượng anh hùng, do vậy để có không gian rộng bên trong tòa nhà người ta đã xây dựng
tòa nhà sao cho thể tích lớn nhất. Tính chiều cao của tòa nhà đó.
20


� x  20h  2h 2 ,  5  h  10 
Ta có thể tích khối chóp tứ giác đều:
2
1
1
V  h   Bh 
20h  2h 2 h   20h 2  2h3 
3
3
Bài toán trở thành tìm h để V(h) đạt GTNN.





1
40h  6h 2 

3
1
20
V '  h   0 �  40h  6h 2   0 � h 
3
3
V ' h 

BBT
h
V ' h

cá nhất?
A. 14
B. 13
C. 12
D. 11
Giải
F n
Gọi   là hàm cân nặng của n con cá sau vụ thu hoạch trên một đơn vị diện tích
F n  480  20n  .n  480n  20n 2
Ta có:   


Để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất thì cân nặng của n con cá trên một đơn vị diện
tích của mặt hồ là lớn nhất.
*
Bài toán trở thành tìm n �� sao cho F(x) đạt GTLN.
F '  n   480  40n

F '  n   0 � 480  40n  0 � n  12

Học sinh tự lập bảng biến thiên.
Vậy phải thả 12 con cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được
nhiều cá nhất.
Chọn C.
Bài 15:
(Trích luận văn thạc sĩ Nguyễn Văn Bảo): Một khúc gỗ tròn hình
trụ cần xẻ thành một chiếc xà có tiết diện ngang là hình vuông và
4 miếng phụ như hình vẽ. Hãy xác định kích thước của các
miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang là lớn nhất.
Biết đường kính khúc gỗ là d.

d
4

D. Rộng

34  3 2
d
13
, dài

7  17
d
4

Giải
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng phụ lần lượt là x, y. Đường kính của khúc gỗ là d, khi





d 2 2
d
d
0 x
,0  y 
4
2
đó tiết diện ngang của thanh xà có độ dài cạnh là 2 và
Theo đề bài ta được hình chữ nhật ABCD như hình vẽ, theo định lý Pitago ta có:


S '( x ) 







x 8 x  2 2d
1
d 2  8 x 2  4 2dx 
2
2 d 2  8 x 2  4 2dx

16 x 2  6 2dx  d 2
2 d 2  8 x 2  4 2dx
2

�x �
�x �
S '  x   0 � 16 x  6 2dx  d  0 � 16 � � 6 2 � � 1  0
�d �
�d �
2

� x
BBT
X



34  3 2
7  17
d, y 
d
16
4

Bài 16:
Nhà Long muốn xây một hồ chứa nước có dạng một khối hộp chữ nhật có nắp đậy có thể tích bằng

576m3 . Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá tiền thuê nhân công để xây hồ
2
tính theo m là 500.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của hồ chứa nước sao cho chi phí thuê
nhân công là ít nhất và chi phí đó là bao nhiêu?
A. Rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Tiền: 216 triệu
B. Rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Tiền: 215 triệu
C. Rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Tiền: 214 triệu
D. Rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Tiền: 213 triệu.
Giải:
Gọi x, y, h lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của hồ chứa nước,
 x  0, y  0, h  0, m 

y
 2 � y  2x
Ta có: x

V  xyh � h 
Thể tích hồ chứa nước
Diện tích cần xây dựng hồ chứa nước:

X
0
6
S’(x)
−
0
+
S  x   2 xy  2 xh  2 yh  2 x  2 x   2 x

S(x)

S min
2
Vậy kích thước của hồ là: rộng 6m, dài 12m, cao 8m. Diện tích cần xây: 432m
Chi phí ít nhất là: 432 x500.000  216.000.000
Chọn A.

Bài 17:
Một công ty chuyên sản xuất container muốn thiết kế các thùng gỗ đựng hàng ở bên trong có dạng
3
hình hộp chữ nhật và không có nắp, có đáy là hình vuông. Thùng gỗ có thể chứ được 62,5m . Hỏi
các cạnh của hình hộp chữ nhật có độ dài là bao nhiêu để tổng diện tích xung quanh và diện tích mặt
đáy của thùng là nhỏ nhất?
A. Cạnh bên: 2,5m , cạnh đáy: 5m .
5 10
m
C. Cạnh bên: 3m, cạnh đáy: 6
Giải.

5 10

S ' x  0 � 2x  2  0 � x  5
x
BBT
X
0
5
S’(x)
−
0
 x 2  4 x.

�

+

S(x)

S min
Vậy để tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là nhỏ nhất thì cạnh đáy là 5m,
chiều cao 2,5m.
Chọn A.
Bài 18:
Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính R, nếu một cạnh của
hình chữ nhật nằm dọc theo đường kính của hình tròn mà hình chữ nhật đó nội tiếp?
A. 2R
Giải.

2

2

2
2
S ' x   0 �
 0 � 2R  4 x  0 � �
� R 2
R 2  x2
x
(loai)
�
2
�
BBT:
2

2


X

0

S’(x)

+

S(x)

R 2
2
0


F x
Gọi   là hàm chi phí để làm để cá.
Chi phí để hoàn thành bể cá:

F  x   0,16 �100.000  2.0,6 x.70.000  2.0,6.
13440
x
Bài toán trở thành tìm x để F(x) đạt GTNN.
13440
F '  x   84.000 
x2
13440
F '  x   0 � 84.000 
 0 � x  0, 4
x2
BBT
X
0
0,4
F’(x)
−
0

0,16
.70.000
x

 16.000  48.000 x 



2

P
Ta có khối lượng cần mạ là: vang
P
Với C là hằng số, vang là khối lượng riêng của vàng.
S x
Ta có: Khối lượng vàng cần mạ tỉ lệ thuận với  
V
4
V  x2h � h  2  2
x
x
Thể tích hộp
S  x   4 xh  x 2 

16
 x2
x

S x
Bài toán trở thành tìm x để   đạt giá trị nhỏ nhất.
16
S ' x   2  2x
x
16
S ' x   0 � 2  2x  0 � x  2
x
BBT X

A. 512 con
Giải:

B. 511 con

C. 510 con

D. 509 con

50.20  1000  con 
Số cá giống mà ông thanh đã thả trong vụ vừa qua là
Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là:
1500 :1000  1,5  kg 
.
x con  ,  x  0 
Gọi số cá giống cần thả ít đi trong vụ này là: 
Theo đề bài, giảm 8 con thì mỗi con tăng thêm 0,5kg / con

Vậy giảm x con thì mỗi con tăng thêm 0,0625 x kg / con .
Tổng số lượng cá thu được ở vụ này:
F  x    1000  x   1,5  0,0625 x   0,0625 x 2  61x  1500
Bài toán trờ thành tìm x để
Ta có:
F '  x   0,125 x  61

F  x

.

đạt GTLN.

dm3
V
dm3
V
dm3
V
dm3
27
27
27
27
A.
B.
C.
D.
Giải
Giả sử mỗi góc cắt đi một hình vuông x dm.

�
x  dm  , �
0 x
�
Khi đó chiều cao của hình hộp là
1  2x  dm
Và cạnh đáy của hộp là 
.
V  x  1  2 x  dm3
2

Vậy thể tích của hộp là:

2
dm3
Vậy thể tích cần tìm là: 27
. chọn A.

Bài 23:
(Đề minh học HSG Phú Thọ 2016-2017)

a m
Một người nông dân có ba tấm lưới thép B40, mỗi tấm dài   và muốn rào một mảnh vườn dọc
bờ sông có dạng hình thang cân ABCD như hình vẽ (Bờ sông là đường thẳng CD không phải rào).
2
Hỏi ông ta có thể rào được mảnh vườn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu m ?

2

5 3a 2
B. 4

A. 3a
Giải:
AB  a, AA '  h, CD  x. Ta có:

C.

3a 2
2

3 3a 2
D. 4

3
3
3

 3a  x   x  a 

3

2

xa xa xa �
�
3
a

x



2


27 �
3
3
3 � 27 a
�
�
�
4 �

130.000
F ' x   0 �
x  50.000  0 � 13 x  5 36  x 2
2
36  x
25
5
� x2 
� x   2,5
4
2
0;9
Vì F(x) là hàm liên tục trên đoạn 
nên ta có:
�5 �
F  0   1.230.000, F  9   1.406.000, F � � 1.170.000
�2 �
Vậy chi phí nhỏ nhất khi C cách A khoảng bằng 9km-2,5km=6,5km.


Chọn B.
Bài 25:
3
Một gia đình cần xây một cái bể nước hình trụ có thể chứa được 150m có đáy được làm bằng bê
tông, thành làm bằng tôn, bề mặt làm bằng kính. Tính chi phí thấp nhất cần dùng để xây bể nước đó.
biết giá thành vật liệu làm bằng bê tông có giá thành là 100.000 đồng/m 2, làm bằng tôn là 90.000
đồng/m2, bề mặt làm làm bằng kính là 120.000 đồng/m 2. (số tiền để xây được tính lấy giá trị lớn hơn
gần nhất với số tiền tính toán trên lí thuyết).
A. 15.041.000đ
B. 15.040.000đ


r
F’
F

0

3

−

675
11
0

�

+

Fmin
� 675 �
F �3
��15.038.287,97
11

�
Vậy chi phí thấp nhất là �
đồng.
Chọn C.
Bài 26:

Bài toán trở thành tìm x để   đạt GTLN.

1
1
1, 2 x
1 �1, 44  3,6 x �
1, 44  2, 4 x 
 �
�
2
2 1, 44  2, 4 x 2 � 1, 44  2, 4 x �
S '  x   0 � 1, 44  3,6 x  0 � x  0, 4
S ' x  

BBT
X
S’(x)
S(x)

0
+

0,4
0
Smax

0,6
−

Vậy cạnh BC=0,8m