Câu 1: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của

 x  2t

đường thẳng  :  y  1  t là
z  1



A. m  2; 1;1
B. v  2; 1;0 


C. u  2;1;1


D. n  2; 1;0 

Đáp án D
Phương pháp:

 x  x 0  at

+ Cho phương trình đường thẳng  :  y  y 0  bt . Khi đó ta biết đường thẳng  đi qua
z  z  ct
0


điểm M  x 0 ; y 0  và có vVTCP u   a; b;c  .

+ Chú ý: Véc tơ là một VTCP của  thì ku  k    cũng là một VTCP của  .


  : 2x  4y  mz  2  0.

Tìm m để hai mặt phẳng

   và   song song với nhau.
A. m  1
Đáp án B

B. Không tồn tại m

C. m  2

D. m  2


Phương pháp:
Cho

hai

   / /  

mặt

phẳng:

   : a1x  b1 y  c1z  d1  0
.


C. y  0

D. x  y  z  0

Phương pháp:


+) Phương trình đường thẳng đi điểm M  x 0 ; y 0 ; z 0  và có VTPT n   a; b;c  có phương
trình:

a  x  x 0   b  y  y 0   c  z  z 0   0.


 
 
+) Hai vecto u; v cùng thuộc một mặt phẳng thì mặt phẳng đó có VTPT là: n   u, v 
Cách giải:


 
Mặt phẳng    chưa điểm M và trục Ox nên nhận n   OM; u O x  là một VTPT.


OM  1;0; 1   
 n   OM; u O x  
Mà  
u

1;0;0


Câu 5: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
d:

x 1 y  2 z  3
và mặt phẳng


1
2
1

   : x  y  z  2  0. Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng
   , đồng thời vuông góc và cắt đường d?


A.  3 :

x 5 y2 z 5


3
2
1

B. 1 :

x2 y4 z4


3


x  1  t

Ta có d :  y  2  2t  t     A  t  1; 2t  2; t  3
z  3  t

Mà A       t  1   2t  2    t  3  2  0  A  2; 4; 4 

u d  1; 2;1
 
Lại có  
  u d ; n       3; 2; 1 là một VTCP của d’
n     1;1; 1

Kết hợp với d’ qua A  2; 4; 4   d :

x2 y4 z4
x 5 y2 z 5





3
2
1
3
2
1



1
2

 
 MA; MB



Cách giải:

x  t

Gọi A  0;0;a  a  0  , vì AB  mp     Phương trình đường thẳng  AB  :  y  0
z  a  t

Mà B  AB      B  t;0;a  t  và B  mp     t   a  t   3  0  t 

AM  1;1;;1  a 
 a 3 a 3 
Khi đó B 
;0;
   
a 1 5  a 
2  BM   
 2
;1;

2
2 

  AM; BM    3;3;3
BM   2;1;1
 a 2  2a  2 

2

Vậy diện tích tam giác MAB là SMAB 

1   3 3
MA; MB 
2
2

Câu 7: (Chuyên Đại Học Vinh) Trong không gian Oxyz, cho hai điểm

A 10;6; 2  , B  5;10; 9  và mặt phẳng    : 2x  2y  z  12  0. Điểm M di động trên
mặt phẳng    sao cho MA, MB luôn tạo với    các góc bằng nhau. Biết rằng M luôn
thuộc một đường tròn   cố định. Hoành độ của tâm đường tròn   bằng
A.

9
2

B. 2

C. 10

D. 4



22  22  12

AH

sin AMH  MA
AH BK


 MA  2MB  MA 2  4MB2
Khi đó 
MA MB
sin BMK  BK

MB
2
2
2
2
2
2
Suy ra  x  10    y  6    z  2   4  x  5    y  10    z  9  


2

2

2

20

10

 x  3  2t

34

 2t
Phương trình đương thẳng đi qua I và vuông góc với    có dạng  y 
3

34

z   3  t



34
34 
 10
 10
  34
  34 
 K   2t;  2t '  t  , K      2   2t   2   2t      t   12  0
3
3
 3

 3
  3
  3

3

B.

7
2

C.

21
2

D.

3
2

Đáp án B
Phương pháp:
+) Kiểm tra d    
+) Gọi B     O xy   B  a; b;0   B     , thay tọa độ điểm B vào phương trình

    1 phương trình 2 ẩn a, b.
+)

d / /   d   d  ;      d  B;  d    3.

Sử dụng công thức tính khoảng cách

 

 2b  2   1  2a    2a  b 
2

2

3

2

3

  2b  2   1  2a    2a  b   81   2  4a   1  2a    4a  2   81
2

 1  2a 

Vậy AB 

2

2

2

2

2

2



C. 1.

D.

2.

Gọi K  AC  BD. Gọi H là hình chiếu của K lên B’D. Khi đó KH là
đường vuông góc chung của 2 đường thẳng AC và B’D
KH BB'
KH
1
2 1
6
Ta có:



 KH 
.

.
KD B' D
2
6
2
3
3
2
Câu 10:(Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ tọa độ

B. 4x  2y  z  4  0.
C. 4x  2y  z  4  0. D. 4x  2y  z  4  0.
Đáp án C.
Dễ thấy 4.0  2.1  2  4  0suy ra A   P  : 4x  2y  z  4  0.
Câu 12: (Chuyên ĐH Sư Phạm Hà Nội) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho
A  1;0;0  , B  0;0; 2  , C  0; 3;0  . Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là
14
.
3
Đáp án C.

A.

B.

14
.
4

C.

14
.
2

D. 14.

OA 2  OB2  OC2
14


Vì ABC.A’B’C’ là lăng trụ đứng, đáy là tam giác vuông cân  C '  0; 2; 2  .


 
Ta có BC '   2; 2; 2  và A 'C '   0; 2; 2   BC '.A 'C  0  BC '  A 'C.
Câu 15: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, mặt phẳng đi qua các điểm A  2;0;0  ; B  0;3;0  , C  0;0; 4  có phương trình là:
A. 6x  4y  3z  12  0

B. 6x  4y  3z  0

C. 6x  4y  3z  12  0

D. 6x  4y  3z  24  0

Đáp án C


Phương trình mặt phẳng đoạn chắn của  ABC  là

x y z
  1
2 3 4

Do đó  ABC  : 6x  4y  3z  12  0

Câu 16: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt cầu

 S :  x  1   y  2    z  3

Suy ra MI  MH , gọi M 1  2t; 2  2t;3  t    S  4t 2  4t 2  t 2  9  t  1

 M1  3; 4; 2   M 2 H  12
Do đó 
 MH max  M  M 2   3; 4; 2 
 M 2  1;0; 4   M 2 H  34
Câu 17:(Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  2z  3  0 và điểm I 1;1;0  . Phương trình mặt cầu
tâm I và tiếp xúc với (P) là:
A.  x  1   y  1  z 2 
2

2

C.  x  1   y  1  z 2 
2

2

5
6

5
6

B.  x  1   y  1  z 2 

25
6


Gọi  P  là mặt


phẳng vuông góc với    ,  P  song song với giá của vecto v 1;6; 2  và  P  tiếp xúc với
(S). Lập phương trình mặt phẳng ( P ).
A. 2x  y  2z  2  0 và x  2y  z  21  0
B. x  2y  2z  3  0 và x  2y  z  21  0
C. 2x  y  2z  3  0 và 2x  y  2z  21  0
D. 2x  y  2z  5  0 và x  2y  2z  2  0
Đáp án C

 
Ta có: n  P    n    ; n  P     2; 1; 2    P  : 2x  y  2z  D  0
Mặt cầu  S có tâm I 1; 3; 2  ; R  4  d  I;  P    4 

D  3
4
4 1 4
 D  21
9D

Câu 19: (Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa 2018)Trong không gian với hệ trục tọa độ
Oxyz, điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng

P :

x  y  z  1  0.
A. K  0;0;1

B. J  0;1;0 



cho mặt cầu  S :  x  1   y  2    z  3  16 và các điểm A 1;0; 2  , B  1; 2; 2  .
2

2

2

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua hai điểm A, B sao cho thiết diện của mặt phẳng (P) với mặt
cầu (S) có diện tích nhỏ nhất. Khi viết phương trình (P) dưới dạng ax  by  cx  3  0.
Tính tổng T  a  b  c.
B. 3

A. 3

C. 0

D. 2

Đáp án B
Xét  S :  x  1   y  2    z  3  16 có tâm I 1; 2;3 , bán kính R  4
2

2

2

Gọi O là hình chiếu của I trên mp  P  . Ta có Smin  d  I;  P  max  IO max
Khi và chỉ khi IO  IH với H là hình chiếu của I trên AB.


D. 10


Do đó, 5 điểm O, A, B, C, D tạo thành tứ diện như hình vẽ bên
Vậy có tất cả 5 mặt phẳng cần tìm đó là:
 Mặt phẳng  OAC  đi qua 3 điểm O, A, C
 Bốn mặt phẳng là các mặt bên của tứ diện O.BCD đi qua 3 điểm trong 5 điểm O,
A, B, C, D
Câu23: ( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho
A 1; 2; 3 , B  3; 2;9  . Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB có phương trình là:

A. x  3x  10  0.
Đáp án D.

B. 4x  12z  10  0 C. x  3y  10  0.

D. x  3z  10  0.


Gọi I là trung điểm của AB. Ta có: I  1; 2;3 , AB  4;0;12 
Mặt phẳng trung thực của đoạn thẳng AB có phương trình là:
 P  : 4  x  1  0  y  2   12  z  3  0 hay  P  : x  3z  10  0.
Câu 24:( Chuyên Thái Bình Lần 3-2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi H
x 1 y z  2
hình chiếu vuông góc của M  2;0;1 lên đường thẳng  :
 
. Tìm tọa độ
1
2


2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Đáp án A.

Ta có: n Oy  0;1;0  . Mặt phẳng (P) qua I và vuông góc với Oy là:  P  : y  2  0

 P   Oy  E  0; 2;0  

x  2 y 1 z
x  2 y 1 z
A.


. B.

 .
1
4
2
1
4
2
x  2 y 1 z
x  2 y 1 z
C.
D.

 .


.
1
3 2
3
4
2
Đáp án A.


.
9
9
3
9
Đáp án B.
Ta có: d  O;  P    OM

Dấu bằng xảy ra  OM   P    P  :1 x  1  2  y  2   3  z  3  0
14 

Hay  P  : x  2y  3z  14  0  A 14;0;0  ; B  0;7;0  ;C  0;0; 
3

1
686
 VO.ABC  OA.OB.OC 
.
6
9
Câu 28:( Chuyên Vĩnh Phúc-Lần 3) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho




véctơ a  1; 2;3 . Tìm tọa độ của véctơ b biết rằng véctơ b ngược hướng với véctơ a



và b  2 a


30
2

Đáp án C
Gọi I  1; 1; 4  ; AB2  24 là trung điểm của AB khi đó AM 2  BM 2  30

 2  2
  2  
Suy ra MA  MB  30 MI  IA  MI  IB



 



2

 30

  
AB2
2MI 2  IA 2  IB2  2MI IA  IB  30  2MI 2  30 
 MI  3.
2







A. M  1;3; 2 

B. M  2; 4;0 

C. M  3;7; 2 

 3 7

D. M   ; ; 1
 2 2


Đáp án B



Gọi M  a; b;c  suy ra AM   a; b  2;c  4  , BM   a  3; b  5;c  2 
2
2
2
2
2
Khi đó MA 2  2MB2  a 2   b  2    c  4   2  a  3   b  5    c  2  



 3a 2  12a  3b 2  24b  3c 2  96  3  a  2   3  b  4   3c 2  36  36
2





A. AB   3; 2;3
B. AB   3; 2; 3
C. AB   3; 2;3
D. AB   3; 2;3
Đáp án B

Câu 35: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ

 


Oxyz, cho hai véctơ a   2; 3;1 và b   1;0; 4  . Tìm tọa độ véctơ u  2a  3b.




A. u   7;6; 10 
B. u   7;6;10 
C. u   7;6;10 
D. u   7; 6;10 
Đáp án B

Ta có u  2  2; 3;1  3  1;0; 4    7;6;10  .
Câu 36: (Chuyên Hạ Long-Quảng Ninh-1-2018 ) Trong không gian với hệ tọa độ



 12.

x  1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
. Vậy M 1;3;0  .
y  3
Câu 37:
 (Chuyên Thái Nguyên
 Lần 1) Trongkhông gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn
véc tơ a   2;3;1 , b   5, 7, 0  , c   3; 2; 4  và d   4;12; 3 . Mệnh đề nào sau đây sai?
   
  
A. a, b, c là ba vecto không đồng phẳng
B. 2a  3b  d  2c
   
   
C. a  b  d  c
D. d  a  b  c
Đáp án B
 
 
Ta có a  b   7;10;1  c  d   4;12; 3  đúng
   
2a  3b  d  2c
Câu 38: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
x  1  t

d :  y  2  2t . Vecto nào dưới đây là vecto chỉ phương của d?
z  1  t



Câu 40:(Chuyên Khoa Học Tự Nhiên)

2

D. 6


Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng  P  : 2x  y  z  2  0
A. Q 1; 2; 2 

B. N 1; 1;1

C. P  2; 1; 1

D. M 1;1; 1

Đáp án B
Đáp án C
Gọi A  x; y  , B   x; y  , C  x  y; x  y  là các điểm biểu diễn 3 số phức theo đề bài
Ta có
AB 

 x  y   x  y
2

2

AC  y 2  x 2
BC  x 2  y 2

3

Câu 42: (Chuyên Khoa Học Tự Nhiên) Trong không gian Oxyz, cho 2 đường thẳng
x 1 y 1 z 1
x 2 y z 3
và d 2 :
d1 :


 
. Mặt cầu có một đường kính là đoạn
2
1
3
1
2
3
thẳng vuông góc chung của d1 và d 2 có phương trình là
A.  x  4    y  2    z  2   3

B.  x  2    y  1   z  1  12

C.  x  2    y  1   z  1  3

D. Không tồn tại mặt cầu thỏa mãn

2

2


Ta có   
1
3

u

2t

2
1

2u

t

3
4

3u

3t

0






AB.u

x 1 y  2 z  3
là
d2 :


1
1
3
x 1 y 1 z  2
x 1 y z 1
A.
B.


 
1
1
1
1
1
1
x 1 y  2 z  3
x 1 y z 1
C.
D.




1

5
3
5
A.
B.
C.
D. 3
4
2
2
Đáp án A
Gọi K là trực tâm của tam giác OAB
Và M là trung điểm của AB  OM  AB vì tam giác OAB cân
Mà H là trực tâm của tam giác ABC  HK   ABC 
Suy ra HK  HM  H thuộc đường tròn đường kính KM
 x  4t

Ta có trung điểm M của AB là M  4; 2;0   OM :  y  2t
z  0



Lại có K  OM  K  4t; 2t;0   AK   4t  5; 2t;0 
 
3
 3 
Suy ra AK.OB  0  3  4t  5   4.2t  0  t   K  3; ;0 
4
 2 
KM

2
2
Mà AB  3 2  AB2  18  2  t  2    4t  8   18  
 B  2;3; 4 
 t  3
Gọi H là hình chiếu của B trên   
Khi đó BH  d  B;     

2  4 1
2



3 2
2

AB  3 2
3 2
Vì 
 BC  3 2cos60 
  60
2
ABC
Và BHC vuông tại H và BC là cạnh huyền  BH  BC
3 2
Mà BH  BC 
 H  C  C là hình chiếu của B trên mặt phẳng   
2
x  2  t
5


2

2

2

2

2

2


Vậy phương trình mặt cầu tâm cần tìm là  x  10    y  17    z  7   8
2

2

2

Câu 47:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A  0; 0; 0 ,B  3; 0; 0 ,D  0;3; 0 ,D '  0;3; 3 . Tọa độ
trọng tâm của tam giác A’B’C’ là
A. 1;1; 2
B.  2;1; 2

C. 1;2; 1

D.  2;1; 1

AB. AC  16  Mệnh đề C sai.
Câu 49:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
Cho bốn điểm A  2; 0; 0 ,B  0;2; 0 ,C  0; 0;2 và D  2;2;2 . Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của  S và AB. Tọa độ trung điểm I của MN là:
A. I 1; 1;2
Đáp án D

B. I 1;1; 0

1 1 
C. I  ; ;1
2 2 

D. I 1;1;1


x A  xB
xC  xD


 xM  2
 xN 
2


y  yB
y  yD


Áp dụng công thức trung điểm ta có  yM  A

x A  xB  xC  xD

1
 xI 
4

y  yB  yC  yD

Suy ra  yI  A
 1  I 1;1;1
4

z A  z B  zC  z D

1
 zI 
4


Câu 50:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho tam giác ABC có A 1;2; 1 ,B  2; 1;3 ,C  4; 7;5 . Tọa độ chân đường phân giác

 của tam giác ABC là
trong góc B
 2 11 
 11

 2 11 1 
A.   ; ;1
B.  ; 2;1



D

1 k
3

y

ky
11

 2 11 
A
C

 D   ; ;1
 yD 
1 k
3
 3 3 

z A  kzC

 zD  1  k  1

Câu 51:(Chuyên Lê Hòng Phong- Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
k 



(S).


IE  (0;3; 4) , EM  (a  1; b  4; c  3)
a  1  0
a  1


 


IE , ME cùng phương  EM  k IE  b  4  3k  b  3k  4
c  3  4k
c  4k  3


4

k 

5
M  ( S )  (3k  3) 2  (4k  4) 2  1  
k   6

5

4
208
 8 1
k    M 1 1; ;   EM 1 


A.

D.

11
34

4

 t  11

 xo  2  yo  3 zo  0
 x  4
 
 AH .BC  0  xo  t
 o 11
34
Theo đề bài, có     

 xo  yo  zo 
11
 yo  2  t
 y  18
 BH  t BC
o
 zo  3t

11




Ta có: AB 1; 2; 2  , AC  2; 4; 4   2 AB  A, B, C thẳng hàng
Câu 55: ( Chuyên Đại Học Vinh)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ,cho tam giác

OAB có A  1; 1;0  , B 1;0;0  . Tính độ dài đường cao kẻ từ O của tam giác OAB
A.

1
5

B.

5

C.

5
10

D.

2 5
5


Đáp án A

 
 AB; OB 

khoảng cách từ điểm K  0; 0;2 đến mặt phẳng  P đạt giá trị lớn nhất. Tìm tọa độ véctơ

n
pháp tuyến
của mặt phẳng 



A. n 1; 1;1
B. n 1;1; 1
C. n  2; 1;1
D. n  2;1; 1
Đáp án B
x  t

Ta có MN : y  1  2t . Gọi H  t; 1  2t;2  t  là hình chiếu vuông góc của K lên MN
z  2  t



1
Khi đó KH  t; 1  2t; t  .MN  1;2;1  0  t  2  4t  t  0  t 
3
 1 1 7 
 H  ; ;  . Ta có d K;  P  KH dấu “=” xảy ra  KH   P
 3 3 3
   1 1 1 
1
Khi đó n  KH   ; ;    1;1; 1
3


2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Đáp án D





Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng  P là d  d I;  P  3


  2 1 1 -2 2 2  


Vậy phương trình mặt phẳng  P là y  2z  2  0

Câu 61: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P : 4x  z  3  0. Véc-tơ nào dưới đây là
một véctơ chỉ phương của đường thẳng d?
A. u1  4;1; 1
B. u2  4; 1;3

C. u3  4; 0; 1

D. u4  4;1;3

Đáp án C



Vì d   P suy ra ud  n  P   4; 0; 1
Câu 62: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,
cho ba điểm A  a; 0; 0 ,B  0; b; 0 ,C  0; 0; c với a,b,c là các số thực dương thay đổi tùy
ý sao cho a2  b2  c2  3. Khoảng cách từ O đến mặt phẳng
 ABC lớn nhất bằng
1
3
Đáp án C

A.