MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
1.2. Mục đích nghiên cứu
1.3. Đối tượng nghiên cứu
1.4. Phương pháp nghiên cứu

2
2
2
2
2

2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.3. Các giải pháp và tổ chức thực hiện
2.3.1. Hướng thứ nhất
2.3.2. Hướng thứ hai
2.3.3. Hướng thứ ba
2.3.4. Hướng thứ tư
2.3.5. Hướng thứ năm
2.3.6. Hướng thứ sáu
2.3.7. Hướng thứ bảy
2.3.8. Hướng thứ tám
2.3.9. Hướng thứ chín
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo
dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

3

quy luật của dãy số, vì thế các em còn lúng túng, chưa định hướng được phương
pháp giải cho hợp lý. Ngoài ra trong các đề thi học sinh giỏi lớp 6 các cấp
thường có bài tập về dạng này. Tuy nhiên sách giáo khoa và sách bài tập lại chưa
đề cập nhiều, sách nâng cao có đề cập đến nhưng cũng chưa sâu, thường đưa ra
một số bài tập rời rạc, không hệ thống, chưa hướng cho các em biết cách khai
thác bài toán thành bài toán mới đa dạng hơn, nên khi gặp bài khác đi một chút
là các em thấy khó.
Trường THCS Lê Đình Chinh của huyện Ngọc Lặc là trường có tỉ lệ học
sinh giỏi tương đối cao so với mặt bằng chung của toàn huyện, có nhiều học sinh
yêu thích môn Toán và dự thi học sinh giỏi cấp huyện cấp tỉnh. Là một giáo viên
được phân công giảng dạy môn toán 6 năm học 2017-2018, với mong muốn
giúp các em học sinh học tốt hơn môn toán và đạt điểm cao trong kì thi HSG cấp
huyện môn Toán 6 và các năm tiếp theo, tôi đã nghiên cứu và viết sáng kiến kinh
nghiệm “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giỏi lớp 6 trường THCS Lê Đình
Chinh, huyện Ngọc Lặc cách khai thác kết quả từ một bài toán tính tổng”.
1.2. Mục đích của sáng kiến:
Giúp học sinh khai thác, mở rộng bài toán từ một bài toán tính tổng đơn
giản thành những bài toán mới đa dạng hơn, giúp học sinh biết cách tìm ra quy
luật của tổng một cách nhanh chóng để có phương pháp giải phù hợp.
Rèn luyện cho học sinh thói quen khi gặp một bài toán, không chỉ tìm cách
giải bài toán đó mà còn phải cố gắng tìm cách khai thác bài toán để được những
bài toán mới, góp phần nâng cao kiến thức, khả năng tư duy toán học, suy luận
lôgic cho học sinh.
Ngoài ra, còn giúp cho giáo viên hệ thống hóa các dạng bài có liên quan
một cách rời rạc thành một chuỗi thống nhất, từ đó giúp học sinh tiếp thu bài dễ
dàng, quá trình dạy học đạt hiệu quả cao nhất.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Học sinh giỏi của lớp 6A1+6A2 trường THCS Lê Đình Chinh, Ngọc Lặc
năm học 2017-2018.
- Nghiên cứu các hướng khai thác từ bài toán (tổng của dãy phân số có quy

Do vậy, việc tìm ra quy luật và khai thác bài toán cơ bản theo nhiều dạng
bài tập khác nhau càng trở nên cần thiết, giúp học sinh thành thạo hơn khi gặp
dạng này và tự tin hơn khi gặp đề thi có các bài tập liên quan.
2.2. Thực trạng vấn đề
Trong quá trình dạy các tiết học về các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân
số tôi thấy các em còn lúng túng, không tìm ra phương pháp giải cho dạng toán
tính tổng dãy các phân số viết theo quy luật, trong đó có bài tập trong đề thi cấp
huyện năm học 2016-2017:
1
1
1
1


 ... 
Tính giá trị biểu thức: B 
1.2 2.3 3.4
99.100
Đối với những em tìm được cách giải bài toán thì các em hài lòng và dừng
lại, nên khi thay đổi đề bài một chút thì lại không có hướng giải.
Qua đây, bản thân nhận thấy : học sinh còn làm việc rập khuôn, máy móc,
lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính
tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Từ thực trạng trên, tôi đã tìm tòi, nghiên cứu các tài liệu để định hướng
cho các em tư duy, tập trung khai thác kết quả bài toán đó. Từ kết quả của bài
toán này, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh
như: phát triển bài toán, hình thành cách giải chung cho bài toán tổng quát, tạo
ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác.
Trước tiên, ta xem xét lời giải của bài toán ban đầu:

= 1
2 2 3 3 4
99 100
100 100
Nhận thấy, B là tổng của một dãy các phân số có quy luật: tử các phân số đều
là 1, mẫu các phân số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp. Tiếp tục khai thác
bài toán này, ta có thể theo các hướng sau :
2.3.1. Hướng thứ nhất : thêm vào biểu thức các số hạng theo quy luật
của dãy để được bài toán mới có cùng phương pháp giải
1
1
1

 ... 
Bài tập 1: Tính nhanh B1 
1.2 2.3
2017.2018
*Phân tích bài toán:
Nếu chịu khó suy nghĩ thì bài toán 1 không khó, chỉ “dài hơn” so với bài toán
ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
B1 

 ... 
1.2 2.3
2017.2018
= 1

1
1
1 1 1
1
1
1
n
B2 

 ... 
 1     ...  
1

1.2 2.3
n. n  1
2 2 3
n n 1
n 1 n 1
Công thức tổng quát : với n �N*
1
1
1
 
n.  n  1 n n  1
1

1
1
1
n

 42.� 
 ... 
�
1.2 2.3
99.100
1.2 2.3
99.100 �
�
1 1
1
1 � 2 � 1 � 2 99 396
2 � 1
1     ...  
1

= 4 .�
� 4 .�
� 4 .
2
2
3
99
100
100
100
25
�
� �
�
*Từ đây ta có công thức tổng quát hơn :

1.3 1 3 3.5 3 5

không đúng như vậy. Xét hiệu hai thừa số của mỗi mẫu đều bằng 2, cho nên phải
biến đổi mỗi phân số của biểu thức đều có tử là 2 thì mới tách mỗi phân số đó
thành hiệu của hai phân số có tử là 1 và có mẫu là hai thừa số trong mỗi tích của
mỗi mẫu ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1
B4 


 ... 
1.3 3.5 5.7
99.101
1 �2
2
2
2 �

 ... 
= .� 
�
2�
1.3 3.5 5.7
99.101 �
1� 1 1 1 1 1
1

1
1
1
1


 ... 
Bài tập 5: Tính A 
11.16 16.21 21.26
61.66
(trích đề thi Toán 6 huyện Ngọc Lặc năm học 2013-2014)
*Phân tích bài toán:
Khoảng cách giữa hai thừa số của mỗi mẫu đều bằng 5, cho nên phải biến đổi
mỗi phân số của biểu thức đều có tử là 5 thì mới tách mỗi phân số đó thành hiệu
5


của hai phân số có tử là 1 và có mẫu là hai thừa số trong mỗi tích của mỗi mẫu
ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1
A


 ... 
11.16 16.21 21.26
61.66

Bài tập 6: Tính nhanh B5  
.
1.2 2.3
99.100
*Phân tích bài toán:
Bài toán này nếu coi biểu thức là tổng các phân số có tử là -1 thì cách giải quyết
không khó.
*Lời giải tóm tắt :
1
1
1
1 1
1
B5  

 ... 


 ... 
1.2 2.3
99.100 1.2 2.3
99.100
1
1 � � 1 � 99
�1
 ... 
1
= � 
�  �
� 

4 �


 ... 
 .�


 ... 
�
11.15 15.19 19.23
51.53 4 �
11.15 15.19 19.23
51.53 �
2 �1 1 1 1
1 1 �
= .�     ...   �
4�
11 15 15 19
51 53 �
2 �1 1 � 2 42
21

= .�  � .
4�
11 53 � 4 583 583
Bài tập 8: Tính A: B biết
6


39

�2



 17.�



�
7.13 13.22 22.37 37.49
�7.13 13.22 22.37 37.49 �
39
65
52
26
5
4
2 �
�3



 13.�



�
7.16 16.31 31.43 43.29
�7.16 16.31 31.43 43.29 �
Rồi tìm cách biến đổi sao cho tử đúng bằng khoảng cách giữa hai thừa số ở mẫu

3 �7.13 13.22 22.37 37.49 �
17 �1 1 1 1
1
1
1
1 �



 �
= .�   
3 �7 13 13 22 22 37 37 49 �
17 �1 1 �
= .�  �
3 �7 49 �
39
65
52
26
5
4
2 �
�3
B



 13.�



5




Bài tập 9: Tính nhanh:
1.6 6.2 2.13 13.3 15.4
*Phân tích bài toán:
Tương tự như bài tập 8, trong tổng này các tử không bằng nhau, khoảng cách
giữa hai thừa số ở các mẫu có khoảng cách không bằng nhau, tuy nhiên học sinh
rất khó khăn trong việc xác định quy luật. Như bài tập 8, ta nhân cả tử và mẫu
A

7


với 3 để tử số bằng khoảng cách của hai thừa số ở mẫu, với mục đích như vậy
nhưng giũ nguyên tử, tìm cách tạo ra khoảng cách của hai thừa số ở mẫu bằng tử
số thì bài toán sẽ tìm ra lời giải.
*Lời giải tóm tắt :
1
4
3
2
5
5 �1
4
3
2
5 �

Bài tập 10: Tính nhanh B6     ... 
.
2 6 12
9900
*Phân tích bài toán:
Mới đầu học sinh sẽ gặp khó khăn, không biết bắt đầu từ đâu, khoảng cách giữa
các mẫu không theo quy luật nào cả. Đến mức độ này, bài toán trở nên khó hơn,
tuy nhiên nếu chịu khó suy nghĩ, tìm quy luật thì bài toán trở nên dễ dàng hơn
khi biết phân tích các mẫu thành tích : 2 = 1.2, 6 = 2.3 , … , 9900 = 99.100.
*Lời giải tóm tắt :
1 1 1
1
1
1
1
1
1
99
B5     ... 
 


 ... 
1

2 6 12
9900 1.2 2.3 3.4
99.100
100 100
Đây là hướng mở rộng bài toán thành những bài toán tương đồi khó, yêu cầu học

20 30 42 56 72 90
�4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 �
�1 1 � 3
=  �  �
�4 10 � 20
Hay diễn đạt hướng khai thác này theo cách khác :
1 1 1
1
;
; ... ”[3]
Bài tập 12: “Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy : ; ;
6 66 176 336
*Phân tích bài toán:
Trước hết ta viết các mẫu thành dạng tích : 6 = 1.6; 66 = 6.11; 176 = 11.16;
336 = 16.21; … ; số hạng thứ n của dãy có dạng (5n - 4)(5n + 1), do đó số hạng
1
thứ n của dãy đã cho là
. Như vậy yêu cầu bài toán đưa về tính tổng :
496.501
8


1 1
1
1
1



 ... 



 ... 
= .� 
�
5�
1.6 6.11 11.16 16.21
496.501 �
1 � 1 � 1 500 100
1

= .�
� .
5 � 501 � 5 501 501
Tuy nhiên, đối với những bài toán chưa cho trước quy luật mẫu số mà cần yêu
cầu tư duy cao hơn mới tìm ra quy luật thì sao?
1 1
1
1
1
1


Bài tập 13: “Tính nhanh: C    
”[2]
2 14 35 65 104 152
*Phân tích bài toán:
Ta nhận thấy mẫu các số hạng trong tổng kia phân tích thành tích thì không có
quy luật nào cả nên không áp dụng được công thức. Vậy làm thế nào đưa bài
toán này về bài toán có quy luật. Nếu nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong




=
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19
2 �3
3
3
3
3
3 �




= .� 
�
3�
1.4 4.7 7.10 10.13 13.16 16.19 �
2 � 1 � 2 18 12
1  � . 
= .�
3 � 19 � 3 19 19
1 1
1
1

 ... 
Bài tập 14: Tính nhanh: 
6 30 70

9.11 �
9


1 � 1 � 1 10 5
.�
1  � . 
2 � 11 � 2 11 11
2.3.7. Hướng thứ bảy : tăng thêm thừa số trong mỗi mẫu số.
1
1
1
1


 ... 
Bài tập 15: Tính nhanh B7 
.
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100
*Phân tích bài toán:
Nếu chưa làm bài tương tự lần nào thì đến đây hầu như học sinh bế tắc. Với gợi
ý làm sao để biến đổi một thừa số là hiệu của hai phân số, sau đó có thể rút gọn
được thì học sinh chỉ nghĩ làm sao để được phân số có mẫu là số được tính sẵn.
Nếu nghĩ rộng ra một chút như thế này thì bài toán dễ dàng được giải quyết :
1
1 3  1 1 �1
1 �
 .
 .� 

1 �2
2
2
2
�


 ... 
= .�
�
2�
1.2.3 2.3.4 3.4.5
98.99.100 �
1 �1
1
1
1
1
1 �


 ... 

= .� 
�
2�
1.2 2.3 2.3 3.4
98.99 99.100 �
1 �1
1 � 1 4949 4949

1
1
1
1


 ... 
Bài tập 16: Tính nhanh A8 
.
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
97.98.99.100
*Phân tích bài toán:
Dựa vào bài tập 12, ta có hướng suy nghĩ :
1
1 4 1 1 � 1
1 �
 .
 .�

�;
1.2.3.4 3 1.2.3.4 3 �
1.2.3 2.3.4 �
10


1
1 52
1�1
1 �
 .

3
�


 ... 
= .�
�
3�
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6
97.98.99.100 �
1 �1
1
1
1
1
1
�



 ... 

= .�
�
3�
1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5
97.98.99 98.99.100 �
1 �1
1
�

1
1
: 

 ... 
Bài tập 17: Tìm x, biết:
2 3 1.2 2.3
99.100
*Phân tích bài toán:
Để làm được bài tập này thì trước tiên phải tính được vế phải, khi đó lại quay lại
bài tập cơ bản ban đầu.
*Lời giải tóm tắt :
x 1 1
1
1

 ... 
Ta có: : 
2 3 1.2 2.3
99.100
x 1
1
99
: 1

2 3
100 100
x 1 99
33
33

Ta có :
1.2 2.3
x. x  1 2018
1 1 1
1
1
2017
� 1     ...  

2 2 3
x x  1 2018
1
2017
�1 

x  1 2018
1
1
�

� x  2017
x  1 2018
Hoặc có thể kết hợp các hướng khai thác vào bài toán tìm x :
Bài tập 19: Tìm x, biết:
1
1
1
1
20


1.3 3.5 5.7
x. x  2  41
2
2
2
2
40
�


... 

1.3 3.5 5.7
x. x  2  41
1
40
1
1
�1 

�
 � x  39
x  2 41
x  2 41
1
1 � 44
�1

 ... 
.x 

8.9 9.10 � 45
�
1 � 88
�1
�� 
.x 
�
1.2 9.10 � 45
�
44
88
� .x 
�x4
90
45
2.3.9. Hướng thứ chín : ứng dụng vào bài toán bất đẳng thức
1
1
1

 ... 
Bài tập 20: So sánh
với 1.
1.2 2.3
99.100
*Phân tích bài toán:
12


Một biểu thức đã cho chính là bài toán ban đầu, như vậy ta có thể vận dụng bài

50
49.50
*Lời giải tóm tắt :
1 �1 1
1 �
1
1 �
�1
A  2  � 2  2  ...  2 � 1  � 
 ... 
�
1 �2 3
50 �
1.2 2.3
49.50 �
�
1 1 1
1
� 1 �
A  2  2  2  ...  2  1  �
1  � 2
1 2 3
50
� 50 �
Phát triển tiếp bài tập 18 ta có :
1 1
1
Bài tập 22: Chứng tỏ rằng tổng 2  2  ...  2 không phải là số nguyên.
2 3
50

 2  2  ... 
 2 .� 2  2  2  ...  2 �
2
2
4 6 8
n �
 2n  2 �2 3 4
� 1 � 1� 1
1 �1
1
1
1
.


 ... 
 .�
1  �
2 �
2 �
1.2 2.3 3.4
(n  1).n �
4
n� 4
�
�
1 1 1
1
3


�
�
2 3 4
1002 22 �2.3 3.4
99.100 �
1 �1
1 �1 1 3
A � 
�  
4 �2 100 � 4 2 4
36
36
36
36


 ... 
3
Bài tập 25: Chứng minh rằng
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
*Phân tích bài toán:
Bài tập này các em chỉ cần nhớ lại cách tính vế trái, sau đó tìm cách so sánh là
được.
*Lời giải tóm tắt :
36
36
36
36
4


= 9.� 
�
1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9
25.27 27.29 �
�
1 � 260 260 261
�1


3
= 9.� 
� 9.
1.3 27.29 � 783 87
87
�
Ở đây học sinh làm tương tự như bài 23 thì được kết quả A  1 

Từ đây, ta còn có thể khai thác để phát triển bài toán thành nhiều bài toán
mới về dãy phân số có quy luật mà trong giới hạn của sáng kiến kinh nghiệm
chưa thể trình bày hết được.

14


*Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính nhanh :
5
5
5


 ... 
d) D =
1.2.3 2.3.4
37.38.39
Bài 2: Tính nhanh :
1 1
1
1
1
 


a) A =
15 35 63 99 143
1 1
1
1
1
1


b) B =   
2 14 35 65 104 152
5
4
3
1
13


 ... 
a) Cho A =
. Chứng minh: A < 3;
1.3.5 3.5.7
25.27.29
5
5
5
1

 ... 
b) Cho B =
. Chứng minh: B  ;
48
5.8.11 8.11.14
302.305.308
16
16
4
4
4

 ... 
C ;
c) Cho C =
. Chứng minh:
15.19 19.23
399.403
81
80

41.45 45
1
1
1
1
3


 ... 

c)
3.4 4.5 5.6
x. x  1 10
1
1
1
1
1


 ... 

d)
5.8 8.11 11.14
x. x  3 18
1
1
1
2
2

HKII

Làm bài tốt,
nhanh
SL
%

Làm được bài,
chưa nhanh
SL
%

Còn khúc mắc
SL

%

66

4

6,06

10

15,15

52

78,79

công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, bước đầu tôi đã thu được thành công đáng kể
đó là có nhiều học sinh đạt điểm trong kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện và học
sinh không còn cảm giác sợ môn toán nữa, trái lại các em rất đam mê, hứng thú,
hăng say khám phá toán học.
16


Việc khai thác bài toán về dãy các phân số có quy luật trong chương trình
toán lớp 6 thật sự cần thiết và quan trọng. Qua sáng kiến này, các em tạo được
thói quen khai thác những bài toán khác, đó là điều cần thiết để phát huy khả
năng tư duy của các em, giúp các em có nhiều cơ hội để rèn luyện, phát triển tư
duy logic toán học.
Trên đây là toàn bộ phần trình bày nội dung của sáng kiến “Kinh nghiệm
hướng dẫn học sinh giỏi lớp 6 trường THCS Lê Đình Chinh, huyện Ngọc Lặc
cách khai thác kết quả từ một bài toán tính tổng”. Mong rằng những vấn đề
được đề cập đến trong sáng kiến này ít nhiều góp phần vào việc giảng dạy, bồi
dưỡng học sinh giỏi của nhà trường, của huyện cũng như được các huyện khác
trong tỉnh. Cũng qua chuyên đề này mở rộng cho các chuyên đề khác và làm nền
tảng cho những năm tiếp theo.
3.2 Kiến nghị
Việc vận dụng sáng kiến vào quá trình giảng dạy cũng dễ dàng vì các
hướng khai thác của bài toán được sắp xếp từ dễ đến khó nên học sinh dễ dàng
tiếp thu. Tuy nhiên, để có hiệu quả hơn không những đối với sáng kiến này mà
Phòng Giáo Dục và Đào Tạo nên triển khai các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải
cao, áp dụng vào trường THCS trong toàn huyện thông qua các lớp chuyên đề.
Với năng lực còn hạn chế trong việc nghiên cứu và đầu tư, tôi chỉ ghi lại
những kinh nghiệm của bản thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham khảo
sách và các tài liệu có liên quan nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm của
tôi không tránh khỏi những sai sót nhất định. Rất mong sự góp ý chân thành của
Hội đồng khoa học các cấp.