PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 1
CHƯƠNG
Dòng chảy có thế ⇔∃ϕ/thoả đ.k. (1) ⇔
0
xyyx
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂
⇔

=
θ
r
1
u;
r
uhay
y
u;
x
u
ryx
Trường véctơ u là trường có thế khi:
∫
B
A
dsu
G
chỉ phụ thuộc vào hai vò trí A và B.
Ta có:
BA
B
A
B
A
B
A
)1(thoảtồntại
y
B

Vậy:
(1)
A
B
n
u
u
n
u
s
0dyudxu0d
yx
=+⇔=ϕ
2. Phương trình đường đẳng thế:
3. Ý nghóa hàm thế vận tốc:
ABAB
ϕ−ϕ=Γ
∫
=Γ
B
A
sAB
dsu
là lưu số vận tốc
4. Tính chất hàm thế:
Từ ptr liên tục, ta có:
0
yx
0
yyxx

+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
ϕ∂
∂
∂
⇔=
∂
∂
+
∂
∂
⇔ Hàm thế thoả phương trình Laplace
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 2
5. Hàm dòng:
Khi dòng chảy lưu chất không nén được tồn tại, thì các thành phần vận tốc của nó
thoả ptr liên tục :
r
u;
r
1
uhay
x
u;

6. Hàm dòng trong thế phẳng:
Vì là dòng chảy thế nên:
0
yx
0
yyxx
0
y
u
x
u
2
2
2
2
x
y
=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
⇔=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜

0dxudyu
yx
=ψ⇔=
∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
⇔=−
x
y
O
n
n
x
n
y
dx
dy
ds
α
(-dx=ds.sinα)
Như vậy trên cùng một đường dòng thì giá trò ψ là hằng số.
8. Ý nghóa hàm dòng:
Ta có:
∫∫∫
∫∫∫∫
ψ−ψ=ψ=
∂
ψ∂

GG
Vậy:
ABAB
q ψ−ψ=
9. Sự trực giao giữa họ các đường dòng và đường đẳng thế:
0)u(u)u(u
yyxx
xyyx
=+−=
∂
ψ∂
∂
ϕ∂
+
∂
ψ∂
∂
ϕ∂
Suy ra họ các đường dòng và các đường đẳng thế trực giao với nhau.
10. Cộng thế lưu:
...
...
21
21
+ψ+ψ=ψ
+ϕ+ϕ=ϕ
11. Biễu diễn dòng thế:
với z = x+iy = e
iα
.

ϕ=-2
ϕ=-3
ψ=0
ψ=1
ψ=2
ψ=3
ψ=-3
ψ=-2
ψ=-1
V
0
α
1. Chuyển động thẳng đều: từ xa vô
cực tới, hợp với phương ngang một góc
α.
u
x
= V
0
cosα;u
y
= V
0
sinα
dψ = u
x
dy - u
y
dx
ψ = V

sinα)+yi(V
0
cosα -iV
0
sinα)
= az
với: a=(V
0
cosα -iV
0
sinα) là số phức; z=x+iy là biến phức.
2. Điểm nguồn, điểm hút: với lưu lượng q tâm đặt tại gốc toạ độ.
(q>0:điểm nguồn; q<0:điểm hút).
⇒ Họ các đường dòng là những đường thẳng qua O.
)yxln(
4
q
)rln(
2
q
1rkhi0chọn;C)rln(
2
q
dr
r2
q
drudrudruddr
r
d
22

=ψ⇒
θ=θ+−=θ
θ∂
ψ∂
+
∂
ψ∂
=ψ⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=
π
θ
θ
x
y
arctg
2
q
2
q
0khi0chọn;C
2
q
drudrudruddr
r
d

π
=
+
π
=
π
=ϕ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
=θ
π
=ψ
θ
θ
zlnazln
2
q
)reln(
2
q
)elnr(ln
2
q
)ir(ln
2

; y
0
) thì trong công thức tính hàm dòng (hoặc thế vận tốc), tai vò trí nào có các biến x
phải thay bằng (x=x
0
) ; tại vò trí nào có biến y phải thay bằng (y-y
0
).
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 4
3. Xoáy tự do: đặt tại gốc toạ độ và có lưu số vận tốc
∫
==Γ
C
constdsu
G
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=

Γ
=ϕ
⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
π
Γ
=
=
θ
θ
zlnazln
2
i
)reln(
2
i
)ir(ln
2
i
)rlni(
2
)z(f
)yxln(
4
)rln(

Ví dụ ta xét trường hợp nằm trên trục hoành:
Tìmhàmdòng:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
−
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
+
+
⎟
⎟
⎟
⎟

⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
ε
−
−
ε
+
π
=θ−θ
π
=ψ+ψ=ψ
2
2
2
hnhn
y
4
x
2
xy
2
xy
arctg

q
Khi ε→0 tử số trong dấu arctg tiến tới 0 nên ta có thể viết:
22
0
2
2
22
2
2
yx
y
2
m
y
4
x
y
2
q
y
4
x
2
xy
2
xy
2
q
+
π

⎝
⎛
+
ε
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
+−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
−
π
=ψ
PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay
THE LUU 5
+q
-q
ψ
Tìmhàmthếvậntốc:
⎥

⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
+
π
=

⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ε
+
π
=ϕ+ϕ=ϕ
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
hn
y
2
x
x2
1ln

m
y
2
x
x2
2
q
22
0
2
2
→ε
+
π
→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟

2
m
r
sin
2
m
yx
y
2
m
0
22
00
0
22
0
0
22
0
π
=
θ+θ
θ+θ
π
=
θ−θ
π
=
θ
π

(arctg
2
q
yu
rln
2
q
cosru)yxln(
4
q
xu
00
0
2
0
2
Điểm dừng A:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=⇔=
+π
=
∂
ϕ∂
π

yAxAA
A
Điểm dừng