PHÒNG GD&ĐT HUYỆN
THIỆU HÓA

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2017 – 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 24/10/2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi gồm 01 trang)
ĐỀ BÀI
Câu 1: (4,0 điểm)
1   2x + x − 1 2x x + x − x 
 1
−
+
÷
÷:
x   1− x
1+ x x
1− x


Cho biểu thức A = 

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của A khi x = 17 − 12 2
c) So sánh A với A .
Câu 2: (4,0 điểm)

HA HB HC
+
+
=
BC AC AB

3 thì khi đó tam giác ABC là tam giác gì?

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho tam giác đều ABC; các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB sao cho
·
BD cắt CE tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính BPE
.
Câu 6: (2,0 điểm)
Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn: x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức: A = x 2 + xyz + y 2 + xyz + z 2 + xyz + 9 xyz
-------------------------------------- Hết --------------------------------------1


PHÒNG GD&ĐT HUYỆN
THIỆU HÓA

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2017 – 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)
Ngày thi 24/10/2017

ĐỀ CHÍNH THỨC



0,25

2,0đ
1
(4điểm)

(

) (
(
) (

(
(

=

x
x

(

(

)

x −1
1



1

:

)

)

x+x

)

=

)

)

0,5
0.25

0,5

x+x

1− x + x
x

0,5



x 2x + x − 1 
x − 1+ x  2x + 2 x − x − 1

=
:
+

x 1− x
1− x 1+ x
1+ x 1− x + x 



x x +1 2 x −1 
2 x −1  x + 1 2 x −1

=
:
+

x x −1
1− x 1+ x
1+ x 1− x + x 


 1

2 x −1 

=
=5
3− 2 2
3− 2 2

1− x + x
1
= x+
−1
x
x
1
1
x+
> 2 với mọi x > 0;x ≠ ;x ≠ 1
4
x

0,25
0,25

Biến đổi ta được: A =
Chứng minh được
⇒A = x+

1
− 1> 1⇒ A > 1⇒ A − 1> 0 ⇒ A
x

(

0,5

VP = 3 − 4 x − 2 x 2 = 5 − 2( x +1) 2 ≤ 5

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = −1

⇒ VT = VP ⇔ x = −1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = −1
b
2đ
2

0,5
0,5

Ta có:

2 xy 2 + x + y + 1 = x 2 + 2 y 2 + xy

⇔ 2 y 2 ( x − 1) − x( x − 1) − y ( x − 1) + 1 = 0 (1)

0,25

Nhận thấy x = 1 không phải là nghiệm của PT (1). Chia cả 2 vế
của phương trình cho x – 1, ta được:

(4

2y2 − x − y +

2

Ta có a5 - a = a( a4 - 1) = a( a2 - 1)( a2 + 1) = a( a2- 1)( a2 - 4 + 5)
= a( a2- 1)( a2 - 4) + 5 a(a2 - 1)
2đ
= a(a - 1)(a + 1)(a -2) (a +2) + 5 a( a - 1)( a+ 1)
Vì a - 2; a - 1; a; a + 1; a + 2 là 5 số nguyên liên tiếp nên có 1 số
chia hết cho 5 suy ra (a -2) (a - 1)a( a + 1)( a+ 2) chia hết cho 5
(*)
Mặt khác 5a(a - 1)( a+ 1) chia hết cho 5 (**)
a

3
(4
điểm)

5

Từ (*) và (**) suy ra a – a chia hết cho 5
5

(1)

5

tương tự có b – b chia hết cho 5 (2), c – c chia hết cho 5 (3)
5

5


⇔ −bd = d 2 + cd + ad
−cd = d 2 + ad + bd


0,5
0,25

3


M = (ab − cd )(bc − da )(ca − bd )
= ( ab + d 2 + ad + bd )(bc + d 2 + bd + cd )(ca + d 2 + cd + ad )
= ( a + d )(b + d )(b + d )(c + d )(a + d )(c + d )
=

[ (a + d )(b + d )(c + d )]

2

0,25

= (a + d )(b + d )(c + d )

Vì a, b, c, d là các số hữu tỉ nên (a + d )(b + d )(c + d )
hữu tỉ.
Vậy M = (ab − cd )(bc − da )(ca − bd ) là số hữu tỉ

0,25

là số

AC

0,5

AE AF
⇒ ∆AEF : ∆ABC (c.g .c)
Suy ra
=
AB AC
2
S
 AE 
2
* Từ ∆AEF : ∆ABC suy ra AEF = 
÷ = cos A
S ABC  AB 

0,5
0,5

S

S

1

2
2
CDE
BDF

ABC

HB.HA

S

HA.HC

S

HAC
HAB
Tương tự: AC.BC = S ; AB.BC = S . Do đó:
ABC
ABC

HC.HB HB.HA HA.HC S HBC + S HCA + S HAB
=1
+
+
=
S ABC
AC. AB AC.BC AB.BC
4

0,25
0,25


0,25


0,25
0,25
0,25
0,25

·
·
·
·
·
⇒ BPE
= PBC
+ PCB
= PCD
+ PCB
= 600

6

Áp dụng BĐT côsi ta có
x 2 + xyz + xyz = x

(2
điểm)

= x
≤

(


(Vì x + y + z =1)
Chứng minh tương tự:
y 2 + xyz + xyz ≤

0,25
0,25

3
1
y+ ÷
2 
3

0,25

3
1
z + xyz + xyz ≤
z+ ÷
2 
3
2

3

Mà

0,25


Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
-------------------------------------- Hết --------------------------------------ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi HSG Toán 9 –Năm học 2017 – 2018- THCS Phú Xuyên – Đại Từ)
5

0,5


ĐỀ BÀI
Bài 1: (2 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:
a.

A=

b.

B =

6 + 3+ 2 2 . 3+ 2 2.

6 − 3+ 2 2 .

( 2008 − 2014) .( 2008 + 4016− 3) .2009
2

2

2005.2007.2010.2011
Bài 2: (1,5 điểm) Cho hàm số: y = mx – 3x + m + 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề HSG Toán 9 –Năm học 2017 – 2018- THCS Phú Xuyên – Đại Từ)
Câu Ý
1

a

Nội dung

Điểm

A = 3 + 2 2 . ( 6) 2 − ( 3 + 2 2) 2 = 3 + 2 2 . 6 − (3 + 2 2)

0.5

A = (3 + 2 2)(3 − 2 2) = 9 − (2 2) 2 = 1

0.5

( 2008 − 2014) .( 2008 + 4016− 3) .2009 . Đặt x = 2008, khi
2

B=

2

2005.2007.2010.2011

0.25

trị
0.25

B

 x0 + 1 = 0
 x0 = −1
⇔
⇔
1 − 3 x0 − y0 = 0
 y0 = 4

m+1

O

m-3

1.5

Vậy điểm cố định cần tìm M(-1; 4)
Ta có: Đồ thị là đường thẳng cắt hai trục tọa độ khi m – 3
≠0⇔m≠3
1
m +1
= 1 ⇔ (m + 1) 2 = 2 m − 3
S ∆ ABO = m + 1
2
m−3
b

0.5

a c
=
b d

Áp dụng: xét vế trái VT =
0.25

( x + 1) 2 + 2 2 + (3 − x) 2 + 12 ≥ ( x + 1 + 3 − x) 2 + (2 + 1) 2
⇔ VT ≥ 16 + 9

⇔ VT ≥ 5

0.25

Mà VP = 5, vậy dấu bằng xẩy ra ⇔
x +1 3 − x
5
=
⇔ x +1 = 6 − 2x ⇔ x =
2
1
3
≥
Điều kiện: x 0
( x − 9) + 25
25
= x +3+
−6

1.0

0.2

M
H

I

HB IB
=
Ta có ∆ HIB : ∆ NIM (g.g) ⇒
(1)
MN IM
B
D
AB
IB
·
⇒
=
Vì AD là phân giác của BAC
(2)
AM IM
AB HB
=
Từ (1) và (2) ⇒
(3)
AM MN
1

0.3

2.5
8
B

600

Q

P

C


0.2
Hình vẽ
Đặt AM =x (0
 x+c- x 
=
Áp dụng, ta có: x(c- x) ≤ 
.
÷
4
 2 

0.5
c
2

Dấu đẳng thức xảy ra khi: x =c- x ⇔ x = .
Suy ra: S ≤

c
a 3 c2 ac 3
ac 3
. =
. Vậy: Smax =
khi x = hay M
2
2c 4
8
8

là trung điểm của cạnh AB
– Hết –

9


a, Giải hệ phương trình theo tham số m.
b,Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà x và y là các số nguyên.
Câu 3: (1,5 điểm).
Tìm số tự nhiên n để n + 18 và n − 41 là hai số chính phương.
Câu 4: (2,5 điểm).
∧
Cho tam giác ABC ( A ≠ 900) nội tiếp đường tròn tâm O, đường thẳng AB, AC
cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC tâm I lần lượt tại M, N. Gọi J là điểm đối xứng
của I qua MN. Chứng minh:
a, Tam giác AMC là tam giác cân;
b, AJ vuông góc với BC.
Câu 5: (2 điểm).
Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh A, đường cao AH. Đường tròn đường kính
BH cắt cạnh AB tại điểm D và đường tròn đường kính CH cắt cạnh AC tại điểm E. Gọi
I,J theo thứ tự là các trung điểm của các đoạn thẳng BH, CH
a, Chứng minh bốn điểm A,D,H,E nằm trên một đường tròn. Xác định hình dạng
tứ giác ADHE.
b, Chứng minh DE là một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn
– Hết –
Họ và tên thí sinh: ……………………….………. Số báo danh:………….

10


ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
( Đề HSG Toán 9 –Năm học 2017 – 2018- THCS Việt Ấn)
Câu 1: (2 điểm)

1
⇒ x 5 + 5 = 123
x
⇒ ( x3 +

(0,25đ)
(0,25đ)

b, Do a, b > 0

(0,25 đ)

a b
+ ≥2
b a
a 2 + b2
⇔
≥2
ab

⇒

(0,25 đ)
(0,25 đ)

⇔ a 2 + b 2 − 2ab ≥ 0
⇔ ( a − b) ≥ 0
2

a

2y
=
1
(2
+
m
)y
=
2m
−
1


y =


m+ 4
m2 + 2 (0,5®)
2m− 1
m2 + 2

b, Theo phần a, với mọi giá trị của m hệ có nghiệm duy nhất nêu trên. Giả sử x và y là
các số nguyên, khi đó m2+2 \ (2m-1) => ≥│2m-1│≥ m2 +2 (0,25đ) =>
 2m− 1≥ m2 + 2
(m− 1)2 + 2 ≤ 0
⇔


2
2

(0,25 đ)
(0,25 đ)
(0,25 đ)

A

Câu 4: (2,5 điểm)
Vẽ hình đúng: (0,25đ)
Học sinh vẽ hình sai không chấm
J
·
·
a, MCO
(chắn cung MO)
= MBO
·MAO = MBO
·
·
·
; OCA = OAC
·
·
·
MCA
= MCO
+ OCA
·
·
= MBO
+ OAC

·
·
BCA
= AMN
= AJN
2
·
·
·
·
⇒ BCA
= 900 − JAN
AJC
= 1800 − 2JAN

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ) Chú ý:

⇒AJ vuông góc với BC
Học sinh vẽ hình như hai trường hợp sau câu 1) chứng minh sẽ khác
A

Câu 5 (2 điểm)
Vẽ hình đúng: (0,25đ)

1

2


b, Tứ giác ADHE là hình chữ nhật, suy ra A1 = E1
∧

∧

(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)
(0,25đ)

∧

Ta lại có : A1 = C (cùng phụ với A2 )
∧

∧

C = E3 ( ∆EJC cân)
⇒
∧

∧

∧

E1 = E3

∧

(0,25đ)

+
Cho biểu thức: M =
với a > 0, a ≠ 1.
a
a− a
a −a a
a) Chứng minh rằng M > 4.
6
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N =
nhận giá trị nguyên?
M
Bài 2. (3,0 điểm)
17x + 2y = 2011 xy
a) Giải hệ phương trình: 
x − 2y = 3xy.
1
x + y − z + z − x = (y + 3).
b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho:
2
Bài 3 (6,0 điểm)
Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ
đường tròn (O1) đường kính AE và đường tròn (O2) đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến
chung ngoài MN của hai đường tròn trên, với M là tiếp điểm thuộc (O 1) và N là tiếp
điểm thuộc (O2).
a, Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường
thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB.
b, Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng
MN cắt đường tròn (O) ở C và D, sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn
thẳng CD.
Bài 4: (5,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai

1a
(1,5đ)

và

a 2 − a a + a − 1 (a + 1)(a − 1) − a (a − 1) (a − 1)(a − a + 1) −a + a − 1
=
=
=
a −a a
a (1 − a)
a (1 − a)
a
a +1
+2
⇒ M=
a

Do a > 0; a ≠ 1 nên: ( a − 1)2 > 0 ⇔ a + 1 > 2 a
⇒M>

2 a
+2=4
a

Ta có 0 < N =

6 3
< do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1
M 2


x=
 y + x = 2011  y = 9




490
⇔
⇔
Nếu xy > 0 thì (1) ⇔  1 2
(TMĐK)
 − =3
 1 = 490
y = 9


 x
1007

9
y x
17 2
 1 −1004
 y + x = −2011  y = 9


⇔
⇒ xy > 0 (loại)
Nếu xy < 0 thì (1) ⇔  1 2

15


(2) ⇔ 2 x + 2 y − z + 2 z − x = x + y − z + z − x + 3
⇔ ( x − 1) 2 + ( y − z − 1) 2 + ( z − x − 1) 2 = 0
 x =1
x = 1


⇔  y − z = 1 ⇔  y = 3 (TMĐK)

z = 2

 z − x = 1

F
D
N

I
C
S

3a
(3đ)

A

M


3b
(3đ)

SO

1
1
Gọi I là trung điểm CD ⇒ CD ⊥ OI ⇒ OI// O1M //O2N ⇒ O N = SO
2
2
⇒ SO2 = 2SO1 ⇒ SO1+O1O2 = 2SO1 ⇒ SO1= O1O2
Do O1O2 = 3 + 6 = 9 cm ⇒ SO1= O1O2 = 9 cm ⇒ SO =SO1 + O1O = 15cm

OI

SO

Mặt khác: O M = SO ⇒ OI = 5 cm
1
1
Xét tam giác COI vuông tại I ta có: CI2 + OI2= CO2 ⇒ CI2 + 25 = CO2
Ta có: CO = 9 cm ⇒ CI2 + 25 = 81 ⇒ CI = 56
⇒ CD = 4 14 cm
3

x = 0 ⇒ y =
1
3
2
Đồ thị y = − x + có : 

3

x

Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3)
Ta có: OM = 12 + 12 = 2 ⇒ OM2 = 2
4b
(2,5đ)

5
(3đ)

ON =

32 + (−3) 2 = 3 2 ⇒ ON2 = 18

MN =

(1 − 3) 2 + (1 + 3) 2 = 20 ⇒ MN2 = 20

Vì: OM2 + ON2 = MN2
Vậy: tam giác OMN vuông tại O
Do a; b; c thuộc đoạn [ −1; 2] nên a + 1
a – 2 ≤ 0 nên (a + 1)(a – 2) ≤ 0
Hay: a2 – a – 2 ≤ 0 ⇒ a2 ≤ a + 2
17

≥

0;