BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
- Năm học 2016 - 2017 là năm học đầu tiên Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT
Quốc Gia môn toán dưới hình thức trắc nghiệm nên một số nội dung giảng dạy
theo phương pháp truyền thống không còn phù hợp, cần có hướng khai thác mới
phát huy tư duy học sinh để đạt hiệu quả cao nhất.
- Chuyên đề "Mặt cầu" là một nội dung quan trọng của môn hình học lớp 12.
Nếu hệ thống bài tập được khai thác và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học
sinh khả năng phát triển tư duy biểu hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi
mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết
quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau
của một bài toán), khả năng sáng tạo ra bài toán mới trên cơ sở những bài toán
quen thuộc.
- Nhận thức được tầm quan trọng của các vấn đề nêu trên nên tác giả chọn
đề tài: " Rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua dạy giải bài tập mặt cầu, hình
học nâng cao lớp 12" làm sáng kiến kinh nghiệm của mình.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trước khi tạo ra sáng kiến chuyên đề được giảng dạy theo hướng tự luận,
tập trung nhiều vào các bài toán xác định tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và
không có hệ thống, các bài tập rời rạc không khai thác được sự logic tính kế thừa
qua mỗi bài toán.
Ưu điểm: Học sinh hiểu rõ được phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp
Nhược điểm:
- Chuyên đề mặt cầu chưa khai thác được tính kế thừa trong mỗi bài toán,
mô hình nhỏ trong mô hình lớn và ngược lại
- Tập trung quá nhiều vào bài toán xác định tâm mặt cầu trong khi hình
thức thi mới chủ yếu tập trung vào các bài toán tính toán.
2


sau :


Phương pháp 1
+ Bước 1 : Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy d (là đường thẳng đi
qua tâm đường tròn ngoại tiếp O của đáy và vuông góc với mặt đáy)
+ Bước 2 : Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên (Q) .
+ Bước 3 : Xác định I=d  (Q). Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp



Phương pháp 2
+ Bước 1 : Dựng trục đường tròn ngoại tiếp đáy d1
+ Bước 2: Dựng trục đường tròn ngoại tiếp một tam giác ở một mặt
bên d2
+ Bước 3: Xác định I  d1  d2 . Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp

Lưu ý:
+ Phương pháp 1: nếu có một cạnh bên đồng phẳng với d thì chỉ cần
dựng đường trung trực của cạnh bên đó thay cho (Q).
+ Phương pháp 2: chỉ dễ dàng thực hiện được nếu d1 và d2 nằm trong
cùng một mặt phẳng xác định.

4


Phần 2: Nội dung
+ Năm học 2016-2017 môn Toán trong kì thi THPT quốc gia được thi

-Bán kính mặt cầu: R  r 
4
2

5


(Trong đó:

r : bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy,
a : độ dài của cạnh bên vuông góc với mặt đáy)

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có SA  ( ABC ) , SA=2a. Tính thể tích khối cầu
ngoại tiếp hình chóp trong mỗi trường hợp sau
1) AB=5a, AC=8a, BAC  600
2) Tam giác ABC vuông tại C, AC= 2a , BAC  600
Lời giải
Trong ví dụ này ta thấy hình chóp có SA  ( ABC ) nên ta chỉ cần biết độ dài
cạnh SA và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC là tính được bán kính mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S.ABC, từ đó tính được thể tich khối cầu.
S

1)

C

A

B




2)

S

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC
Vì tam giác ABC vuông tại C nên bán r 

AB
 2a
2

SA2
R
 r 2  a 2  4a 2  a 5
4

C

A

4
20 5 3
Vậy VKC   R 3 
a
3
3

B

CK  ( SAD) . Do đó chỉ cần đổi đỉnh của hình chóp thành C ta có được bài toán

tương tự như ở ví dụ 1.Ta có hình vẽ như sau
C

K

Lời giải

D

S

Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp KSD
  SA  2a  2 ; SD  2 2a . Suy ra:
Ta có: sin S
KD  sin SKA
SK a 5
5

r

SD
a 10

2sin SKD
2

CK 2 a 11
Vậy bán kính mặt cầu là: Rmc  r 

D

C
M

A

B

Ví dụ 4. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a.
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của O trên SC và SD. Tính bán kính mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp O.CDKH
S
K
A

H

D

O
B

C

* Phân tích: Ta thấy hình chóp O.CDKH không có cạnh bên vuông góc với đáy
nhưng hình chóp C.ODK có CO   ODK  và mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

O.CDKH cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C.ODK . Như vậy ta quy về tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C.ODK .

A

B
G

O

C
10


*Phân tích: (P) là mặt phẳng chứa cạnh bên SB và vuông góc với mặt đáy đồng
thời tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nằm trên đường thẳng giao tuyến GB
nên ta có thể giải bài toán trên như sau
Gọi O là trung điểm của AC. Do tam giác ABC vuông tại B suy ra O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Kẻ Ox song song với SG suy ra: Ox  (ABC) nên Ox là trục đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC.

S

x

Gọi D là điểm đối xứng của B qua O

M

Trong SBD kẻ My là trung trực của SB.
Gọi I  Ox  My . Suy ra: I là tâm mặt cầu


vuông góc với mặt đáy. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp trong mỗi trường hợp sau :
a) ASC  1200
b) ASC  900

S

A

D
O

B

C
11


*Phân tích : Trong ví dụ này (P) chứa hai cạnh bên SA, SC và vuông góc với mặt
đáy đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là trung điểm của AC. Khi đó tâm
mặt cầu ngoại tiếp hình chóp chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC
Lời giải
a)Tâm mặt cầu I là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ASC và Rmc 

AC
2 6a

0
2sin120

Nhận xét:
- Trục đường tròn là đường thẳng đi qua đỉnh và tâm đường tròn ngoại
tiếp đa giác đáy
- Cách xác định tâm và tính bán kính:
Giả sử trục d là SO, cạnh bên SA. Trong (SAO) dựng trung trực My
của SA cắt SO tại I. Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
SA2
Ta có : SI.SO=SM.SA nên SI=
2SO
l2
*Công thức tổng quát : Rmc 
2h

(Trong đó

S

M
I

O

A

l: độ dài một cạnh bên;
h: độ dài chiều cao của hình chóp)

 Một số lưu ý:
- Nếu SO=OA thì I trùng O
- Nếu SO > OA thì I nằm trong đoạn SO


O
B

C

SB 2 2 3
=
a (I nằm trong đoạn SO)
Rmc =
3
2SO

b) SB  OB  a 2 suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và Rmc 

a 2
2

c) SB  a 3  SO  a
SB 2 3a
=
( I nằm ngoài đoạn SO (trên tia đối của tia OS))
Rmc =
2SO 2

Ví dụ 9. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB=a, góc giữa hai mặt phẳng
(A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính bán kính mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a?
C'


O
B

Gọi O là tâm của tam giác ABC. Ta có GO là trục đường tròn ngoại tiếp hình
chóp G.ABC.
GA2
Rmc 
2GO

Ta có: GH 

7a
7a 2
AA ' a
a 3
; GA2 
. Do đó: Rmc 
 ; AH 
12
12
3
2
3

Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD cạnh đáy bằng a,
a 6
d  O,  SAD   
. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S . ABCD .
6
S

Vậy O1 x và O2 y là trục đường tròn ngoại tiếp đáy và SAB
+Gọi I  O1x  O2 y . Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
và Rmc  r12  r22 

AB 2
(trong đó : r1 , r2 là bán kính đường tròn
4

ngoại tiếp đáy và SAB )
x
S

y

O2
I

B

C
O1

H

A

Lưu ý
- Nếu tâm O1 nằm trên AB thì O1 trùng H và khi đó tâm I là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác SAB
- Nếu đáy là một tam giác thì đổi vị trí mặt đáy và mặt bên ta cũng có


S . ABC .

A

S

B
M
C

* Phân tích: SA  AB  AC  a nên chân đường cao trùng tâm đường tròn ngoại
tiếp đáy mà

 SBC    ABC 

nên tâm mặt cầu trùng tâm đường tròn ngoại tiếp

ABC và SBC vuông tại S.

17


Ví dụ 13. Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAB vuông tại
S, SCD đều. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp S . ABCD .
S

D

A


D
O

B

C

Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì ABCD là hình chữ nhật và tam giác SBD vuông tại S nên
ta có : OA  OB  OC  OD  OS
Vậy O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính mặt cầu là :
Rmc 

AC
 2a
2

Ví dụ 15. Cho hình chóp S . ABC có SA   ABC  , SA  a , AB  a, AC  2a ,
  600 , H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC. Tính thể tích khối
BAC

cầu ngoại tiếp A.BCKH .
S

K

H
A


C. .
D. 4.
2
4
Câu 3. Cho hình cầu có bán kính R. Tính diện tích mặt cầu đã cho.

A. 4 R 2 .

B. 2 R 2 .

C.  R 2 .

D. 6 R 2 .

Câu 4. Cho hình cầu có bán kính R. Tính thể tích khối cầu đã cho.
A.

4 R 3
.
3

B.

3 R3
.
4

C.

2 R 3

B.

a 3
.
3

C.

a 6
.
2

D.

a 2
.
3

8 a 3 6
Câu 7. Cho khối cầu có thể tích bằng
. Tính bán kính mặt cầu đã cho.
27

A.

a 6
.
3

B.

3

C.

5a 3
.
2

D.

5a 3
.
3

Câu 9. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng
a . Tính diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A. 2 a 2 .

B. 4 a 2 .

C.  a 2 .

D. 6 a 2 .

Câu 10. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp tứ
diện ABCD.
20


A.

9 a 2
.
4

B.

4 a 2
.
3

3 a 2
.
4

C.

D.

2 a 2
.
3

Câu 12. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB  BC , BC  CD,
CD  AB và AB = a, BC = b, CD = c bằng
1 2
1
C. abc.
D.  a 2  b 2  c 2  .
a  b2  c2 .
2



2 1 3



a.

B.

2



4 1 3



3

C.

a.



2 1 3





A. a.

A. 16 a 2 .

B.

B. 4 a 2 .

C. 8 a 2 .

D. 12 a 2 .

Câu 17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh bằng 2a ,
SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA  a 3 . Diện tích của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD bằng
A. 7 a 2 .

B. 11 a 2 .

C.

33 2
a .
16

D. 44 a 2 .

Câu 18. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy là a 3 và cạnh bên là
2a . Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là

3

2 a 3
C.
.
3 2

64 14 a 3
.
D.
147

Câu 20. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều có cạnh là 2a cạnh,
mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bằng
16 a 2
.
A.
3

4 a 2
.
B.
3

4 a 2
.
C.
9


7 a 2
.
9

C. 4 a 2 .

D.

7 a 2
.
3

Câu 23. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , đường chéo
AC  a , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, góc

giữa (SCD) và (ABCD) bằng 450 . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối
chóp S.ABD.
A. R  a

13
.
12

B. R 

a 3
.
2

C. R  a 2.

theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A.

a 3
54

B.

21a 3
54

C.

a 3
3

D.

7 21a 3
54

Câu 27. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
SA  2a, SA   ABCD  . Kẻ AH vuông góc với SB và AK vuông góc với SD. Mặt
phẳng (AHK) cắt SC tại E. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối ABCDEHK.
A.

a 3 2
3

B.

5a 3
A. R 
B. R 
C. R 
D. R 
.
.
.
.
6
12
8
12

A.

5 2
a
3

B.

23


III. HIỆU QUẢ DO SÁNG KIẾN ĐEM LẠI
1. Hiệu quả về mặt kinh tế
Rèn luyện tư duy học sinh sẽ giúp tạo ra những con người toàn diện, phát
huy được các điểm mạnh, các năng lực cần thiết : năng lực làm việc sáng tạo, khoa
học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp, năng lực hợp tác,... giúp tạo ra


15

năng làm bài tốt
25

Đối với lớp 12B3 trường THPT Giao Thủy không được dạy thử nghiệm kết quả
đạt như sau:
Lớp

Sĩ số

Số học sinh Số học sinh có cách Số học sinh có kĩ
đạt điểm >=8

12B3

36

giải hay, mạch lạc.

8

2
24

năng làm bài tốt
7