PHẦN 1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở
TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

A). PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN Ở TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I). TÓM TẮT LÍ THUYẾT
1). Dạng có bản










−=
<



=
≥
⇔



=
≥
⇔=•



=
=
⇔








−=∨=
=∨=
≤≤−
⇔









+−=−
−=−
≤≤−
⇔

xx
xx
x
xx
x
xx
Vậy x=1; x= 0
Ví dụ2 :Giải phương trình
( )
2
2 4 3 1x x x− + − =
Giải:
+ Lập bảng xét dấu. Từ đó ta có 3 trường hợp:
• Trường hợp 1:
0
1 2
x
x
≤


< ≤

ta có:
2 2
3 5
(1) 3 4 3 3 1 0
2
x x x x x
±

2
x
− +
=
thỏa mãn.
Tóm lại: Phương trình có hai nghiệm
1 5
2
1 29
2
x
x

− +
=



− +
=


.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
956
2
+−=−
xxx
Giải
956

Giải
(|x|+ 1)
2
= 4|x|+ 9
Đặt t= |x| với
0
≥
t
PT: (t+ 1)
2
= 4t + 9




−=
=
⇔=−−⇔
)(2
4
082
2
loait
t
tt
Với t= 4 thì |x|= 4
4
±=⇔
x
Vậy x= 4; x= – 4

−=∆









=+−
=+−
≤
⇔



±=+−
≥−
⇔
−=+−⇔
Biện luận
+
2
411
2
493
0
m
x

x
=
−
−
2
1
2

1 3
( )
2
x
±
=
3). 2 2 2 1 5x x+ + − =
(PTVN) 9).
5
232
23
=
−++
−−
xx
xx

23 3
( ; )
9 23
x = −
4).

Bài 2: Giải các phương trình sau
2 2 2 2
2
2 2 2
2 1 17 1
1) 2 2 ( ; ) 5) 2 2 1 ( 1; ; 1 2)
3 4 3
2) 2 2 1 ( 1;3;5) 6) 3 2 2 1 ( 5 21)
3) 4 3 3 ( 0; 5) 7) 12 2 ( 5; 7)
1 1 3 17
4) 2 3 ( 1; ; )
2 4
x x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x
x x
x
− ±
− − = + = − − = − = − − ±
− − = = ± − + − = = ±
− + = + = + − = − − = ±
+
− = =
Bài 3: Giải và biện luận phương trình sau
0224).2
13).1
2
=−+−−+
−=+
mmxxx




>−
<



>
≥
⇔



>
−<
⇔>•



<
>
⇔








BA
BA
BA
BA
B
BA
A
BA
A
BABBA
BABABABA
2). Các dạng khác
- Tương tự như đối với phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta khử dấu giá trị tuyệt
đối và giải bất phương trình trên từng khoảng.
- Dùng ẩn phụ
II). MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau:
1241).2
3332).1
2
+≥−
−<−−
xx
xxx
Giải
3332).1
2
−<−−
xxx
52


>∨−<
<<−



<<
≥∨−≤
⇔












<+−−
<−−





<−
≥−−

xx
xx
xxx
xx
xxx
xx
Vậy: 2< x< 5
1241).2
+≥−
xx



≥
≤
⇔















1
4
1
0
4
1
1241
041
1241
041
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
x
Vậy
10
≥≤
xhoacx
Ví dụ 2: Giải và biện luận theo a bất phương trình:
2 2
2 3x x a x x a− + ≤ − −
Giải: Bất phương trình tương đương với:
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2


≤ ≤






− ≤

≥ −




+ ≥



⇔ ⇔




≥

− ≥




x a

≤ ≤


≤ −

• Trường hợp 2:
5 5 5
0 2 0 ( ) 2 ;( ) 0
2 4 2
a a I a x II x< − < ⇔ − < < ⇒ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤
.Vậy nghiệm hệ là
5
2
2
0
a x
x

− ≤ ≤


≤

• Trường hợp 3:
0
5 5
2 ( ) ;( )
5

2
2 2
2
2 2
1) 6 ( 6 1 7)
2) 5 6 ( 1 2 3 6)
3) 5 4 2 ( 2 2 4)
1 1
4) 3 2 1 ( )
4 2
5) 5 9 6 (1 3)
6) 2 4 0 ( 2 1)
1
7) 1 2 )
2
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x x
x x x x x
x x x
− − < < < +
− < − < < ∨ < <
− + > − < + ∨ ≥
− − < − − < < −
− + < − < <
− + − > > ∨ < −
− − < > −


x
x x
x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x x
x x
x x x
x x x
+ −
≤ − + − ≤ ∨ ≥ ≥ < ≤
+ +
−
≤ ≥ − > − < < − ∨ > −
+ + +
− − +
+ > ≠ > < < − ∨ > −
− + +
− −
≥ < ≤ ≤ − ≤ ≤ − ∨ ≤ ≤
− + +
2
3
1 ( 4 1 1 4)
4
x
x x x
x

.
• Trường hợp 3: phương trình (2) có nghiệm
2
2
1 2
2 3 2 3
3 3
3 4 0
0
1
2 3
, 0 0 1 0 1 .
1
3
0 0
0
m
m
m
t t P m m
m
S m
m

−
≤ ≤



− + ≥

Giải: Đặt t = x – 1, thì phương trình đã cho trở thành
2
1 (*)t m t+ − =
a) Với m = 0 ta có
2 2
3 5
0
0 0
1 5
2
1 5
2
1 1 0
1 5
2
2
t
x
t t
t
t t t t
t
x

+
≥

=

≥ ≥

.Phương trình (*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi mỗi
phương trình t
2
– t + m – 1 = 0 và t
2
+ t + m – 1 = 0 có hai nghiệm không âm phân biệt. Nhưng phương
trình t
2
+ t + m – 1 = 0 không thể có hai nghiệm không âm (vì S= –1<0).
Vậy phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm phân biệt.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
2
2
2
2
1). 2 1 0
1 1
2).4 2 6 0
3). 1 0
4). 4 2 2 0
x mx x m
x x
x
x
x x m
x x x m m
− + − + =
+ + − − =
+ + =
+ − − + − =