Ngày soạn: 15/3/2009
Ngày giảng: 17/3/2009
Chuyên đề: Dãy các phân số viết theo quy luật
I/ Nhận xét mở đầu:
Khi giải các bài toán về phân số, ta thờng gặp các bài toán tính tổng các phân số
mà tử và mẫu của chúng đợc viết theo quy luật. VD:
3 + 3 + 3 + .... + 3
4.7 7.10 10. 13 73.76
Dễ nhận thấy các phân số có tử không thay đổi và đúng bằng hiệu hai thừa số ở d-
ới mẫu, thừa số cuối ở mẫu trớc bằng thừa số đầu ở mẫu sau.
Phơng pháp chung để giải các bài toán dạng này là dùng công thức:
m = 1 _ 1
b. ( b+m) b b+m
Khi đó ta có thể viết mỗi số hạng thành hiệu của hai phân số , số trừ của nhóm tr-
ớc bằng số bị trừ của nhóm sau rồi khử liên tiếp. Kết quả còn lại số bị trừ đầu tiên
và số trừ cuói cùng, khi đó phép tính thực hiện đợc dễ dàng.
Nếu mỗi số hạng phức tạp hơn, chẳng hạn:
2m
b. ( b+m ).(b+ 2m )
thì ta dùng công thức:
2m = 1 _ 1
b. ( b+m ).(b+ 2m ) b.( b+ m ) ( b+m ).( b+ 2m )
Tuy nhiên không phải bài toán nào ta cũng phát hiện đợc ngay quy luật mà phải
qua một số phép biến đổi dựa trên tính chất cơ bản của phân số nh nhân cả tử và
mẫu với cùng một số để tìm quy luật của mẫu, áp dụng hợp lý tính chất phân phối
của phép nhân đối với phép cộng để biến đổi tử đúng bằng hiệu hai thừa số dới
mẫu...
II/ Các ví dụ :
VD1: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
a/ 1/1.2 ; 1/ 2.3 ; 1/ 3.4 ..........
b/ 1/6 ; 1/ 66 ; 1/ 176..........

cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 2 ( Không làm thay đổi giá trị của
phân số) thì sẽ dễ dàng viết đợc các mẫu theo quy luật.
Nhân cả tử và mẫu của C với 2, khi đó
C = 2/ 20 + 2/ 30 + 2/ 42 +... + 2/ 240
= 2/ 4.5 + 2/ 5.6 + 2/ 6.7 +... + 2/ 15.16
= 2. ( 1/ 4.5 + 1/ 5.6 + 1/ 6.7 + ... + 1/ 15.16)
= 2. ( 1/4- 1/5 + 1/5 - ... 1/ 16)
= 2. ( 1/4 - 1/16) = 2. 3/16 = 3/ 8.
VD4 Tính giá trị của biểu thức
a/ P = 1+ 1/3 + 1/5 + ... + 1/97 + 1/99
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
NX: Trớc hết ta ghép các phân số ở số bị chia thành từng cặp để làm xuất hiện
mẫu chung giống với mẫu của các phân số tơng ứng ở số chia nh sau:
P = ( 1 + 1/99) + ( 1/3 + 1/97) + ... + ( 1/ 49 + 1/ 50)
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100/ 1.99 + 100/ 3.97 + 100/ 5. 95 + ... + 100/ 49.51
1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 +... + 1/ 97.3 + 1/ 99.1
= 100. ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + .... + 1/ 49. 51 )
2 . ( 1/ 1.99 + 1/ 3.97 + 1/ 5.95 + .... + 1/ 49. 51 )
= 100/ 2 = 50
Vậy giá trị của biểu thức P = 50
b/ Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
99/1 + 98/2 + 97/3 +... + 1/99
NX: Trong VD này chúng ta lại phải biến đổi số chia để làm xuát hiện các biểu
thức có thể rút gọn đợc với các biểu thức trên tử. Ta có:
Q = 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
100-1 + 100-2 + 100- 3 +... + 100- 99
1 2 3 99
= 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/ 100
(100/1 + 100/ 2 + 100/3 +... + 100/ 99) ( 1/1 + 2/2 + 3/3 +... + 99/99)

15
16
;
24
25
;
35
36
...
<=>
3.1
2
2
;
4.2
3
2
;
5.3
4
2
;
6.4
5
2
;
7.5
6
2
...

2
.
1
99
=
50
99
III/ áp dụng:
Bài 1: Tính tổng:
a, A=
18.15
6
+
21.18
6
+
24.21
6
+ ... +
90.87
6
b, B=
11.8
3
2
+
14.11
3
2
+

15
*/Giải
a, A=
18.15
6
+
21.18
6
+
24.21
6
+ ... +
90.87
6
= 2.






++++
90.87
3
...
24.21
3
21.18
3
18.15

90
1
15
1
=2.






90
5
=
9
1
b, B=
11.8
3
2
+
14.11
3
2
+
17.14
3
2
+ ... +
200.197

1
...
14
1
11
1
11
1
8
1
= 3.







200
1
8
1
=
25
9
c, C=
27.25
1
+
29.27





++++
75
1
73
1
...
31
1
_
29
1
29
1
27
1
27
1
25
1
.
2
1
=







++++
150.146
4
...
102.98
4
98.94
4
94.90
4
.
4
15
=






−++−+−+−
150
1
146
1
...
102

60
1
Bµi 2: CMR: Víi mäi n
∈
N th× ta lu«n cã:
)65)(15(
1
...
176
1
66
1
6
1
++
++++
nn
=
65
1
+
+
n
n
*/Gi¶i
BiÕn ®æi VT ta cã:
)65)(15(
1
...
176

1
nn
=






++
++++−

65
1
-
15
1
...
16
1
-
11
1
11
1
-
6
1
6
1

.
5
1
n
n
=
65
1
+
+
n
n
=VP => ®pcm
Bµi 3: T×m x
∈
N biÕt:
a, x -
55.53
20
...
17.15
20
15.13
20
13.11
20
−−−−
=
11
3

3
<=> x =
55.53
20
...
17.15
20
15.13
20
13.11
20
11
3
+++++
<=> x =






+++++
55.53
2
...
17.15
2
15.13
2
13.11




−+
55
1
11
1
10
11
3
=
11
8
11
3
+
=1
b,
)1(
2
...
36
1
28
1
21
1
+
++++

8
1
7
1
7
1
6
1
=






+
−++−+−+−
xx
<=> 2.
9
2
1
1
6
1
=





++++
<
4
1
b, B=
29.27.25
36
...
9.7.5
36
7.5.3
36
5.3.1
36
++++
< 3
*/Gi¶i:
a, A=
20.19.18
1
...
5.4.3
1
4.3.2
1
3.2.1
1
++++
<
4

20.19
1
19.18
1
...
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
.
2
1
=
380
189
.
2
1
20.19
1
2.1
1
.
2
1
=

36
++++
< 3
Ta cã:
B = 9.






++++
29.27.25
4
...
9.7.5
4
7.5.3
4
5.3.1
4
= 9.






−++−+−+−
29.27




−
Mµ
3
87
261
87
260
=<
=>B < 3
Bµi 5: CMR:
a, M =
1
1
...
4
1
3
1
2
1
2222
<++++
n
(n
∈
N; n
≥

!2
<++++
n
(n
∈
N; n
≥
3)
*/Gi¶i:
a, M =
1
1
...
4
1
3
1
2
1
2222
<++++
n
. ¸p dông ph¬ng ph¸p lµm tréi
Ta cã: M =
nn.
1
...
4.4
1
3.3

2
1
2
1
1
−=−
−
++−+−+−
Mµ
1
1
1
<−
n
=>M <1
b, N =
4
)2(
1
...
8
1
6
1
4
1
2222
<++++
n
Ta cã: N =

n
++++
<1 (theo phÇn a)
=> N <
2
2
1
.1=
4
1