ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2009
Đề 13
Câu I: Cho hàm số y = –2x
3
+ 6x
2
– 5
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến đi qua A(–1, –13).
Câu II:
1. Giải phương trình:
2
x3
cos2
42
x
cos
42
x5
sin
=






π
−−



2. Chứng minh rằng hệ







−
−=
−
−=
1x
x
2007e
1y
y
2007e
2
y
2
x
có đúng 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện x > 0, y > 0
Câu Va (cho chương trình THPT không phân ban):
1. Tìm x, y ∈ N thỏa mãn hệ






SA = a
2
. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và tính thể tích
hình chóp OAHK.
Bài giải
Câu I:
1. Khảo sát y = –2x
3
+ 6x
2
– 5 (Bạn đọc tự làm)
2. Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua A(–1, –13)
Ta có y' = –6x
2
+ 12x
Gọi M
0
(x
0
, y
0
) là tiếp điểm thuộc (C) ⇔
5x6x2y
2
0
3
00
−+−=
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M
0

x1x12x65x6x213
−−+−+−+−=−
2
00
3
0
2
00
3
0
x12x12x6x65x6x213
−−+−−+−=−
⇔
3
0 0 0 0
x 3x 2 0 x 1vx 2− + = ⇔ = = −
Ta có
y(1) 1v y( 2) 35= − − =
M(1, –1) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là
y + 1 = 6(x – 1) ⇔ y = 6x – 7
M(–2, 35) thì phương trình tiếp tuyến với (C) qua A là
y – 35 = –48(x + 2) ⇔ y = –48x – 61
Câu II:
1. Giải phương trình:
2
x3
cos2
42
x
cos

x5
sin
=






−
π
+
π
−






π
−⇔
2
x3
cos2
2
x
4
3
sin

x3
cos2
2
x3
cos
4
xcos2
=






π
+−⇔
3x 2
cos 0 v cos x
2 4 2
π
 
⇔ = + = −
 ÷
 

3x 3
k v x k2
2 2 4 4
π π π
⇔ = + π + = ± + π

3
2
<










−
+
=⇒
, ∀x > 0
Vì
( )
x
1
x
x
x
x
1x
x
2
3
4

( ) ( )
3,2,2412,8,8a
−=−=
Phương trình đường thẳng AB:





+−=
−=
+−=
t35z
t25y
t23x
Điểm I (–3+2t; 5- 2t; –5+3t)
AB (P)∈ ∩
khi
(–3 + 2t) + (5 – 2t) + (–5 + 3t) = 0 ⇔ t = 1
Vậy đường thẳng AB cắt mặt phẳng (P) tại I(–1, 3, –2)
2. Tìm M ∈ (P) để MA
2
+ MB
2
nhỏ nhất
Gọi H là trung điểm của đoạn AB. Tam giác MAB có trung tuyến MH nên:
2
AB
MH2MBMA
2

= (9 + 25 + 25) + (25 + 9 + 49) = 142)
Câu IV:
1. Tọa độ giao điểm của 2 đường
( )
1x
x1x
y
2
+
−
=
và y = 0 là A(0, 0); B(1, 0). Khi đó 0 ≤ x ≤ 1 ⇒ x(1 – x) ≥ 0
⇒
( )
0
1x
x1x
y
2
≥
+
−
=
Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đường đã cho là
( )
1 1 1
2
2 2 2
0 0 0
x 1 x

π
= ⇒ = = ⇒ =
( ) ( )
[ ]
∫∫
π
π
+
π
=−=+=
+
+
=
4
0
4
0
1
0
2
2ln
2
1
4
tcoslntdt1tgtdx
1x
1x
S
Vậy
2ln



=+
=+
⇔
2007xgyf
2007ygxf
⇒ f(x) + g(y) = f(y) + g(x) (∗)
Nếu x > y ⇒ f(x) > f(y) ⇒ g(y) < g(x) ( do(∗) )
⇒ y > x ( do g giảm nghiêm cách ) ⇒ vô lý.
Tương tự khi y > x cũng dẫn đến vô lý.
Do đó, (1)
⇔
(2)
x
2
x
e 2007 0
x 1
x y

+ − =


−

=


Xét:

−−=
−
−=

( )
( )
( )
5
x 2 x
2
5
2
2
3 3x
h '' x e x 1 .2x e 0
2
x 1
−
= + − = + >
−
và
( )
+∞=
+
→
xhlim
1x
,
( )
x





=−+−−
=−−+−
⇔





=+
=+
661xx
2
1
2y1yy
222y1yy
6
1
1xx
66CA
22CA
2
x
3
y
3
y

x 4
x 4 hay x 3 (loaïi)
x 4
y 5 y 2y 12 0
y 5
y 3y 2y 60
=

= = −
=
⇔ ⇔ ⇔

− + + =
=
− + =

2. y
0 2 4 6 x
A D
–3 I
–5 B C
Đường tròn (C) có tâm I(4, –3), bán kính R = 2
Tọa độ của I(4, –3) thỏa phương trình (d): x + y – 1 = 0. Vậy I ∈ d
Vậy AI là một đường chéo của hình vuông ngoại tiếp đường tròn, có bán kính R = 2 , x = 2 và x= 6 là 2
tiếp tuyến của (C ) nên
. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 2 ⇒ A(2, –1)
. Hoặc là A là giao điểm các đường (d) và x = 6 ⇒ A(6, –5)
. Khi A(2, –1) ⇒ B(2, –5); C(6, –5); D(6, –1)
. Khi A(6, –5) ⇒ B(6, –1); C(2, –1); D(2, –5)
Câu Vb:

2x 3x 2 0
2x 3x 4 0(vn)


>
< <

− − =

− + =

x 2⇔ =
2. (Bạn đọc tự vẽ hình)