ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 – MÔN TOÁN KHỐI A, B, D
ĐỀ SỐ 18
Câu I: (2 điểm) 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+
.
2. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị ( C ) .
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải hệ phương trình :
2 1 1
3 2 4
x y x y
x y

+ + − + =


+ =


2. Giải phương trình :
3
2 2 cos ( ) 3cos sin 0
4
x x x

=
+
∫
.
2. Tìm hệ số của x
7
trong khai triển đa thức
2
(2 3 )
n
x−
, trong đó n là số nguyên dương thỏa mãn:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
...
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + +
= 1024. (
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu V: (1 điểm) Cmrằng với mọi x, y > 0 ta có :

2
9

x 1
BBT
x
−∞
-2 -1 0
+∞
y'
+ 0 - - 0 +
y
−∞
-3

+∞

−∞
1
+∞
Tiệm cận:
x 1= −
là phương trình tiệm cận đứng
y x=
là phương trình tiệm cận xiên
2/ Phương trình tiếp tuyến
∆
qua
( )
M 1,0−
( hệ số góc
k ) có dạng
∆

x 1
x 2x
k
x 1
⇒ phương trình hoành độ tiếp điểm là
( )
( )
( )
2
2
2
x 2x x 1
x x 1
x 1
x 1
+ +
+ +
=
+
+
x 1⇔ =
⇒
3
k
4
=
Vậy pt tiếp tuyến
∆
với
( )

⇔

+ + + + =


Đặt
= + + ≥ = + ≥u 2x y 1 0,v x y 0
(I) thành
( )
− =
= ⇒ =



⇒


= − ⇒ = −
+ =



1 1
2 2
2 2
u v 1
u 2 v 1
u 1 v 2 loaïi
u v 5
Vậy

 
(2)
3
2 cos x 3cos x sin x 0
4
π
 
 
⇔ − − − =
 ÷
 
 
 
( )
⇔ + − − =
⇔ + + + − − =
3
3 3 2 2
cosx sin x 3cosx sin x 0
cos x sin x 3cos xsin x 3cos xsin x 3cosx sin x 0
=


⇔

− =


3
cosx 0

Vậy (C) có tâm
( )
I 6,2
và R=2
Vì đường tròn
( )
1
C
tiếp xúc với 2 trục Ox, Oy nên tâm
1
I
nằm trên 2 đường thẳng
y x= ±
vàvì (C)
có tâm
( )
I 6,2
,R = 2
nên tâm
±
1
I (x; x)
với x > 0.
1
TH
: Tâm
1
I ∈
đường thẳng y = x ⇒
( )

( ) ( )
2 2
x 2 y 2 4− + − =
;
( ) ( )
2 2
x 18 y 18 18− + − =
2
TH
: Tâm
1
I ∈
đường thẳng
( )
y x I x, x= − ⇒ −
;
=
1
R x
Tương tự như trên, ta có x= 6
Có 1 đường tròn là
( ) ( )
2 2
x 6 y 6 36
− + + =
Tóm lại ta có 3 đường tròn thỏa ycbt là:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
− + − = − + − =
− + + =

( )
0,1, 1−
là vtcp của SC.
Pt tham số đường thẳng SC
x 0
y t
z 4 t
=


=


= −

Mp (P) qua
( )
A 2,0,0
và vuông góc với SC có phương trình là
( )
O x 2 y z 0 y z 0− + − = ⇔ − =
Thế pt tham số của SC và pt (P) Ta có t=2 và suy ra
( )
M 0,2,2
Gọi
( )
1
A x,y,z
là điểm đối xứng với A qua SC. Có M là trung điểm của
1

3
t x 1 x t 1 dx 3t dt= + ⇒ = − ⇒ =
⇒
3
x 2 t 1+ = +
.Đổi cận t( 0) = 1 ; t (7 ) = 2.
Vậy
( )
( )
2
3 2
5 2
2 2
4
1 1
1
t 1 3t
t t 231
I dt 3 t t dt 3
t 5 2 10
+
 
= = + = + =
 
 
∫ ∫
2/ Ta có
( )
+
+ +

+ +
+ + + +
 
= + + + +
 
⇒
2n 1 3 5 2n 1 10
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
2 C C C ... C 1024 2
+
+ + + +
= + + + + = =
. Vậy 2n=10
Ta có
( ) ( ) ( )
10
10 k k
k 10 k
10
k 0
2 3x 1 C 2 3x
−
=
− = −
∑
Suy ra hệ số của
7
x
là
7 7 3

1 1 4
y y y y
y
+ = + + + ≥
⇒
2
6
4
3
9 3
1 16
y y
 
+ ≥
 ÷
 ÷
 
Vậy
( )
 
 
+ + + ≥ =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
3 3 6
4