ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 – MÔN TOÁN KHỐI A, B, D
ĐỀ SỐ 20
Câu I: (2 điểm) Cho hàm số : y =
2
2 2
1
x x
x
+ +
+
(*)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số (*) .
2. Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của ( C ).Chứng minh rằng không có tiếp tuyến nào của (C ) đi qua
điểm I .
Câu II:( 2 điểm). 1. Giải bất phương trình :
2
8 6 1 4 1 0x x x− + − + ≤
2. Giải phương trình :
2
2
cos2 1
( ) 3
2 cos
x
tg x tg x
x
π
−
+ − =

Câu III: (3 điểm). 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn :

. a) Gọi M
1
là hình chiếu của M lên mặt phẳng ( P ). Xác định tọa độ điểm M
1
và tính độ dài đọan MM
1
. b) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) đi qua M và chứa đường thẳng
x-1 y-1 z-5
:
2 1 -6
= =

Câu IV: ( 2 điểm). 1.Tính tích phân
4
sin
0
( cos )
x
tgx e x dx
π
+
∫
.
2. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác
nhau và nhất thiết phải có 2 chữ 1, 5 ?
Câu V: (1 điểm) Cmrằng nếu
0 1y x≤ ≤ ≤
thì

1

+∞
y'
+ 0 - - 0 +
y
−∞
-2

+∞

−∞
2
+∞
Tiệm cận
x 1= −
là pt t/c đứng.
y x 1= +
là pt t/c xiên
Đồ thị :Bạn đọc tự vẽ.
2/ Chứng minh không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua
( )
I 1,0−
là giao điểm của 2 tiệm cận.
Gọi
( )
( )
2
o o
o o o o
o
x 2x 2

( )
( )
+ − −
⇔ − =
+
2
o o o
o
2
o
x 2x 1 x
0 y
x 1
2 2
o o o o
o o
x 2x 2 x 2x
x 1 x 1
+ + +
⇔ =
+ +
2 0
⇔ =
Vô lí. Vậy không có tiếp tuyến nào của (C) đi qua
( )
I 1,0−
CÂU II 1/ Giải bất phương trình
2
8x 6x 1 4x 1 0− + − + ≤
(1)

1 1
x Vx
1 1
4 2
8x 6x 1 0
x Vx
1
4 2
4x 1 0 x
1
4
x 0 hay x
8x 6x 1 (4x 1)
4
8x 2x 0
⇔
= ≥
1 1
x hay x
4 2
2/ Giải phương trình
2
2
cos2x 1
tg x 3tg x
2
cos x
π −
 
+ − =

2
C
có tâm
( )
I 1,1
, bán kính
2
R 5=
Phương trình trục đẳng phương của 2 đường tròn
( )
1
C
,
( )
2
C
là
( ) ( )
2 2 2 2
x y 9 x y 2x 2y 23 0+ − − + − − − =
x y 7 0⇔ + + =
(d)
Gọi
( ) ( )
k k k k
K x ,y d y x 7∈ ⇔ = − −
( ) ( ) ( )
= − + − = + = + − − = + +
2 2 2
2 2 2 2 2

x 5 2t
y 2 2t
z 3 t
= +


= +


= − −

Thế vào pt mp (P):
( ) ( ) ( )
2 5 2t 2 2 2t 3 t 1 0+ + + − − − + =
18 9t 0 t 2
⇔ + = ⇔ = −
. Vậy
( ) ( )
1 1
MM P M 1, 2, 1∩ = − −
Ta có
( ) ( ) ( )
2 2 2
1
MM 5 1 2 2 3 1 16 16 4 36 6= − + + + − + = + + = =
* Đường thẳng
− − −
∆ = =
−
x 1 y 1 z 5

x 4y z 10 0+ + − =

Cách khác: Mặt phẳng (Q) chứa
∆
nên pt mp(Q) có dạng:
− + = − + + + − =x 2y 1 0 hay m(x 2y 1) 6y z 11 0
. Mặt phẳng (Q) đi qua M(5;2; - 3) nên ta có 5 – 4 +
1 = 0 ( loại) hay m( 5 – 4 + 1) + 12 – 3 – 11 = 0 ⇔ m = 1.
Vậy Pt (Q):
x 4y z 10 0+ + − =

CÂU IV: 1/ Tính
( )
π
= +
∫
/ 4
sinx
0
I tgx e cos x dx
Ta có:
/ 4 / 4 / 4 / 4
sinx sin x
0 0 0 0
sin x
I tgxdx e cosxdx dx e cos xdx
cosx
π π π π
= + = +
∫ ∫ ∫ ∫

số n.
Cách khác : - Bước 1 : xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vị trí: ta có:
2
5
A 4.5 20= =
cách
-Bước 2 : có
= =
3
5
A 3.4.5 60
cách bốc 3 trong 5 số còn lại rồi xếp vào 3 vị trí còn lại .
Vậy có 20.60 = 1200 số n thỏa ycbt.
CÂU V. Ta có
2
0 x 1 x x≤ ≤ ⇒ ≥
Ta có
1 1
x y y x x y y x
4 4
− ≤ ⇔ ≤ +
(1)
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có
+ ≥ + ≥ =
2 2
1 1 1
y x yx 2 yx . x y
4 4 4
⇒
1