ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2009 – MÔN TOÁN KHỐI A, B, D
ĐỀ SỐ 17
Câu I: (2 đ)Gọi (C
m
) là đồ thị của hàm số : y =
2 2
2 1 3x mx m
x m
+ + −
−
(*) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) ứng với m = 1.
2. Tìm m để hàm số (*) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
Câu II: ( 2 điểm) 1. Giải hệ phương trình :
2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y

+ + + =

+ + + + =

2. Tìm nghiệm trên khỏang (0;
π
) của phương trình :
2 2
3
4sin 3 cos 2 1 2cos ( )
2 4

Câu V: (1 điểm) Cho x, y, z là ba số thỏa x + y + z = 0. Cmrằng :

3 4 3 4 3 4 6
x y z
+ + + + + ≥
BÀI GIẢI
CÂU I
1/ Khi m = 1 thì
2
x 2x 2
y
x 1
+ −
=
−
(1)
• MXĐ: D = R \ {1}
•
( )
2
2
x 2x
y '
x 1
−
=
−
,
y ' 0=
⇔ = =x 0 hay x 2

2
1 2
x x P m 1 0 1 m 1⇔ = = − < ⇔ − < <
CÂU II: 1/ Giải hệ phương trình
( ) ( )
( )
2 2
x y x y 4
I
x x y 1 y y 1 2

+ + + =


+ + + + =


(I)

+ + + =

⇔

+ + + + = ⇒ = −


2 2
2 2
x y x y 4
x y x y xy 2 xy 2

= = −

vậy x, y là nghiệm của phương trình
+ − =
2
X 0X 2 0
Vậy hệ có 2 nghiệm
x 2
x 2

=


= −


hay
x 2
y 2

= −


=


2
S x y 1
TH :
P xy 2

=


= −


V
x 2
y 2

= −


=


V
x 1
y 2
=


= −

V
= −


=



= −


2
(x y) x y 0
xy 2

+ = + =−

⇔

= −


x y 0 hay x y 1
xy 2

+ = + =−

⇔

= −


x y 0 hay x y 1
xy 2

= −


V
x 2
y 2

= −


=


V
x 1
y 2
=


= −

V
= −


=

x 2
y 1
2/ Tìm nghiệm
( )
0,∈ π
Ta có

( )
cos 2x cos x
6
π
 
⇔ + = π −
 ÷
 

( ) ( )
π π π
⇔ = + = − + π
5 2 7
x k a hay x h2 b
18 3 6
Do
( )
x 0,∈ π
nên họ nghiệm (a) chỉ chọn k=0, k=1, họ nghiệm (b) chỉ chọn h = 1. Do đó ta có ba nghiệm
x thuộc
( )
0,π
là
1 2 3
5 17 5
x ,x ,x
18 18 6
π π π
= = =
CÂU III. 1/ Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ pt

+ − =

⇒ −

− − =

2x y 3 0
H 2, 1
x 2y 4 0
Ta có
AG 2GH=
uuur uuur
với A(x,y).
4 1 4 1
AG x, y ;GH 2 , 1
3 3 3 3
   
= − − = − − −
 ÷  ÷
   
uuur uuur
⇒
=



− = −


x 0

( )
AC 1, 1,2= − −
uuur
, phương trình tham số của AC là
x 1 t
y 1 t
z 2t
= −


= −


=

.
Thế pt (AC) vào pt mp (P). Ta có
1
1 t 2t 0 t
3
− − = ⇔ =
. Thế
1
t
3
=
vào pt (AC) ta có
2 2 2
M , ,
3 3 3

• Ta dễ thấy
BOC
∆
cũng vuông tại O. Do đó A, O cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc vuông. Do đó A,
O nằm trên mặt cầu đường kính BC, sẽ có tâm I là trung điểm của BC. Ta dễ dàng tìm dược
( )
I 0,1,1

2 2
R 1 1 2= + =
Vậy pt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là :
( ) ( )
2 2
2
x y 1 z 1 2+ − + − =
CÂU IV.
1/ Tính
π π
= =
∫ ∫
/ 3 / 3
2 2
0 0
sin x
I sin xtgxdx sin x. dx
cosx
⇒
( )
2
/ 3

− −
=
∫
=
1
1
2
1/ 2
1/ 2
1 u 3
u du ln u ln 2
u 2 8
 
 
− = − = −
 
 ÷
 
 
∫
2/ Gọi
=
1 2 3 4 5 6
n a a a a a a
là số cần lập
+ + =
3 4 5
ycbt: a a a 8
⇒
{ } { }

a ,a ,a 1,2,5∈
Có 3! = 6 cách chọn
3 4 5
a a a
Có
3
6
A
cách chọn
1 2 6
a ,a ,a
Vậy ta có 6. 4.5.6 = 720 số n
Khi
{ }
3 4 5
a ,a ,a 1,3,4∈
tương tự ta cũng có 720 số n
Theo qui tắc cộng ta có 720 + 720 = 1440 số n
CÂU V: Ta có:
4
x x x
3 4 1 1 1 4 4 4+ = + + + ≥
⇒
+ ≥ =
8
4
x x x
3 4 2 4 2. 4
. Tương tự
+ ≥ =