GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 2
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
a) Chứng minh :
3 3
9 3 11 2 9 3 11 2
3
2
+ + −
=
b) Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
74
( 2) ( 4) 18
x y
x y

+ =


+ + + =


Bài 2.
Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x

Bài 1
a) Ta có :
9 3 11 2+
=
3 3 6 3 9 2 2 2+ + +
=
3 2 2 3
3 3 3. 2 3. 3 2 2+ + +
=
3
( 3 2)+
Tương tự
3
9 3 11 2 ( 3 2)− = −
Vậy
3 3
9 3 11 2 9 3 11 2
2
+ + −
=
3 2 3 2
3
2
+ + −
=
(đfcm)
b) Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
74


+ =

+ + + + =


⇔
2 2
74
4 8 76
x y
x y

+ =

+ = −

⇔
2 2
74
2 19
x y
x y

+ =

+ = −

⇔
2 2


⇔
7
41
5
2 19
y
y
x y

= −





= −





= − −

⇔
13
5
5
7 41
5

13
5
41
5
x
y

= −




= −


Bài 2.
Cho phương trình : x
2
– 2mx + 2m – 5 = 0 , m là tham số thực
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
b) Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để biểu thức
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ
nhất. hãy tính giá trị nhỏ nhất này.

2
– 8m + 20
= 4(m
2
– 2m + 1 + 4) = 4(m – 1)
2
+ 16 ≥ 16
Vậy
1 2
x x
−
đạt giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi và chỉ khi m = 1
Bài 3.
Gọi (P) là đồ thị của hàm số
2
1
2
y x=
và (d) là đồ thị của hàm số
1
1
2
y x= +
a) Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
Bảng giá trị của hàm số
2
1
2
y x=
x -2 -1 0 1 2

b) Lập phương trình hoành độ giao điểm :
2
1
2
x
=
1
1
2
x +
⇔ x
2
– x – 2 = 0
Vậy số nghiệm của pt này là số giao điểm nếu có của hai đồ thị (P) và (d)
Dựa vào đồ thị , ta có (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm lần lượt có hoành độ x = -1 và x = 2
Suy ra nghiệm của phương trình x
2
– x – 2 = 0 có hai nghiệm là x = - 1 ; x = 2
Bài 4. Cho đường tròn (O) , đường kính AB = 2R. M là một điểm lưu động trên cung
AB (M khác A và B). Tiếp tuyến của đường tròn tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần
lượt là C và D.
a) Chứng minh : Tích AC.BD không đổi khi M lưu động trên cung AB.
b) Xác định vị trí của điểm M trên cung AB để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất.
a) AC.BD không đổi
2
1
2
y x=
1
1

(không đổi) khi M lưu động trên cung AB
b) Vì AC VÀ BD là hai tiếp tuyến của (O) tại A và B nên AC // BD (AC và BD cùng
vuông góc với AB), suy ra tứ giác ABDC là hình thang vuông
Diện tích
1
( )
2
ABDC
AB AC BD
S
= +
= R(CM + MD) = R.CD (cmt) với R không đổi
Nên
ABDC
S
nhỏ nhất khi và chì khi CD nhỏ nhất
Và CD nhỏ nhất khi và chỉ khi CD hai tiếp tuyến tại A và B
⇔ M là điểm chính giữa của cung AB ,
¼
¼
MC MD=