GIẢI MỘT SỐ ĐỀ TOÁN TUYỂN SINH 10
ĐỀ SỐ 3
(Thời gian : 120 phút)
Bài 1.
Cho M =
2
2 2 2 4 3 1
3 :
3 1 1 3
x x x x
x x x x
+ − − +
 
+ − −
 ÷
+ +
 
(điều kiện biểu thức có nghĩa)
a) Rút gọn biểu thức M
b) Với giá trị nào của x thì M < 0
c) Tìm x để M có giá trị nguyên
Bài 2.
Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình :
x
2
– (m + 1)x + m
2

( 2)( 1) 2.3 9 ( 1) 1 3 1
.
3 ( 1) 2 4 3
x x x x x x x x
x x x x
+ + + − + + − +
−
+ −
=
2 2
8 2 3 1
3 (2 4 ) 3
x x x
x x x
− + − +
−
−
=
2 2
4 1 3 1
3 (1 2 ) 3
x x x
x x x
− + − +
−
−
=
2 2
( 4 1) (1 2 )(3 1)
3 (1 2 )

1
3
x +
< 0 ⇔ x + 1 < 0 ⇔ x < −1
c) M ∈  ⇔
1
3
x +
∈  ⇔ x + 1 chia hết cho 3 ⇔ x + 1 = 3k, k ∈ 
⇔ x = 3k – 1 , k ∈ 
Hay x là số nguyên chia cho 3 dư là 2
Bài 2.
Giả sử x
1
; x
2
là hai nghiệm của phương trình :
x
2
– (m + 1)x + m
2
– 2m + 2 = 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân
biệt.
Ta có : ∆ = (m + 1)
2
– 4(m
2
– 2m + 2) = – 3m
2

x x
a

+ = − = +




= = − +


Nên : đặt E = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
– 2x
1
x
2
= (m + 1)
2
– 2(m

* Chú ý điều kiện : 1 ≤ m ≤
7
3
, nếu không bài giải thường mắc sai lầm như sau :
– m
2
+ 6m – 3 = – (m
2
– 6m + 3 ) = – (m
2
– 2.3m + 9 – 6 ) = 6 – (m – 3)
2
≤ 6
E đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi m = 3 và giá trị lớn nhất của E = 6
và E không có giá trị nhỏ nhất.
Bài 3.
a
b
N
F
E
D
M
B
O
C
A
a) Chứng minh AEDF là hình vuông
Ta có tứ giác AEDF có
µ

BC a b
DC b
+
=
⇒ DC =
2 2
b a b
DC
a b
+
=
+
Từ chứng minh trênAEDF là hình vuông nên DF // AB ⇒
CD DF
CB AB
=
⇒
2 2
2 2
b a b
DF
a b
a
a b
+
+
=
+
⇒
DF b

⇒ AB.AC = AM.AD
Khi A di động trên (O) thì tam giác ABC luôn là tam giác vuông, nên AEDF luôn là hình
vuông và AB.AC = AM.AD
Do đó AEDF là hình vuông ⇒ AD ⊥ EF và AD = EF
⇒ S
AEDF
=
1 1
. .
2 2
AM EF AM AD=
=
1
.
2
AB AC
= S
ABC
Bài 4. Tìm các số có hai chữ số biết rằng khi nhân số đó với 37 và lấy kết quả chia cho 31
ta được số dư 15
Gọi số có hai chữ số có dạng : x =
10ab a b= +
(a ≠ 0 , 0 < a, b ≤ 9, a, b ∈), x nguyên
dương
Theo đề bài ta có : 37(10a + b) = 31.k + 15 , k∈
⇔ 37x – 31k = 15 (*) và (37, 31) = 1 (ước chung lớn nhất bằng 1 hay gọi nguyên tố cùng
nhau)
Bài toán trở thành tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (*)
Suy ra : 31k = 37x – 15 ⇒ k =
31 6 15

37 16
x u x
k u
= − ≤ ≤


= −

+ Chọn u = 1 ⇒ k = 21 ⇒ x = 18
Thử lại : 37.18 – 15 = 651 và 651 : 31 = 21
+ Tương tự chọn u = 2 ⇒ k = 58 , x = 49
+ chọn u = 3 ⇒ k = 95 ; x = 80
+ Chọn u = 4 ⇒ k = 132 , x = 111 (loại)
Vậy số có hai chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là : 18 ; 49 ; 80