LỚP TOÁN THẦY CƯỜNG

Liên hệ: 0967453602 – Facebook: ThayCuongToan

SỔ TAY TRA CỨU NHANH KIẾN THỨC
MÔN TOÁN LỚP 11 – HỌC KÌ II

Học và tên: ……………………………………
Trường: ……………… Lớp: …………………

TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ
(Dùng cho năm học 2018 – 2019)


Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Toán Lớp 11 – Học kì II

Mục lục
I. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN .............................................................................................................3
1. Dãy số .........................................................................................................................................................................3
a. Khái quát về dãy số: ...............................................................................................................................................3
b. Dãy số tăng – Dãy số giảm:....................................................................................................................................3
c. Dãy số bị chặn trên – Dãy số bị chặn dưới – Dãy số bị chặn: ...............................................................................3
2. Cấp số cộng (CSC) .....................................................................................................................................................4
3. Cấp số nhân (CSN) ....................................................................................................................................................4
II. GIỚI HẠN.....................................................................................................................................................................4
1. Giới hạn của dãy số ....................................................................................................................................................4
a. Dãy số có giới hạn hữu hạn:...................................................................................................................................4
b. Dãy số có giới hạn vô cực:......................................................................................................................................5
2. Giới hạn của hàm số ..................................................................................................................................................5
a. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:.........................................................................................................5
b. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực: ..............................................................................................................6



Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan
TỔNG ÔN HỌC KÌ II MÔN TOÁN LỚP 11
I. DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Dãy số
a. Khái quát về dãy số:
• Dãy số hữu hạn là dãy số mà ta biết được số hạng đầu và số cuối.
Ví dụ: Dãy số ( un ) : 1,2,3,4,5 là một dãy số hữu hạn có 5 số hạng và có số hạng đầu là u1 = 1, số hạng cuối
ứng với số hạng thứ năm là u5 = 5.
•

Dãy số vô hạn là dãy số mà ta biết được số hạng đầu và số hạng tổng quát được biểu diễn qua công thức.
Ví dụ: Dãy số ( un ) : un = n2 , ∀n ∈  * hay ta viết dưới dạng khai khai triển là ( un ) : 1,4,9,16,..., n2 ,... . Đây là
dãy số vô hạn có số hạng đầu là u1 = 1 và số hạng tổng quát un = n2 .

•

Dãy số thường được biểu diễn dưới 3 dạng sau:
Dạng 1: Biểu diễn dưới dạng khai triển, ví dụ: ( un ) : 1,4,9,16,..., n2 ,...

Dạng 2: Biểu diễn dưới dạng công thức của số hạng tổng quát, ví dụ: ( un ) : un = n2 , ∀n ∈  * .

u=
1
u=
1
2
Dạng 3: Biểu diễn dưới dạng công thức truy hồi, ví dụ: Dãy Phi-bô-na-xi ( un ) : 
.

un

Nếu T > 1 thì dãy số ( un ) là dãy số tăng.

Nếu H < 0 thì dãy số ( un ) là dãy số giảm.

Nếu T < 1 thì dãy số ( un ) là dãy số giảm.

Chú ý. Nếu biết un thì tính un+1 bằng cách thay n bằng n + 1 vào un .

Ví dụ: Nếu u=
n2 + 2n thì un+1 = ( n + 1) + 2 ( n + 1) = n2 + 4n + 3.
n
2

c. Dãy số bị chặn trên – Dãy số bị chặn dưới – Dãy số bị chặn:
• Dãy số bị chặn trên là dãy số có số hạng tổng quát nhỏ hơn hoặc bằng một số, tức là:
Nếu un ≤ M , ∀n thì dãy số ( un ) bị chặn trên bởi số M.
•

Dãy số bị chặn dưới là dãy số có số hạng tổng quát lớn hơn hoặc bằng một số, tức là:
Nếu un ≥ m, ∀n thì dãy số ( un ) bị chặn dưới bởi số m.

Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội

3


Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Toán Lớp 11 – Học kì II
• Dãy số bị chặn là dãy số vừa bị chặn trên và bị chặn dưới, tức là:

2
2
là một CSC thì kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng trung bình cộng của số hạng

đứng ngay trước và số hạng đứng ngay sau nó, tức là:
uk −1 + uk +1
, ∀ k ≥ 2.
2

thì uk
( un ) là một CSC=

• Nếu dãy số a, b, c là một CSC thì a + c =
2b.
3. Cấp số nhân (CSN)
• CSN là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai trở đi, mỗi số hạng bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó
nhân với một số không đổi q (q được gọi là công bội), tức là:
un .q, ∀n ∈  * .
( un ) là CSN ⇔ un=
+1
•

un u1 .qn−1 , ∀n ∈  * .
Nếu ( un ) là một CSN thì số hạng tổng quát=

(

u1 1 − qn

).

n →+∞
n →+∞
n →+∞ n
n →+∞ n
n
n
[4]. lim
=
c 0=
[3]. lim
qn 0 ( q ≤ 1) .
=
( c const ) .
n →+∞

n →+∞


⇒ lim u =
0.
Chú ý. sin ≤ 1 và cos ≤ 1.
lim vn = 0  n→+∞ n
n →+∞

Định lý về giới hạn hữu hạn: Nếu lim un = L và lim vn = M thì:
[5].

•

un ≤ vn


( M ≠ 0).

[6]. lim un = L .
n →+∞

un
[8]. lim=

[7]. lim 3 un = 3 L .

n →+∞

n →+∞

•

L ( un ≥ 0, ∀n ⇒ L ≥ 0 ) .

Tổng của cấp số nhận lùi vô hạn u1 , u1q,..., u1qn ,... có công bội q ( q < 1) là: S = u1 + u1q + u1q 2 + ... =

u1
.
1− q

b. Dãy số có giới hạn vô cực:
• Các kết quả được thừa nhận của dãy số có giới hạn vô cực:
[1]. lim n = +∞ ⇒ lim nk = +∞ ( k ∈  * ) .

[2]. lim n = +∞ ⇒ lim k n = +∞ ( k ∈  * ) .


n →+∞

lim ( un .vn )

lim vn

lim un

n →+∞

n →+∞

+∞
+∞
−∞
−∞
Quy tắc 2: Nếu lim un = ±∞ và lim vn= L ≠ 0 thì
n →+∞

n →+∞

n →+∞

+∞
+∞
−∞
−∞
−∞
+∞

un
được cho bởi bảng sau:
n →+∞ v
n

Quy tắc 3: Nếu lim un= L ≠ 0 và lim
=
vn 0 ( vn ≠ 0 ) thì lim
n →+∞

n →+∞

Dấu của L

n →+∞

+
+
+
–
–
+
–
–
2. Giới hạn của hàm số
a. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:
• Các kết quả được thừa nhận giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm:
[1]. lim x = x0 .
[2]. lim
=

Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Toán Lớp 11 – Học kì II
[1]. lim  f (x ) + g (x ) =
[2]. lim  f (x ) − g (x ) =
L + M.
L − M.
x → x0

x → x0

[3]. lim  f (x ). g (x ) = L. M .
x → x0

[4]. lim c. =
f (x ) c=
.L ( c const ) .
x → x0

f (x ) L
[5]. lim=
x → x0 g ( x )
M

[6]. lim f (x ) = L .

( M ≠ 0).

x → x0

[8]. lim =
f (x )

• Các kết quả được thừa nhận của giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực:
1
1
[1]. lim
c c; lim
c c=
=
=
( c const ) .
[2]. lim =
0; lim =
0 ( k ∈  *).
x →+∞
x →−∞
x →+∞ x k
x →−∞ x k
• Định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm vẫn đúng cho giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô
cực, tức là ta thay x → x0 thành x → +∞ hoặc x → −∞.
c. Giới hạn vô cực của hàm số:
• Các kết quả được thừa nhận giới hạn vô cực của hàm số:
[1]. lim x k = +∞ với k là số nguyên dương.
[2]. lim x k = +∞ nếu k là số chẵn.
x →−∞

x →+∞

[3]. lim x k = −∞ nếu k là số lẻ.

[4]. lim f (x ) = +∞ ⇒ lim


x → x0

lim  f (x ). g (x )

x → x0

+∞
−∞
−∞
+∞

Quy tắc 2: Nếu lim f (x )= L ≠ 0 và lim
=
g (x ) 0 ( g (x ) ≠ 0 ) thì lim
x → x0

Dấu của L

x → x0

x → x0

Dấu của g (x )

+
+
–
–
d. Các dạng vô định:
•


Tài liệu lưu hành nội bộ dùng cho năm học 2018 – 2019


Giáo viên: NGUYỄN MẠNH CƯỜNG – Điện thoại: 0967.453.602 – Facebook: ThayCuongToan

(

)

( x − 1) x 2 − 2x − 2
3
x 3 − 3x 2 + 2
x 2 − 2x − 2
lim
lim
=
=
= − .
Ví dụ: lim
2
x →1
x →1
x →1
2
x −1
x +1
( x − 1)( x + 1)

[2]. Đối với biểu thức chứa căn thức:


2

x − 3x + 2
( x + 7) − 8

3

A2 + 3 A . B + B 2

) = lim

A−3 B
; 3=

A−B
3

A2 + 3 AB + 3 B 2

.

x +7 −2
x + 3 − 2 −1 −1 1
− lim 2
=
−
= , với:
x →1 x − 3 x + 2
x →1 x − 3 x + 2

x + 3 + 2 = lim
= lim
= lim
= −
x →1 x − 3 x + 2
x →1 ( x − 1)( x − 2 )
x →1
( x − 1)( x − 2 )  x + 3 + 2 x →1 ( x − 2 )  x + 3 + 2 4
∞
Phương pháp khử dạng vô định
khi x → +∞ hoặc x → −∞ :
∞
[1]. Đối với hàm phân thức:
TH1. Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu: Ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của x ở mẫu.
3 
 1 2
1 2
3
− 3+ 4
− 3 + 4 xlim

2
2
2
→+∞
x − 2x + 3
x
x  0
x
x

x  1
x
x = →+∞  x
Ví dụ: lim 4
= lim
= = 1.
x →+∞ x − x + 5
x →+∞
1
5
1
5  1

1− 3 + 4
lim  1 − 3 + 4 
x →+∞
x
x
x 
 x
TH3. Bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu: Ta chia cả tử thức và mẫu thức cho lũy thừa cao nhất của x ở mẫu.
 2 2 3 
2 3
x − + 2
x 2 − + 2 xlim

4
→+∞
x − 2x + 3
x x  +∞

3

3

x + 7) + 2 3 x + 7 + 4
(



3

lim

(

A − B3

2

Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội

7


Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Toán Lớp 11 – Học kì II
 A, khi A ≥ 0 3 3
2
Đặc biệt: A=
= 
A

x →−∞ 2 x 2 + 1
x →−∞
x
→−∞
x
→−∞
x
→−∞
1
2x + 1
2x + 1
2x + 1
2+ 2
x


3 
3 
lim  − x 1 − 5  lim ( − x ) . lim  1 − 5 



x →−∞
x →−∞
x  x →−∞
x  +∞.1


=
=


( 2x + 1) − x
lim=
2

2

x2 + 1
x2 + 1
lim = lim
x →−∞
x →−∞
x →−∞
1
1 
2 x 2 + 1 − x x →−∞ 2 
x 2+ 2 −x
x 2 + 2  − x
x
x 

1

1
lim  x + 
x+
2
x →−∞
x +1
−∞

2

3

3

3

2+

1
x2

x
x
2x + x
2x + x
2x + x
=
= lim
lim x 5
lim =
lim
x
2
→−∞
→−∞
→−∞
x →−∞
x

+ 5
4
x
x

=−

lim 2 +

1
x2

2
=− =−2.
1
1
3
lim 1 − 4 + 5
x →−∞
x
x
x →−∞

3. Hàm số liên tục
• Hàm số liên tục tại một điểm có hai dạng cơ bản sau:
F (x ), khi x ≠ x0
Dạng 1: Hàm số f (x ) = 
liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi lim f (x ) = f (x0 ).
x → x0
G(x ), khi x = x0

x −3
x −3
Do đó lim f (x ) ≠ f (3) hay f (x ) không liên tục (hay gian đoạn) tại điểm x = 3.
Ta có lim f (=
x ) lim
x →3

F (x ), khi x ≥ x0
Dạng 2: Hàm số f (x ) = 
liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi lim
=
f (x ) lim
=
f (x ) f (x0 ).
x → x0+
x → x0−
G
(
x
),
khi
x



x −1
2 − x −1

=lim−
x →1

(

)

( x − 1) 2 − x + 1
x −1
=lim−
=lim− −
x →1
− ( x − 1)
( 2 − x ) − 1 x →1

(

)

2 − x + 1 =−2

2 − x +1
(x ) lim− f =
(x ) f=
(1) 2 hay f (x ) liên tục tại điểm x = 1.
Mà f (1) = −2. Do đó lim+ f =


x →b

nghiệm trên khoảng ( a; b ) .

Ví dụ: Hàm số f (x ) = x 3 + 2 x − 5 liên tục trên  (vì nó làm hàm số đa thức) nên hàm số cũng liên tục

0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng
trên đoạn 0;2 và có f (0). f (2) < 0 nên phương trình x 3 + 2 x − 5 =
( 0;2 ) .
III. ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm tại một điểm
•
•

f (x ) − f (x0 )
∆y
x0 là f '(x0 ) lim
Đạo hàm của hàm số y = f (x ) tại điểm
=
=
lim
.
x → x0
∆
x
→
0
x − x0
∆x

∆y = f ( 2 + ∆x ) − f (2) =

∆x
∆y
−1
1
1
1
1
− =−
⇒ lim
= lim
= − ⇒ f '(2) = − .
∆
→
∆
→
x
x
0
0
∆x
2 + ∆x 2
2 ( 2 + ∆x )
2 ( 2 + ∆x )
4
4

2. Quy tắc tính đạo hàm
Cho các hàm số u = u(x ) và v = v(x ). Khi đó:

STT
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.

Hàm sơ cấp (chỉ chứa biến x)

( c )='

0, ( x )=' 1, ( c.x )=' c, ( cx + k )=' c với c, k = const .

( x ) ' = α .x
α

( u ) ' = u '.α .u
α

α −1

α −1

u'
1
 u  ' = − u2
 
u'


( )

( cos u ) ' =

− sin x

−u '.sin u

u'
1
= 1 + tan2 x
u)'
=
u '. 1 + tan2 u
( tan=
2
2
cos x
cos u
1
u'
9.
− 2 =
−u '. 1 + cot 2 u
( cot x ) ' =− 2 =− 1 + cot 2 x
( cot u ) ' =
sin u
sin x
4. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị của hàm số


Có 3 dạng bài về viết phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị của hàm số y = f (x ) như sau:

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M ( x0 ; y0 )

Phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị của hàm số y = f (x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là

∆=
: y f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 ) với f '(x0 ) là hệ số góc của đường thẳng ∆

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ khi biết ∆ đi qua điểm A ( a; b )

Giả phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị của hàm số y = f (x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là

∆=
: y f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 ) với f '(x0 ) là hệ số góc của đường thẳng ∆

Khi đó, vì tiếp tuyến ∆ đi qua điểm A ( a; b ) nên

b =f '(x0 ) ( a − x0 ) + f (x0 ) ⇒ x0 =⇒
? ∆ : y =f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 )?

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ khi biết vị trí tương đối của ∆ với một đường thẳng
Giả phương trình tiếp tuyến ∆ với đồ thị của hàm số y = f (x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là

∆=
: y f '(x0 ) ( x − x0 ) + f (x0 ) với f '(x0 ) là hệ số góc của đường thẳng ∆

Khi đó, nếu ta biết vị trí tương đối của đường thẳng ∆ và đường thẳng d : =
y ax + b thì ta làm như sau:

• Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t ) tại thời điểm t 0 là v ( t 0 ) = s ' ( t 0 )
•

Cường độ dòng điện tức thời của điện lượng xác định bởi phương trình Q = Q(t ) tại thời điểm t 0 là
I (t0 ) = Q ' (t0 )

IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN
1. Đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng thì ta chọn một trong các cách sau để chứng minh:
Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội

11


Sổ tay tra cứu nhanh kiển kiến thức Môn Toán Lớp 11 – Học kì II
Cách 2
Cách 1 (Thường dùng)

ab


 ⇒ a  (P )
b ⊂ ( P ) 
Hệ quả:

a  ( P ) 
⇒ab
b ⊂ ( P ) 

Cách 3



a ⊂ (Q )
⇒ab
b 
( P ) ∩ (Q ) =

2. Hai mặt phẳng song song

a ⊂ ( P ) và a  ( Q ) 

b ⊂ ( P ) và b  ( Q )  ⇒ ( P )  ( Q )

a ∩b =
{O}


3. Xác định thiết diện

Hệ quả:
( P )  (Q )

b
 ( R ) ∩ ( Q ) =
⇒ 
a  a  b
(R) ∩ (P ) =

a  (P )



( )

2. Các quy tắc

  
 MA + MB =
0
• Quy tắc trung điểm: Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì   

OA
+
OB
=
2
OM
, ∀O bâ ′t kì

   
GA + GB + GC =
0
• Quy tắc trọng tâm: Nếu G là trọng tâm ∆ABC thì    

OA
+
OB
+
OC
=
3

Cách 1 (Thường dùng)
Cách 2
Cách 3


 ⇒ a ⊥ (P )
b, c ⊂ ( P ) 
Cách 4
a ⊥b
a⊥c

( P ) ⊥ (Q ) 

b
( P ) ∩ (Q ) =
 ⇒ a ⊥ (P )
a ⊥ (Q )




2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a ⊥b

ab


 ⇒ a ⊥ (P )
b ⊥ ( P ) 


d , ( P ) )= (
d , ∆ )=
(


AOH

Chú ý. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AOH
 AH
 OH
 AH
 OH
=
sin AOH
=
;cos AOH
=
; tan AOH
=
;cot AOH
AO
AO
OH
AH
3. Hai mặt phẳng vuông góc
Để chứng minh hai mặt phẳng song song thì ta chọn một trong các cách sau để làm:
Địa chỉ: Số nhà 24, ngõ 266/36/6, Nguyễn Văn Cừ, Long Biên, Hà Nội

13


4. Góc giữa hai mặt phẳng
a ⊥b

( P ) ⊥ (Q )

A ∈ ( P )  ⇒ AB ⊂ ( P )
AB ⊥ ( Q ) 

a
(Q ) ∩ ( R ) =

(Q ) ⊥ ( P )  ⇒ a ⊥ ( P )
( R ) ⊥ ( P ) 

Bước 1. Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P ) và ( Q ) , tức là:
a
( P ) ∩ (Q ) =

Bước 2. Xác định đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (P) đồng
thời vuông góc với giao tuyến a và xác định đường thẳng c nằm
trong mặt phẳng (Q) đồng thời vuông góc với giao tuyến a, tức là:
b ⊂ ( P ) và b ⊥ a

c ⊂ ( Q ) và c ⊥ a
Bước 3. Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng ( P ) và ( Q ) chính là góc giữa
2 đường thẳng b và c, tức là:
b ⊂ ( P ) và b ⊥ a   
(b, c )
 ⇐ ( (P ),(Q) ) =
c ⊂ ( Q ) và c ⊥ a 


Cách 2: Dựng mặt phẳng song song và lần lượt chứa hai đường
thẳng. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là khoảng cách giữa hai
đường thẳng a và b.
Cách 3: Dựng đoạn vuông góc chung và tính độ dài đoạn đó. Ta
xét 2 trường hợp sau:
TH1: a và b vừa chéo nhau vừa vuông góc với nhau
+ Bước 1. Chọn mặt phẳng (P) chứa b và vuông góc với a tại H.
+ Bước 2. Trong mặt phẳng (P) kẻ HK ⊥ b.
+ Bước 3. Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
a và b nên d ( a, b ) = HK .
TH2: a và b chéo nhau mà không vuông góc với nhau
+ Bước 1. Chọn mặt phẳng (P) chứa b và song song với a.
+ Bước 2. Dựng d là hình chiếu vuông góc của a lên (P) bằng cách
lấy điểm M ∈ a , kẻ MN ⊥ ( P ) , lúc đó d là đường thẳng đi qua N
và song song với a.
+ Bước 3. Gọi H= a ∩ d , dựng HK  MN .
+ Bước 4. Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
a và b nên d ( a=
, b ) HK
= MN .
Một cách giải khác của TH2:
+ Bước 1. Chọn mặt phẳng ( P ) ⊥ a tại P.
+ Bước 2. Tìm hình chiếu vuông góc của b lên (P) là d.
+ Bước 3. Trong mặt phẳng (P), dựng PQ ⊥ d , từ Q dựng đường
thẳng song song với a cắt b tại H, từ H dựng HK  PQ.
+ Bước 4. Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
, b ) HK
= PQ.
a và b nên d ( a=