Phòng GD Ngọc Lặc Đề thi học sinh giỏi lớp 8 môn
Trờng PTDT Nội Trú toán năm học 2006 - 2007
(thời gian làm bài 150 phút)
Đề bài
Bài 1: ( 4 điểm )
a, Phân tích thành nhân tử:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
a b c a b c b c a c a b+ + + + +
b, Xác định các hằng số a, b sao cho:
3 3
5 50ax bx x+ +
chia hết cho
2
3 10x x+
Bài 2: ( 4 điểm )
a, Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n:
2 1
2 1
n
n
+

b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau:

2 4 5xy x y+ =
Bài 3: (2,5 điểm )
a, giải phơng trình:
2 2 2
1 1 1 1
9 20 11 30 13 42 18x x x x x x

+ =
x y z a b c + + = + +
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
24a b c a b c b c a c a b abc+ + + + + =
( )
3
3 3 3
x y z x y z= + +
( ) ( ) ( )
3 x y y z z x= + + +
suy ra:
( ) ( ) ( ) ( )
3 3 3 3
24a b c a b c b c a c a b abc+ + + + + =
1 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
1 điểm
b, Dùng phơng pháp hệ số bất định
( )
( )
3 2 2
5 50 3 10 5ax bx x x x ax+ + = + +
Ta có:
( )
( )
2
3 10 5x x ax+ +
=

2
2 1
2 1
n
n
+

tối giản
với mọi số tự nhiên n
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5đ
0,5 điểm
b,
(2điểm)
2xy + 4x - y = 5

2x( y + 2) - ( y +2 ) = 3

( y + 2 )( 2x - 1 ) = 3
Vì x, y

Z

y + 2

Z; 2x - 1

Z
Ta có các trờng hợp sau:
2 1 3 1
2 1 3
x x
y y
= =



+ = =

Vậy
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
; 1;1 ; 2;1 ; 0; 5 ; 1; 3x y
1 điểm
0,5 điểm
0,5 đ
Bài 3
a,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
4 5 5 6 6 7 18x x x x x x
+ + =
+ + + + + +
ĐKXĐ:
4; 5; 6; 7x
1 1 1
4 7 18x x

Đặt
2
7 6x x +
= t
( )
( )
( )
2
2
6 10
6 9 1 3 1 1
t
A t t
t t t
= + +
= + + + = + +
( )
1
Min
t
A =
đạt đợc khi t = -3
( )
1
x Min
A =
đạt đợc khi
2
7 6x x +
= -3

MFE EMH =
và
0
0
90
90
EMF MEF
MEF HME
+ =
+ =
hay
BH EF
b) chứng minh đợc EC BF, AF BE
+ xét BEF có các đờng cao BH; EC;
FA nên các đờng BM, AF, CE đồng
quy tại một điểm.
0,5đ
0,5 điểm
1 điểm
1 điểm
1 điểm
Bµi 5:
a
6
5
5
4
B
C
A

BAC BCA
∠ = ∠ ⇒ ∠ = ∠
⇒ ∠ = ∠
0,5®
1 ®iÓm
0,5®
1 ®iÓm