GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 1
1
Ba
Ba
ø
ø
i gia
i gia
û
û
ng
ng
môn ho
môn ho
ï
ï
c
c
Đ
Đ
ie
ie
à
à
u Khie
u Khie
å
å
n T
n T
ự

n = bậc của hệ thống = bậc ph.trình vi phân
Với hệ thống thực tế : m ≤ n (nguyên lý nhân quả)
11
1010
11
nnmm
nnmm
nnmm
dydydrdr
aa...ay(t)bb...br(t)
dtdtdtdt
−−
−−
−−
+++=+++
Tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào, tín hiệu ra của một
hệ thốngliên tục tuyến tính bất biến SISO cóthể mô tả bằng
phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4
Vídụ2.1: Hệ lò xo –khối lượng –giảm chấn
m : khối lượng, [kg]
b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]
k : độ cứng lo xo, [N/m]
n Tín hiệu vào: lực tác dụng F(t), [N]
n Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]
2
2
==−−
∑
imslx

Vídụ2.2: Mạch điện RLC nối tiếp
Theo định luật Kirchhoff :
⇒
Tín hiệu vào: điện áp u
Tín hiệu ra: điện áp u
c
++=
RLC
uuuu
=
L
di
uL
dt
1
=
∫
C
uidt
C
=
R
uRi
2
2
CC
C
dudu
LCRCuu
dtdt

b
v(t)
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 4
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 7
Vídụ2.4: Bộ giảm xóc của xe ôtô, xe máy
m : khối lượng, [kg]
b : hệ số ma sát nhớt, [N.s/m]
k : độ cứng lo xo, [N/m]
n Tín hiệu vào: lượng di động r(t), [m]
n Tín hiệu ra: lượng di động y(t), [m]
2
2
dydydr
mbky(t)bkr(t)
dtdt
dt
++=+
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 8
Vídụ2.5: Mạch điện RLC
2
CC
C
dudu
RLCLRuRu
dtdt
++=
2
CC
C
dudu

−
==
∫
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 6
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 11
2.2 Phép biến đổi Laplace
n Cho hàm phức F(s), biến đổi Laplace ngược của F(s) là
một hàm thời gian f(t) xác định bởi:
Trong đó:
q C là đường cong kín được lựa chọn trong miền s
q j làsốảo đơn vị (j
2
=-1)
1ts
c
1
f(t)L[F(s)]F(s)eds
2j
−
==
π
∫
Ñ
t ≥ 0
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 12
2.2.2 Tính chất
1) Tuyến tính
2) Ảnh của đạo hàm
Giải phương trình vi phân bậc n cần n điều kiện đầu:
2.2 Phép biến đổi Laplace

=
−=
∑
n
nnnii
i
LftsFssf
2
300520100sY(s)sY(s)Y(s)R(s)++=
2
300520100(ss)Y(s)R(s)++=
2
L[f(t)]sF(s)sf(0)f(0)=−−
&&&
(3)32
L[f(t)]sF(s)sf(0)sf(0)f(0)=−−−
&&&
300520100y(t)y(t)y(t)r(t)++=
&&&
Biến đổi Laplace 2 vế với ĐKĐ =0 ta được:
Vídụ, xét ptvp:
()
[()]()=
nn
LftsFs
2b) Nếu các điều kiện đầu = 0
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 14
3) Ảnh của tích phân
2.2 Phép biến đổi Laplace
0

6)Nhân hàm f(t) với e
- αt
2.2 Phép biến đổi Laplace
0
[()]()[()]()
∞
−α−α−
==+α=+α
∫
ttst
LefteftedtLftFs
8) Định lý giátrị đầu
t0s
f(0)limf(t)lim[s.F(s)]
→→∞
==
Nhân f(t) với e
-αt
⇔ thay s bằng (s+α) trong ảnh Laplace.
7) Định lý giátrị cuối
ts0
f()limf(t)lim[s.F(s)]
→∞→
∞==
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 16
2.2.3 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản
1) Hàm bậc thang (hàm bước) đơn vị
2.2 Phép biến đổi Laplace
Xét hàm bậc thang K(t)=K.1(t):
stst

00
eedtedt
∞∞
−α−−+α
=
∫∫
(s)t
0
e1
ss
−+α
∞
=−=
+α+α
t
L[e]
−α
=
L[(t)]δ=
t
δ(t)
0
t
0
1
∞
a→0
a
h
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 18

−
==+=+=
−
∫∫
t
2
0
L[1(t)]1
L[t.1(t)]L1(t)dt
s s

===


∫
Lấy tích phân từngphần
Cũng cóthể dùng tính chất ảnh của tích phân:
udvuvvdu=−
∫∫
Theo cách tương tự, ta tính được ảnh của t
2
, t
3
, t
n
…
t.1(t)
t0
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 10
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 19

11
costee;sintee
22j
ω−ωω−ω
⇒ω=+ω=−
111
...
2js
L[sin
sj
t]
j

=−

−ω+ω

ω

=
111
2sjsj

=+

−ω+ω

22
s
s

t
esint
−α
ω
1
n
(s)+α
1
s +α
2
1
(s)+α
1/s
t
e
−α
t
te
−α
n1
t
t
e
(n1)!
−
−α
−
GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 11
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 21
Bài toán : Biết hàm Y(s) , tìm hàm thời gian y(t)=?

∑∑
(m<n)
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 22
1) Mẫu số của Y(s) chỉ cónghiệm đơn
2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
Các hệ số A
i
(i=1,2,…,n) xác định bởi:
n12n
Q(s)a(ss)(ss)...(ss)=−−−
12in
12in
AAAAP(s)
Y(s)......
Q(s)ssssssss
==+++++
−−−−
i
i
ssiii
ss
Alim[(ss).Y(s)][(ss).Y(s)]
=
→
=−=−
i12n
n
stststst
i12n
i1

2
s2s2
5s37
Alim[(s2)Y(s)]lim
2s(s5)12
→−→−
+
=+==
+
2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
Vídụ: Tìm y(t) biết
3
12
AAA5s3
Y(s)
2s(s2)(s5)ss2s5
+
==++
++++
1
s0s0
5s33
Alim[s.Y(s)]lim
2(s2)(s5)20
→→
+
===
++
Giải. Mẫu số của Y(s) có3 nghiệm đơn s
1

3711
Y(s)
20s12(s2)15(s5)
=+−
++
2t5t
3711
y(t)ee
201215
−−
=+−
⇒
⇒
t0
y(0)lim[y(t)]0
→
==
t
y()lim[y(t)]3/20
→∞
∞==
s0
y()lim[s.Y(s)]3/20
→
∞==
s
y(0)lim[s.Y(s)]0
→∞
==
Nhận xét:

1
, s
2
,…, s
n-r
vàmột nghiệm bội s
k
lặp r lần
Khi đócóthể phân tích :
ss
k
ri
r
ik
ri
1d
Blim(ss).Y(s)
(ri)!
ds
→
−
−


=−


−

( i=r,r-1,…,1)

→→


=−=−



⇒
ikkk
r1
nr
stststst
ir21
i1
t
y(t)AeBe...BteBe
(r1)!
−
−
=
=++++
−
∑
() ()
1nrr21
r2
1nrk
kk
AABBB
Y(s)......

2
s0s0
5s24
Alim[s.Y(s)]lim
(s4)(s3)
→→
+
===
++
Giải. Mẫu số của Y(s) có2 nghiệm đơn s
1
=0 ; s
2
=-4
vàmột nghiệm kép s
k
=-3 nên cóthể phân tích :
2
5s24
Y(s)
s(s4)(s3)
+
=
++
2
2
s4s4
5s24
Alim[(s4)Y(s)]lim
s(s3)

1
s3s3
dd5s24
Blim[(s3)Y(s)]lim
dsdss(s4)
→−→−


+

=+=


+



1
22
s3
5s(s4)(2s4)(5s24)31
Blim
93
s(s4)
→−
+−++
===
+
( )
( )

3) Mẫu số của Y(s) cónghiệm phức
2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
n1n212
Q(s)a(ss)...(ss)(sp)(sp)
−
=−−−−
( )
1n212
2
2
1n2
AAC(sa)C
Y(s)...
ssss
sa
−
−
−+ω
=+++
−−
−+ω
Giả sử Q(s) có(n-2) nghiệm đơn s
1
, s
2
,…, s
n-2
và2 nghiệm phức p
1,2
= a ± jω

=
=−−
ω
[ ]
{ }
212
1
sp
1
CRe(sp)(sp)Y(s)
=
=−−
ω
( )
1n212
2
2
1n2
AAC(sa)C
Y(s)...
ssss
sa
−
−
−+ω
=+++
−−
−+ω
(i=1,…,n-2)
i

sin(t)=α+βω±ϕ
Trong đó:
2222
arccosarcsin
αβ
ϕ==
α+βα+β
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 32
2.2.4. Tìm biến đổi Laplace ngược
Vídụ: Tìm y(t) biết
12
22
C(s3)4C2s5A
Y(s)
s(s6s25)ss6s25
+++
==+
++++
Giải. Mẫu số của Y(s) cómột nghiệm đơn s=0 vàhai
nghiệm phức p
1,2
=-3± 4j nên cóthể phân tích :
2
2s5
Y(s)
s(s6s25)
+
=
++
2

4
4
−++−+
=+=++
++++++
13t3t
117
y(t)L[Y(s)]ecos4tesin4t
5520
−−−
==−+
3t
11
e(7sin4t4cos4t)
520
−
=+−
3t
16574
esin4tcos4t
520
6565
−

=+−


3t
165
esin(4t)



{}
1
1141
CImD
455

==−=−

ω

nCũng cóthể tính A, C
1
, C
2
bằng công thức :
()()
2
18j34j
18j3520j74
Dj
34j2555
916j
−+−−
−+−
====−
−+
−
{}

(5)
(6)
2
3s40
Y(s)
s(s5)(s3)
+
=
++
2
6s15
Y(s)
s(s1)(s8s16)
+
=
+++
2
s5
Y(s)
s(s4s5)
+
=
++
2
15s225
Y(s)
s(s18s225)
+
=
++

y(t)etee
16416
- -+
−−−
=
5t3t3t
853113
y(t)etee
94636
--
−−−
=+
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 36
2.3 Hàm truyền
1) Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống làtỉsốgiữa
ảnh Laplace của tín hiệu ra và ảnh Laplace của tín hiệu vào
khi các điều kiện đầu bằng 0.
Từ PTVP mô tả hệ thống tuyến tính bất biến liên tục:
nn1mm1
nn10mm10
nn1mm1
dydydrdr
aa...ay(t)bb...br(t)
dtdtdtdt
−−
−−
−−
+++=+++
Biến đổi Laplace hai vế với ĐKĐ =0 ta được :
nn1mm1

để nghiên cứubản chất động học của hệ thống.
n Dùng hàm truyền để mô tả vàphân tích hệ thống thuận
lợi hơn PTVP vì hàm truyền làphân thức đại số.
Quan hệ vào-ra sẽ đơn giản là phương trình đại số:
2.3 Hàm truyền
G(s)Y(s)/R(s)Y(s)R(s).G(s)=→=
Tín hiệura =tín hiệu vào * hàm truyền
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 38
2.3 Hàm truyền
3) Đa thức đặc tính, Phương trình đặc tính
- Đa thức ở mẫu số của hàm truyền gọi là đa thức đặc tính:
Dựa vào các nghiệm hoặc hệ số của phương trình đặc
tính cóthể xét tính ổn định của hệ thống (chương 4).
nn1
nn10
A(s)asas...a
−
−
=+++
nn1
nn10
asas...a0
−
−
+++=
-Cho mẫu số hàm truyền =0 ta có phương trình đặc tính:
4) Mô tả hệ MIMO
Để mô tả hệ MIMO phải dùng ma trận các hàm truyền.
Mỗi hàm truyền chỉứng với một cặp tín hiệu vào, ra.
ijij

R(s)(sp)(sp)...(sp)
−−−
==
−−−
m
n
b
K
a
=
_ là độ lợi (gain).
2
2
4s28s40(s2)(s5)
G(s)4
(s3)(s10)
s13s30
++++
==
++
++
Vídụ:
01/2009 GV. NGUYỄN THẾ HÙNG 40
2.4 Sơ đồ khối
2.4.1 Các thành phần cơ bản
1) Khối chức năng : Tín hiệura =tín hiệu vào * hàm truyền
Y(s) = U(s)*G(s)
G(s)
U(s)
Y(s)