Ma trận và đề kiểm tra 1 tiết
(Có đáp án và lời giải chi tiết)
CHƯƠNG 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG
GIẢI TÍCH 12
1. Mục tiêu kiểm tra
Đề kiểm tra được thiết kế nhằm mục tiêu kiểm tra kiến thức, kĩ năng của học sinh trong
chương Nguyên hàm, tích phân.
a) Về kiến thức
- Biết được khái niệm nguyên hàm, tích phân, sự tồn tại của nguyên hàm và ứng dụng của nguyên
hàm, ứng dụng của tích phân trong hình học.
- Hiểu và vận dụng được các tính chất, định lý của nguyên hàm và tích phân. Hiểu và vận dụng
được các công thức của bảng nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng. Hiểu và vận dụng được các
phương pháp tính nguyên hàm và tích phân.
- Hiểu và vận dụng được phương pháp nguyên hàm đổi biến số, nguyên hàm từng phần; phương
pháp tích phân đổi biến số, tích phân từng phần.
- Hiểu và vận dụng được công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích của vật thể, thể tích khối
chóp – khối chóp cụt và thể tích khối tròn xoay.
b) Về kỹ năng
- Vận dụng bảng nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng để tính nguyên hàm của các hàm số như
hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm căn thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số lũy
thừa, hàm số logarit,…
- Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp nguyên hàm từng phần
- Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần
- Tính được diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể, thể tích khối chóp – khối chóp cụt và thể
tích khối tròn xoay.
- Ứng dụng nguyên hàm, tích phân để giải các bài toán thực tế như tìm vận tốc, gia tốc, quãng
đường mà vật di chuyển, tính tiền,…


2. Ma trận đề kiểm tra


Câu 1

Câu 6

chất của nguyên

Cộng
4 câu

Câu 24

hàm- tích phân
Chủ đề 2

3 câu

4 câu

2 câu

1 câu

Các phương pháp

Câu 18

Câu 2

Câu 7

40 %

2 câu

4 câu

2 câu

3 câu

Câu 11

Câu 9

Câu 23

Câu 14

Câu 13

Câu 10

Câu 25

Câu 17

Câu 12

11 câu


cũng được thiết kế theo định hướng năng lực, trong đó tập trung vào hai dạng năng lực chính là
năng lực giải quyết vấn đề và năng lực mô hình hóa. Tuy nhiên các thuật toán để giải các câu này
không khó. Đề kiểm tra có 25 câu hỏi, trong đó có 6 câu hỏi nhận biết (chiếm 24%) nhằm kiểm


tra năng lực huy động kiến thức cho học sinh, 10 câu hỏi (chiếm 40%) kiểm tra mức độ thông
hiểu kiến thức, còn lại 9 câu hỏi vận dụng thấp và vận dụng cao (chiếm 36%), nhằm kiểm tra
năng lực giải quyết vấn đề và năng lực mô hình hóa của học sinh.
3. Nội dung đề kiểm tra
ĐỀ KIỂM TRA 1 TIẾT
Thời gian làm bài: 45 phút
c

Câu 1. Biết a  b  c,

f ( x )dx  15
�
a

A. I = 7.

b

c

và

f ( x)dx  8.
�
b

f ( x )dx
�

� I  15  8  7.

Phân tích:
c

c

a

b

f ( x )dx .�
f ( x)dx  15.8  120
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh nhầm lẫn I  �
c

c

b

a

c

c

a

D. I  7.

Bài giải: Đáp án B
2

2
2
f
(
x
)
dx

2 x dx  5 � I  5  x 2  5  4  1.
Ta có �
�
0
0
0

Phân tích:
2

2
2
f
(
x
)
dx

2 2
f
(
x
)
dx

2
x
dx

5
�
I

5

x
 5   0  2  7
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh thế cận sai �
�
0
0
0

1

Câu 3. Tích phân

A.

1
.
2019

D. I  1.

Bài giải: Đáp án A
�x  1� t  0
�
t

1

x
�
dx


dt
Đặt
. Đổi cận �x  0 � t  1

Khi đó

0

1

1



0

I  �
t dt  �
t
2018

- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh quên đổi cận tích phân

- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh tính toán sai

0

0

1

1

0

I  �
t 2018 dt  �
t 2018 dt 

2018

1


2

1

B.

I

có giá trị bằng

e2  5
.
4

C.

I

e 2  5
.
4

D.

I

e2  5
.
4


e2
I  �  x�
ln x  �
 1�
dx   e  �  x �   e  �  e � �  1�
�
2
�2
� 1 1 �2 �
�4
�1 2
�4
� �4 �
Khi đó


I

e2
e2
1
e2  5
 e   e  1 
2
4
4
4 .

Phân tích:
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh tính toán sai

1
dx


e


x


e


e
�
�
�
� �  1�
� �
2
�2
� 1 1 �2 �
�4
�1 2
�4
� �4 � 4

- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh thay cận sai
2
�x 2

�
�
�
� �
� ��
2
2
4
�4 � �4
�2
� 1 1 �2 �
�4
�1
�
p
2

Câu 5. Tích phân

I = �x cos 2 xdx

1
I  .
2
A.

0

có giá trị bằng


2
20
4
4 4
2
0
0
Khi đó

Phân tích:
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh sai khi lấy nguyên hàm của cos 2x
ux
du  dx
�
�
��
�
Đặt �dv  cos 2 x dx �v  sin 2 x .


 2

I  x.sin 2 x 2  �
sin 2 x dx  cos 2 x 2  1  1  2
0
0
0
Khi đó

- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh sai khi tính cos 0

I  x.
sin 2 x dx 
2 �
2     1.
2
20
2
2 2
0
0
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh sai
9

f ( x)dx  9.
�

Câu 6. Biết hàm số f ( x) liên tục trên �và 0
A. 9.

B. 27.

3

f (3x)dx
�

Khi đó, 0

có giá trị bằng
D. 3.

Phân tích:
3

- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn

3

f (3 x)dx  F  3x   F  9   F  0   9
�
0
0

3

- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh nhầm lẫn

f (3 x) dx  3.F  3 x 
�
0

3
 3. �
F  9  F  0 �
�
� 3.9  27
0

3

- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh nhầm lẫn

dx  a ln 2  b ln 3  c ln 5.
( x  1)(2 x  1)
1
Câu 7. Biết
Giá trị a  b  c bằng

A. 2 .

B. 1.

C. 3.

D. 1.

Bài giải: Đáp án D
2
2
 2 x  1   x  1 dx  2 � 1  1 �dx
x
I�
dx  �
�x  1 2 x  1 �
�
( x  1)(2 x  1)
( x  1)(2 x  1)
�
1
1
1�
Ta có


x
1 �
�1
I�
dx  �
dx  �

dx
�
�
( x  1)(2 x  1)
( x  1)(2 x  1)
x 1 2x 1 �
1
1
1�
2

I   ln x  1  ln 2 x  1 

2
 ln 3  ln 5  ln 2  ln 3   ln 2  2 ln 3  ln 5
1

Vậy a  b  c  1  2  1  2.
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh thế cận sai
2
2
 2 x  1   x  1 dx  2 � 1  1 �dx

a  b  c  1    1.
2 2
Vậy

- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh xác định sai vị trí của a, b, c
2
2
 2 x  1   x  1 dx  2 � 1  1 �dx
x
I�
dx  �
�
�
�
( x  1)(2 x  1)
( x  1)(2 x  1)
x 1 2x 1 �
1
1
1�

1
1
1
1
3
�
�2
I�
ln x  1  ln 2 x  1 �  ln 3  ln 5  ln 2  ln 3   ln 5  ln 2  ln 3

a
,
b

a
với b là phân số tối giản ( a, b là các số nguyên dương). Giá trị

a  7b bằng

A. -281.

C. 23 .

B. 1.

D. 967 .

Bài giải: Đáp án B
3 2
�
�xdx  t dt
t  1 x � t  1 x � �
2
�x 2  t 3  1
�
Đặt
. Đổi cận
3

2

x
1

x
0
0
1
Khi đó
7

x3

7

x2

2

3 �t 5 t 2 �2 3 �32
1 1 � 141
I  �  �  �  2   �
2 �5 2 �1 2 �5
5 2 � 20

Vậy a  7b  141  7.20  1
Phân tích:

3



2�
1  x2
1  x2
0
0
2
2
7

7

x3

1

x2

3





3 �t 5 t 2 �1 3 �1 1 32
� 141
I  �  �  �    2 �
2 �5 2 �2 2 �5 2 5
� 20

Vậy a  7b  141  7.20  281

3 3
I �
dx  �
xdx  �
. tdt  �
t  1 dt
3
2
3
2
t
2
21
1

x
1

x
0
0
1
Khi đó
7

7

x3

x2


4
3 (đvdt).

C.

S

2
3 (đvdt).

D.

S 

4
3 (đvdt).

Bài giải: Đáp án A
�
x =1
x2 - 4 x +3 = 0 � �
�
x =3
�
Ta có

Khi đó

3


2

- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh nhầm lẫn

1

�x3
�3 2
2
�
S = �x 2 - 4 x + 3 dx = �
=
� - 2 x + 3 x�
�
�1 3
�
3
�
�
1
3

- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh tính toán sai

�x3
�1
4
�
S = �x - 4 x + 3 dx = �

S

37
 đvdt  .
12

C.

S

9
 đvdt  .
4

D.

S

9
 đvdt  .
4

Bài giải: Đáp án B
x  2
�
�
x  x  x  x � x  x  2x  0 � �
x0
�
x 1

�0 �x 4 x3
�1 37
S  �   x2 �  �   x2 � 
�4 3
�2 �4 3
�0 12 (đvdt).

Phân tích:
1
�0 3
� 37
2
S   ��

 x  x  2x  dx �
 x3  x 2  2x  dx � 12

2
0
�
�
- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn
0

S

- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh nhầm lẫn

x
�


p
V = ( đvtt ) .
2
A.

B.

V=

p2
( đvtt ) .
2

C.

V = 0 ( đvtt ) .

D.

V =-

p2
( đvtt ) .
2

Bài giải: Đáp án B


sin 2 x �  2

20
0
2

1 � sin 2 x � 
�x 
� 
2�
2 �0 2


- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh nhầm lẫn công thức

V �
cos xdx   sin x
0


0
0


- Đáp án nhiễu D sai vì thể tích của khối tròn xoay không là số âm.
2
Câu 12. Gọi ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol ( P ) : y = 2 x - x và trục hoành. Tính thể tích

V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình ( H ) xung quanh trục hoành.

A.


2 x - x2 = 0 � �
�
x =0
�
Phương trình hoành độ giao điểm:
2

Khi đó

V �
 2x  x



2 2

0

2

�4 x3
x 5 �2 16
4
dx   �
 4 x  4 x  x  dx   �3  x  5 �0  15  .
�
�
0
2


�4 x3
x 5 �2 16
4
dx  �
 4 x  4 x  x  dx  �3  x  5 �0  15
�
�
0
2

3

4

- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh nhầm lẫn công thức tính thể tích
2
�2 x 3 �2 4
2
V �
2
x

x
dx


 �x  3 �0  3
�
�
0


Bài giải: Đáp án C
Phân tích: Các đáp án nhiễu A, B, D dự đoán học sinh nhầm lẫn công thức tính thể tích khối tròn
xoay.


Câu 14. Ông A muốn làm một cánh cửa bằng sắt có hình dạng và kích
thước như hình vẽ bên. Biết đường cong phía trên là parabol, tứ giác
ABCD là hình chữ nhật và giá thành là 900 000 đồng trên 1m 2 thành

phẩm. Hỏi ông A phải trả bao nhiêu tiền để làm cánh của đó?
A. 13 200 000 đồng.

B. 6 000 000 đồng.

C. 8 400 000 đồng.

D. 6 600 000 đồng.

Bài giải: Đáp án C
2
- Ta có S ABCD  4.2  8m

- Diện tích tạo bởi cung AB và đoạn AB: Chọn A �O  0;0  � P  , khi đó đỉnh của Parabol là
I  1;1 và B  2;0  � P 
2
� x3
�2 4
2
S

- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn:
2
- Ta có S ABCD  4.2  8m

- Diện tích tạo bởi cung AB và đoạn AB: Chọn A �O  0;0  � P  , khi đó đỉnh của Parabol là
I  1;1 và B  2;0  � P 
2

2 20
�x 3
2
2�
S

x

2
x
dx



� x � 
2
�
P : y  x  2x
�3
�0 3
0
- Ta được  

B.

f  x  .g  x  dx  �
f  x  dx.�
g  x  dx
�

C.

kf  x  dx  k �
f  x  dx
�

(với k là hằng số, khác 0)

�
dx  �
f  x  dx  �
g  x  dx
�f  x   g  x  �
�
D. �

Bài giải: Đáp án B
Phân tích: Các đáp án nhiễu A, C, D dự đoán học sinh đọc không kỹ đề và nhầm lẫn các công
thức tính tổng, hiệu của các tích phân.
3

x
a

2

�x  3 � t  2
�x  0 � t  1

. Đổi cận �

2

� 6
�
t2
3�
t 3 t 2 3 �2
dt  2 �
 t  �
dt  2 �
3ln 2t  4    t �
Khi đó I  �
�
2t  4
2t  4 2
2�
6 2 2 �1
�
1
1�
4
1 1 3� 7
�

2
� 6
t2
3� �
t 3 t 2 3 �2
I

dt



t

dt


3ln
2
t

4

  t�
Khi đó
�
� �
�
�
2t  4
2t  4 2


. Đổi cận �


2

2t  t 2  1

2
� 6
�
t2
3�
t 3 t 2 3 �2
I

dt

2


t

dt

2

3ln
2
t

Vậy a  b  c  d  7  3  12  6  2 .
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh xác định a, b, c, d sai
dx  2tdt
�

2
Đặt t  x  1 � t  x  1 � �

�x  t  1

2

2t  t 2  1

�x  3 � t  2
�x  0 � t  1

. Đổi cận �

2

� 6
�
t2
3�
t 3 t 2 3 �2
dt  2 �


t

� �
I  2�
3ln 8   2  3 � 2 �
3ln 6    �  12 ln 2  6 ln 3
3
6 2 2� 3
�
� �

Vậy a  b  c  7  3  12  6  28.
Câu 17. Một vật chuyển động với vận tốc
kilomet/giờ

v  t   at 2  bt  c

h
với t tính bằng giờ   và v tính bằng

 km / h  có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I  1;1 và trục đối xứng

song song với trục tung như hình bên. Quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ kể
từ lúc xuất phát là

2

km
A. s  6  

km
B. s  4  


t3 2
27 2
 t  2t  k 
 3  2.3  0  6 km
3
3

Phân tích:
- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh làm như sau
Khi t  0 ta có v  t   2 � c  2  1
Khi t  3 ta có v  t   2 � 9a  3b  2  5 � 9a  3b  3  2 
Khi t  1 ta có v  t   1 � a  b  2  1 � a  b  1  3
2
Từ  1 ,  2  ,  3 ta được v  t   t  2t  2

Suy ra s  2t  2 . Vậy t  3 � s  2.3  2  4 .
- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh làm như sau
Khi t  0 ta có v  t   2 � c  2  1
Khi t  3 ta có v  t   2 � 9a  3b  2  5 � 9a  3b  3  2 
Khi t  1 ta có v  t   1 � a  b  2  1 � a  b  1  3 
2
Từ  1 ,  2  ,  3 ta được v  t   t  2t  2

t3 2
v  t  dt  �
Vậy s  �
 t  2t  2  dt  3  t  2t  k
2


F  x   2sin  C.
2
A.

1
x
F  x   sin  C.
2
2
B.

x
F ( x  2sin  C.
2
C.

1
x
F  x    sin  C.
2
2
D.

Bài giải: Đáp án C
Phân tích: Các đáp án nhiễu A, B, D dự đoán học sinh nhần lẫn công thức tính nguyên hàm của
cos

x
2.



�x  3 � t  0

. Đổi cận �x  0 � t  3
t  9  x � t  9  x � xdx  tdt
�
2

2

2

0
3
t 3 3 27
2
2
V


t
dt

t
dt


 9.
Vậy
�

3

0

V  �
t 2 dt  �
t 2 dt 2t

- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh nhầm lẫn quên không đổi cận tích phân

3
6
0


3

V  �
t 2 dt  
0

t3 3
27

 9.
3 0
3
e

ln x

2
 u 2  1 du.
9�
e

2

B.

I

2
 u 2  1 du.
9�
1

I

2
u 2  1 du.

�
31

1

C.

2


2

2

2

1

1

 1 du

Phân tích:
e

- Đáp án nhiễu A dự đoán học sinh nhầm lẫn quên đổi cận tích phân

- Đáp án nhiễu C dự đoán học sinh nhầm lẫn khi thay cận tích phân

I

2
u 2  1 du.

�
91

I

2

�chia  H  thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ
Đường thẳng

bên. Tìm tất cả giá trị thực của k để S1  3S 2 .

A. k = 2.

B.

k=

1
.
2

C. k = 1.

D. k = 4.


Bài giải: Đáp án A
k
1
S1  �dx  ln x 1  ln k  ln 2
1 x
2
2
k

Ta có

1 x
2
2
k

Ta có

2
2
1
S 2  �dx  ln x  ln 2  ln k
k
x
k

Vì

S 2  3S1 � ln 2  ln k  3  ln k  ln 2  � 4 ln k  2 ln 2 � ln k 2  ln

� 1
k
�k �0
�
�
2
� �2 1 � �
1
k 
�
�

x
k

Ta có S1  S 2 � ln k  ln 2  ln 2  ln k � ln k  0 � k  1
- Đáp án nhiễu D dự đoán học sinh làm như sau

1
2


k
1
S1  �dx  ln x 1  ln k  ln 2
1 x
2
2
k

Ta có
2

2
1
S 2  �dx  ln x  ln 2  ln k
k
x
k

Vì


4

C.

I

4
3

D.

I

5
3

Bài giải: Đáp án B

Ta có

�x 4
�1 1
3
I  �  x3  2 x �   1  2  
4
�4
�0 4

Phân tích:
�x 4


a

f  x  dx
�f  x  dx b  �

1

,

0

sau đây đúng?

A. S = b - a.

B. S = b + a.

C. S =- b + a.

D. S =- b - a.

Bài giải: Đáp án A
Ta có
Phân tích:

f  x  �0

với



- Đáp án nhiễu D sai vì

f  x  �0

với

x � 0; 2

,

f  x  �0

với

x � 0; 2

Câu 24. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [2;3]. Biết f (2)  1, f (3)  2. Tính
3

I  �f '( x) dx.
2

A. I =- 3.

B. I =- 1.

C. I = 1.

D. I = 2.

Câu 25. Diện tích hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ sau là:

A.

C.

S

9
2

S

B.

34
3

D.

S

16
3

S

10
3


�2
10 7 9
2
y

y

2
dy

�   2y�    
�
2
3 6 2
�3
�1
1

- Đáp án nhiễu B dự đoán học sinh tính toán sai
2

�y 3 y 2
�2 8
16
S �
y 2  y  2 dy  �   2 y �   2  4 
3
�3 2
�0 3
0

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

ĐA

A

B

A


18

19

20

21

22

23

24

25

B

D

A

C

C

B

A