THPT VÕ MINH ĐỨC
SỞ GD&ĐT BÌNH DƯƠNG
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN TOÁN
Năm học : 2008 – 2009
Môn thi : TOÁN
(Thời gian : 150 phút)
Bài 1 : (2 điểm)
Cho hai số x, y thỏa hệ :
2 2
1
12
x y xy
x y y x
+ + =


+ = −

Tính
3 3
x y+
Bài 2 : (2 điểm)
Xác định m để hệ :
2
2
( 1)
( 1)
x m y
y m x

− = +

+ x
2
2
có giá trị nhỏ
nhất và tìm giá trị nhỏ nhất ấy.
Bài 5 : (2 điểm)
Cho đường tròn (O ; R) có hai đường kính AB, CD không trùng nhau. Vẽ tiếp tuyến (d) của
đường tròn tại B, Các đường thẳng AC, AD lần lượt cắt đường thẳng (d) tại P và Q.
a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp được.
b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với CD.
GIẢI
Bài 1 : (2 điểm)
Cho hai số x, y thỏa hệ :
2 2
1
12
x y xy
x y y x
+ + =


+ = −

Tính
3 3
x y+
Đặt : x + y = S và x.y = P
Ta có : x
3
+ y

P
= −


=

(loại vì không thỏa hệ)
Giáo viên : HUỲNH ĐẮC NGUYÊN
THPT VÕ MINH ĐỨC
Điều kiện tồn tại hai số x, y là S
2
– 4P ≥ 0
Ta có các hệ con :
1/
4
. 3
x y
x y
+ =


= −

và 2/
3
. 4
x y
x y
+ = −


2
= y – x
⇔ x
2
– y
2
– 2(x – y) = y – x ⇔ (x – y)(x + y – 1) = 0
⇔
0
1 0
x y
x y
− =


+ − =

+ x – y = 0 ⇔ x = y
Thế vào pt (1) : x
2
– 2x + 1 = m + x ⇔ x
2
– 3x + 1 – m = 0
∆ = 9 – 4(1 – m) = 5 + 4m
Pt có nghiệm khi và chỉ khi : m ≥
5
4
−
Khi đó : x = y =
3 5 4

hoặc
1
4
m ≥ −
Bài 3 : (2 điểm)
Cho biết a, b là nghiệm của pt : x
2
+ px + 1 = 0 (1) và b, c là nghiệm của pt : x
2
+ qx + 2 = 0 (2)
Tính giá trị của biểu thức : (b – a)(b – c) theo p và q
a
2
+ pa + 1 = 0 (3) và b
2
+ pb + 1 = 0 (4)
b
2
+ qb + 2 = 0 (5) và c
2
+ qc + 2 = 0 (6)
a + b = – p ; b + c = – q
Từ (4) suy ra b ≠ 0 do đó p – q ≠ 0 , (4) trừ (5) theo vế ta được : b(p – q) = 1
⇒ b =
1
p q−
Giáo viên : HUỲNH ĐẮC NGUYÊN
THPT VÕ MINH ĐỨC
⇒ a + b = a +
1

−
=
2
p q−
+ q
Vậy : (b – a)(b – c) =
2 2
1p q
p q p q
  
− + +
 ÷ ÷
− −
  

Bài 4 : (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai tham số m : x
2
– 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
(1) có nghiệm ⇔ ∆’ = (m + 1)
2
– 2m – 10 ≥ 0 ⇔ m
2
– 3
2
≥ 0 ⇔ (m – 3)(m + 3) ≥ 0
⇔ m ≤ −3 hoặc m ≥ 3 (*)
b) Với x
1




= = +


Do đó : N = 6x
1
x
2
+ x
1
2
+ x
2
2
= 4(2m + 10) + 4(m + 1)
2
= 4m
2
+ 16m + 44 = (2m + 4)
2
+ 28
= 4(m
2
+ 2.2m + 2
2
+ 7) = 4(m + 2)
2
+ 28

suy ra ∆vuông ACQ ∼∆vuông ADP
suy ra :
·
·
CPD DQC=
và cùng nhìn CD dưới 1 góc bằng nhau
Vậy tứ giác CPQD nội tiếp được
b) Gọi M là giao điểm của AI và CD
Trong ∆APQ vuông tại A nên
trung tuyến AI = IQ
suy ra ∆AIQ cân tại I ⇒
·
·
IQA IAQ=
Trong ∆ABQ vuông tại B có đường cao BD
suy ra

·
·
IQA ABD=
·
·
ABD ACD=
(cùng chắn cung AD)
⇒
·
·
IQA ACD=

Mà :