ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU TRANG

TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, 10/2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
——————–o0o——————–

NGUYỄN THỊ THU TRANG

TỨ GIÁC ĐIỀU HÒA VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp
Mã số:

8460113

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG


.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 2. Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa
2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . .
2.2 Chứng minh đồng quy . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Chứng minh đường thẳng đi qua điểm cố định .
2.4 Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau . . . . .
2.5 Chứng minh hai góc bằng nhau . . . . . . . . .
2.6 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.


.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

14
15

.
.
.
.
.
.

23
23
28
32
37
45
49

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

54


ii

Danh sách ký hiệu

const

Hằng số

I(O, r2 )

Phép nghịch đảo tâm O tỉ số r2


iii

Danh sách hình vẽ
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15

A, B, C, D là hàng điểm điều hòa. . . . . . .
I là trung điểm đoạn AB. . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12

K, M, N thẳng hàng . . . . . . . . .
A, E, F, C thẳng thàng . . . . . . . .
A, R, S, L thẳng hàng . . . . . . . . .
A, H, S thẳng hàng. . . . . . . . . . .
K, F, B, D thẳng hàng. . . . . . . . .
EN, F M, AO đồng quy. . . . . . . .
BY, CZ và AD đồng quy. . . . . . .
M D, N E, P F đồng quy. . . . . . . .
KN luôn đi qua một điểm I cố định
M N đi qua J cố định . . . . . . . . .
P Q luôn đi qua một điểm cố định I.
T là điểm cố định khi A thay đổi. . .

.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29

I là trung điểm AH. . . . . . . .
B là trung điểm GH. . . . . . . .
T B = T C. . . . . . . . . . . . . .
D1 E1 = D2 E2 . . . . . . . . . . .
CF = F G. . . . . . . . . . . . . .
Q là trung điểm KV . . . . . . . .
DH = HK. . . . . . . . . . . . .
P Q = QR. . . . . . . . . . . . . .
P C đi qua trung điểm BD. . . .
K là trung điểm của BD. . . . .
T H là phân giác của góc M HN .
∠BP A = ∠CP M . . . . . . . . .
∠BAQ = ∠CAP . . . . . . . . . .
IB là phân giác góc AIC. . . . .
BM CN là tứ giác điều hòa . . .
C1 P song song với AA1 . . . . . .
F D·HK
F H·DK = 3. . . . . . . . . . . . .


.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.


.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

Hình học là một phân môn quan trọng trong toán học, đã gắn bó với chúng ta
trong quá trình học toán từ bậc tiểu học đến trung học phổ thông. Sự kì diệu
của hình học nằm trong cả phát biểu của định lý, tính chất cũng như những
chứng minh của chúng, tiềm ẩn những thử thách sâu sắc để thách thức trí tuệ
của con người.
Tứ giác điều hòa là một tứ giác đẹp và có nhiều ứng dụng trong hình học
phẳng. Các bài toán liên quan đến tứ giác điều hòa là những bài toán hay và
khó. Nó có ứng dụng khá lớn trong các bài toán như chứng minh thẳng hàng,
đồng quy, song song, vuông góc, trung điểm, chứng minh đi qua điểm cố định
và các bài toán về chứng minh hệ thức hình học...
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về ứng dụng của tứ giác điều hòa, tôi lựa
chọn đề tài nghiên cứu “Tứ giác điều hòa và ứng dụng” dưới sự hướng dẫn của
PGS. TS. Trần Việt Cường.
Để giải quyết được vấn đề này, trước tiên chúng tôi tìm hiểu về định nghĩa
cũng như những tính chất của tứ giác điều hòa. Tiếp đó, chúng tôi tìm hiểu
việc vận dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào việc giải một số dạng toán
cụ thể trong hình học phẳng.
Nội dung của đề tài luận văn gồm hai chương.
Chương 1. Một số vấn đề về tứ giác điều hòa. Trong chương này, ngoài trình
bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến đề tài, chúng tôi trình bày định
nghĩa và tính chất về tứ giác điều hòa. Các nội dung của chương được tổng
hợp từ các tài liệu [1, 3, 11].
Chương 2. Một số ứng dụng của tứ giác điều hòa. Trong chương này, chúng
tôi áp dụng các tính chất của tứ giác điều hòa vào giải một số dạng toán trong


2

hình học phẳng như: chứng minh thẳng hàng, chứng minh đồng quy, chứng
minh song song, chứng minh vuông góc, chứng minh hệ thức trong hình học,

Một số kiến thức chuẩn bị

1.1.1

Hàng điểm điều hòa

Định nghĩa 1.1.1 ([3]). Trên một đường thẳng lấy bốn điểm A, B, C, D. Khi
đó, A, B, C, D được gọi là hàng điểm điều hòa nếu chúng thỏa mãn hệ thức
CA
DA
=−
.
CB
DB

(1.1)

Ký hiệu là (A, B, C, D) = −1.

Hình 1.1: A, B, C, D là hàng điểm điều hòa.

Nhận xét 1.1.2. Từ hệ thức (1.1), ta suy ra ngay trong hai điểm C và D phải
có một điểm nằm bên trong đoạn thẳng AB và điểm còn lại nằm ngoài đoạn
thẳng AB.
Tính chất 1.1.3 ([3]). Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hòa khi và chỉ
khi một trong các hệ thức sau được thỏa mãn:


4


5

1.1.2

Chùm điều hòa

Định nghĩa 1.1.6 ([3]). Cho hàng điểm điều hòa (A, B, C, D) = −1 và O nằm
ngoài hàng điểm điều hòa trên. Khi đó, ta gọi bốn tia OA, OB, OC, OD là một
chùm điều hòa và kí hiệu (OA, OB, OC, OD) = −1.

Hình 1.5: OA, OB, OC, OD là một chùm điều hòa.

Định lý 1.1.7 ([3]). Cho (OA, OB, OC, OD) = −1. Một đường thẳng d bất kì
cắt các cạnh OA, OB, OC, OD lần lượt tại E, F, G, K. Khi đó, ta có (F, F, G, K) =
−1.

Hình 1.6: E, F, G, K là hàng điểm điều hòa.

Nhận xét 1.1.8. Qua định lí trên chúng ta có thể thấy từ một hàng điểm
điều hòa ban đầu sẽ “có” vô số chùm điều hòa xung quanh (cứ một điểm ngoài
hàng điểm điều hòa nói trên sẽ cho ta một chùm điều hòa tương ứng). Và cứ
mỗi chùm điều hòa như vậy lại cho ta vô số hàng điểm điều hòa.
Hệ quả 1.1.9 ([3]). Cho chùm điều hòa (Ox, Oy, Oz, Ot) = −1. Khi đó nếu
góc zOt = 90◦ thì Oz là phân giác trong của góc xOy và Ot là phân giác ngoài
xOy.


6

Nhận xét 1.1.10. Từ Hệ quả 1.1.9, ta có nếu Oz là phân giác trong hoặc

giao điểm của AB và AC với ω. Trong tam giác ABQ, do ∠P BQ là góc ngoài
của ∠ABQ nên ta có
∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC.


7

Mặt khác, ta có
1
1
∠BQC = ∠BDC, và ∠BAC = ∠BOC.
2
2
Từ đó, ta có
1
∠P BQ = ∠BQC + ∠BAC = (∠BDC + ∠BOC) = 90◦ .
2
Do P Q là đường kính của ω nên P Q đi qua D. Ta có P BCQ là tứ giác nội
tiếp đường tròn tâm D, có tổng các góc bằng 360◦ . Do P BD, DBC, CDQ là
các tam giác cân tại D nên ta có
∠DP B = ∠P BD, ∠DBC = ∠BCD, ∠DCQ = ∠CQD.
Từ đó, ta có
360◦ = ∠DP B + ∠P BC + ∠BCQ + ∠CQD
= ∠DP B + ∠P BD + ∠DBC + ∠BCD + ∠DCQ + ∠CQD
= 2∠P BD + 2∠DBC + 2∠CQD.
Vậy, ta có
∠P BC + ∠AQP = ∠P BD + ∠DBC + ∠CQD = 180◦ .

(1.2)


iii)
sin ∠DAC
AC
DH
AB
iv)
=
(H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC).
DK
AC
v) A, D, P thẳng hàng, trong đó P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các
đỉnh B và C của đường tròn (O).
Chứng minh. Tính chất ii) phát biểu rằng đường đối trung chia trong cạnh đối
diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề. Áp dụng định lý
Steiner cho trường hợp E là trung điểm của BC ta suy ra sự tương đương của
i) và ii).
Áp dụng định lý sin, ta có
sin ∠DAB
sin ∠ABD
sin ∠ABC
=
=
,
DB
AD
AD
và

sin ∠DAC
sin ∠ACD

sin ∠DAB =

DH
,
AD

sin ∠DAC =

DK
.
AD

Suy ra
DH
sin ∠DAB
AB
=
=
.
DK
sin ∠DAC
AC
Vậy iii) và iv) là tương đương nhau.
Do P là giao điểm của các tiếp tuyến kẻ từ các đỉnh B và C của đường tròn
ngoại tiếp (O) nên theo Bổ đề 1.1.17, ta có AP trùng với đường đối trung của
tam giác. AD cũng là đường đối trung của tam giác. Tức là hai đường thẳng
này trùng nhau. Suy ra A, D, P thẳng hàng.
Chú ý 1.1.19 ([1]). Cho tam giác ABC. Đường đối trung AE chia trong cạnh
EB
AB 2

=
=
QN
PH
b
nên

SABQ
AB · QM
c2
=
= 2.
SAQC
AC · QN
b

Mặt khác, ta có
SABQ
BQ
.
=
SAQC
QC
Vậy, ta có
BQ c2
= 2.
QC
b
Điều này chứng tỏ AQ là một đường đối trung.
Đảo lại, lấy một điểm P bất kì trên đường đối trung AQ. Kẻ P I ⊥ AB

c · QM
c2
=
= 2.
AC · QN
b · QN
b


11

Từ đó, suy ra
QM
c
= .
QN
b
Do đó, ta có
QM
c
PI
=
= .
PH
QN
b

1.1.4

Đường tròn Apollonius

giác ABC giao với đường tròn ngoại tiếp tam giác theo đường đối trung từ đỉnh
A.
Chứng minh. Gọi S là giao điểm thứ hai của đường tròn Apollonius với đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Do Oa A là tiếp tuyến của đường trong ngoại
tiếp tam giác ABC. Do tính đối xứng, Oa S cũng là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác. Với tam giác ACS, Oa A và Oa S là đường đối trung ngoài
của tam giác. Suy ra COa là đường đối trung trong của tam giác ACS. Ngoài
ra, ta thu được tứ giác ABSC là tứ giác điều hòa. Do đó AS là đường đối
trung trong của tam giác ABC và mệnh đề được chứng minh.
Nhận xét 1.1.26. Từ đây, theo Hình 1.15 suy ra đường tròn tâm Q đi qua
A và C là đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh A của tam giác ABD.
Đường tròn này (tâm Q, bán kính QC) cũng là đường tròn Apollonius tương
ứng với đỉnh C của tam giác BCD.
Tương tự, các đường tròn Apollonius tương ứng với đỉnh B và D của tam
giác ABC và ADC trùng nhau.
1.1.5

Một số định lý cơ bản

Định lý 1.1.27 (Định lý Ceva, [1]). Cho tam giác ABC và ba đường thẳng
AA , BB , CC xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứa
cạnh đối diện tại A , B , C sao cho: hoặc cả ba điểm A , B , C đều nằm trên
ba cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam
giác còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều kiện
cần và đủ để AA , BB , CC đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức
AB CA BC
·
·
= 1.
BC AB CA



14

Định lý 1.1.31 (Đường thẳng Simson, [11]). Cho tam giác ABC nội tiếp trong
đường tròn tâm O. Giả sử S là một điểm nằm trên (O) sao cho S không trùng
với ba đỉnh của tam giác. Khi đó hình chiều vuông góc A0 , B0 , C0 của S lần
lượt trên BC, CA, AB cùng nằm trên một đường thẳng. Đường thẳng này được
gọi là đường thẳng Simson của S đối với tam giác ABC.
Định lý 1.1.32 (Định lý Desargues, [11]). Trong mặt phẳng, cho hai tam giác
ABC và A B C . Đặt A1 = BC ∩ B C , B1 = CA ∩ C A và C1 = AB ∩ A B .
Các đường thẳng AA , BB , CC đồng qui khi và chỉ khi A1 , B1 , C1 thẳng hàng.
Định lý 1.1.33 (Định lý Braichon, [11]). Cho lục giác ABCDEF ngoại tiếp
đường tròn. Khi đó các đường chéo AD, BE, CF đồng quy.

1.2

Tứ giác điều hòa

1.2.1

Định nghĩa

Định nghĩa 1.2.1 ([3]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn

CB
AB
=
AD
CD

BP
MP

(1.7)

Vì M A và M B là tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) nên ta có M A = M B. Do đó,
từ (1.6) và (1.7) ta có
AM
BM
BQ
AQ
=
=
=
.
AP
MP
MP
BP
Do đó, theo định nghĩa ta có AP BQ là tứ giác điều hòa.
Nhận xét 1.2.3. Định lý trên cho ta cách dựng tứ giác điều hòa một cách
dễ dàng. Để dựng một tứ giác điều hòa, ta vẽ một đường tròn, lấy một điểm
bên ngoài đường tròn. Từ điểm này xác định hai tiếp điểm với đường tròn và
vẽ một cát tuyến cắt đường tròn tại hai điểm. Khi đó bốn điểm thu được tạo
thành một tứ giác điều hòa. Ta cũng có điều ngược lại, tức là nếu AP BQ là tứ
giác điều hòa thì tiếp tuyến tại A, tiếp tuyến tại B và P Q đồng quy tại một
điểm. Ta sẽ chứng minh định lý đảo này ở phần sau.
1.2.2

Một số tính chất

=
·
.
DG BG DG BD DF
DF BD
Mặt khác,

BED đồng dạng với

CEB nên ta có

BC : BD = CE : BE.
Do

CF E đồng dạng với

(1.8)

(1.9)

F DE nên ta có
CF : DF = EF : DE.

(1.10)

Từ (1.8), (1.9) và (1.10) và chú ý rằng BE = EF , ta có
EF CE
CE
CG
=

CD


17

Mặt khác, do ABCD nội tiếp nên theo định lý Ptoleme, ta có
AC · BD = AB · CD + AD · BC.
Do đó AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD.
Mệnh đề 1.2.8 ([9]). Trong tứ giác điều hòa, các đường chéo là đường đối
trung của tam giác xác định bởi các cạnh liên tiếp của tứ giác cùng với đường
chéo của nó.

Hình 1.13: BK là đường đối trung của tam giác ABC

Chứng minh. Xét tứ giác ABCD là tứ giác điều hòa và K là giao điểm của hai
đường chéo (Hình 1.13). Từ tính đồng dạng của tam giác ABK và DCK, ta
có
AB
AK
BK
=
=
.
(1.11)
DC
DK
CK
Từ tính đồng dạng của tam giác BCK và ADK, ta có
BC
CK



18

Thay (1.14) vào (1.13) ta có
AB
BC

2

=

AK
.
CK

Suy ra BK là đường đối trung của tam giác ABC. Tương tự, ta cũng chứng
minh được AK là đường đối trung của tam giác ABD, CK là đường đối trung
của tam giác BCD và DK là đường đối trung của tam giác ADC.
Mệnh đề 1.2.9 ([9]). Nếu trong một tứ giác nội tiếp, đường chéo là đường đối
trung của tam giác tạo bởi đường chéo còn lại và hai cạnh liên tiếp thì tứ giác
là tứ giác điều hòa.
Chứng minh. Xét tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp và K là giao điểm của hai
đường chéo (Hình 1.13). Do BK là đường đối trung của tam giác ABC, ta có
AK
AB 2
=
.
KC
BC 2

AB AD
AK
·
=
.
BC DC
CK

(1.18)

Kết hợp (1.15) và (1.18) ta được
AB AD
AB 2
=
·
BC 2
BC DC
hay
AB
AD
=
.
BC
DC
Vậy ABCD là tứ giác điều hòa.
Nhận xét 1.2.10. Từ Mệnh đề 1.2.8 và Mệnh đề 1.2.9, ta có thu được một
cách để dựng tứ giác điều hòa. Trong một hình tròn, cho ABC là tam giác nội
tiếp; ta xây dựng đường đối trung AK, ký hiệu D là giao của AK với đường
tròn. Khi đó, ABCD là tứ giác điều hòa.


a2 + b2 + c2 + d2